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주요 내용
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동영상 대본

이제 우리는 양수의 기울기를 가지는 접선이 무엇인지 알 수 있게 되었습니다 이번에는 기울기나 y절편에 제약을 두어서 문제를 풀 수 있는지 지켜보겠습니다 저번 영상에서는 이렇게 분홍색으로 선을 그렸습니다, y=mx+b의 형식을 가진 식입니다 즉 m이 기울기이고 y가 y절편인 것입니다 즉 m이 기울기이고 y가 y절편인 것입니다 이번에는 만약 선이 원에 접할 때 m과 b에 생기는 제약에 대해 알아보겠습니다 아마 여러분은 미적분을 이용하여서 원과 접한 점들의 기울기를 구하고자 할 것입니다 하지만 더 쉬운 방법이 있습니다 여러분은 그저 선이 원에 접할 때는 한 점으로 만난다는 것입니다 제가 얘기하는 것에 대해 설명드리겠습니다 이게 선입니다 제가 찾아내고 싶은 것은 원의 방정식과 이 방정식의 교점입니다 이걸 찾는 것이 이번 영상의 주제이기도 합니다 이번에는 쌍곡선에 같은 것을 할 것입니다 여기 y=mx+b라는 식의 선이 그려져 있습니다 그리고 이 원의 방정식은 (x²+y²)-8x=0입니다 (x²+y²)-8x=0입니다 (x²+y²)-8x=0입니다 여기서 해야 될 것은 위의 식의 y를 아래 식의 y에 대입할 수 있습니다 그러면 m과 b의 제한이 무엇인지 알 수 있을 것입니다 사실 한 점에 접하는 방법은 한 가지만 존재합니다 먼저 아래 식의 y²에 값을 대입하겠습니다 만약 y가 이 값이라면, 이 값을 제곱하겠습니다 만약 y가 이 값이라면, 이 값을 제곱하겠습니다 mx+b를 제곱하면 됩니다 따라서 y²은 m²x² + 2mbx + b²입니다 따라서 y²은 m²x² + 2mbx + b²입니다 이 값을 제곱해서 나온 결과입니다 그리고 이 값을 아래 식의 y²에 대입 하겠습니다 그래서 원의 방정식을 x로 나타낸다면 x²과 이 항을 모두 더한 식일 것입니다 x²과 이 항을 모두 더한 식일 것입니다 x² + m²x² + 2mbx + b² - 8x = 0이 나오게 됩니다 x² + m²x² + 2mbx + b² - 8x = 0이 나오게 됩니다 그리고 만약 이 값을 x²로 나타내고 싶다면 x²의 항이 2개 있기 때문에 이 값을... (m² + 1) × x²로 나타낼 수 있습니다 (m² + 1) × x²로 나타낼 수 있습니다 그런 다음 x항은 이 항과 이 항입니다 합쳐서 (2mb - 8) × 8이 됩니다 마지막으로 상수항인 b가 있습니다 상수항은 맨 마지막에 놓겠습니다 주황색이 어울릴 것 같습니다 그래서 이 식은 0과 같습니다 만약 우리가 직선의 방정식을 알았더라면 근의 공식 같은 방법을 이용해서 바로 교점의 x값을 구할 수 있었을 것입니다 바로 교점의 x값을 구할 수 있었을 것입니다 여기서 흥미로운 점은 우리가 알고 있는 것은 점이 한 점에서만 교차한다는 사실입니다 참고로, 근의 공식은 {-b ± √(b²-4ac)} ÷ 2a입니다 {-b ± √(b²-4ac)} ÷ 2a입니다 여기서 b를 식의 b와 햇갈리지 않길 바랍니다 이 문자는 그저 근의 공식에서 쓰이는 문자일 뿐입니다 이게 근의 공식입니다 만약 이 부분이 0이라면 식의 값은 단 한개만 나올 것입니다 왜냐하면 0을 더하고 빼기 때문입니다 그래서 한 개의 값만 나올 것입니다 만약 이 선이 원과 접할 때 한 점과 교차할 것입니다 이를 다른 방법으로 생각한다면 식의 해가 한 개일 것입니다 만약 선이 접하지 않는 부류의 선이라면 접선이 아닌 선은 이렇게 생겼을 것입니다 이 식은 해가 2개이거나 아예 존재하지 않을 것입니다 이 선은 식의 해가 없을 것입니다 이 뜻은 √(b²-4ac)가 음수라는 것입니다 결국 이 선은 접선입니다 우리는 단 한개의 해가 있고, 이 말은 √(b²-4ac)=0이라는 것입니다 그렇다면 이 식에서 √(b²-4ac)은 무엇입니까? 이 방정식에서느 이 값이 근의 공식에서 b인 값입니다 그리고 이 값을 y절편 b와 혼동하지 않기 바랍니다 저는 근의 공식에 중점을 두었으니 말입니다 계산해보겠습니다 먼저 이 값을 제곱해야 합니다 저는 식을 다시 쓰도록 하겠습니다 그리고 이 값은 해가 하나만 있어야 하기 때문에 0으로 설정하겠습니다 그래서 (2mb-8)²을 적어놓겠습니다 그런 다음 4a-c은 4 × (m²+1) × b²입니다 그런 다음 4a-c은 4 × (m²+1) × b²입니다 그런 다음 4a-c은 4 × (m²+1) × b²입니다 이 식의 값은 0일 것입니다 만약 이 선이 접선이라면 말입니다 만약 이 선이 접선이라면 말입니다 여기서 찾을 수 있는 흥미로운 사실을 한 번 찾아봅시다 만약 우리가 b를 m의 함수로 나타낼 수 있다면 좋은 시작점을 만들어 줄 수 있을 것입니다 한 번 해보겠습니다 봅시다 만약 이 식을 전개한다면, 이 값은 4m²일 것입니다 잘 알아볼 수 있도록 파란색을 쓰도록 하겠습니다 이 부분은 4m²b² - 16 × 2 이 부분은 4m²b² - 16 × 2 이 부분은 4m²b² - 16 × 2 즉 4m²b² - 32mb + 64일 것입니다 즉 4m²b² - 32mb + 64일 것입니다 그래서 이 식은 이 항이고, 노란색 항은 계산해 보겠습니다 4m²b² + b²이고, 이 값은 0일 것입니다 4m²b² + b²이고, 이 값은 0일 것입니다 그리고, 운이 좋게도 식을 약간 생략할 수 있을 듯 합니다 4m²b² - 4m²b²은 같이 사라집니다 4m²b² - 4m²b²은 같이 사라집니다 봅시다 먼저 양변을 4로 나눌 수 있습니다 그렇다면 -8mb + 16 - b² = 0이 됩니다 그렇다면 -8mb + 16 - b² = 0이 됩니다 그렇다면 -8mb + 16 - b² = 0이 됩니다 이제 m에 대하여 근의 공식을 구할 수 있게 되었습니다 이제 m에 대하여 근의 공식을 구할 수 있게 되었습니다 이제 우리는 y절편과 기울기가 무엇인지 알 수 있을 것입니다 알 수 있을 것입니다 그리고 이와 같은 방법으로 쌍곡선에 대해서도 구할 수 있습니다 그리고, 우리는 교점이 같은 지점에 있을 것이고 이는 y절편이 서로 같아야 한다는 것입니다 이는 y절편이 서로 같아야 한다는 것입니다 그리고 기울기를 구할 수 있습니다 한 번 해보겠습니다 그리고 이 과정은 다음 영상에서도 찾아볼 수 있습니다 우리가 이해할 수 있는 형식으로 다시 써보겠습니다 이 식은 동일한 식을 다시 쓴 것입니다 이 식은 동일한 식을 다시 쓴 것입니다 이번에는 양변을 -1로 곱하겠습니다 이번에는 양변을 -1로 곱하겠습니다 그렇다면 이 식은 8mb - 16 + b² = 0입니다 방금 -1을 곱하여서 항들을 재정비하였습니다 이제 m에 대해 b를 구해봅시다 그래서 b는 -8m ± √8²m² - 4 × -16일 것입니다 그래서 b는 -8m ± √8²m² - 4 × -16일 것입니다 그래서 b는 -8m ± √8²m² - 4 × -16일 것입니다 그래서 b는 -8m ± √8²m² - 4 × -16일 것입니다 상수항은 + 4 × 16으로도 보실 수 있습니다 상수항은 + 4 × 16으로도 보실 수 있습니다 그리고 이 식을 2로 나누면 됩니다 그리고 이 식을 2로 나누면 됩니다 그리고 이 식을 2로 나누면 됩니다 그래서 이 식을 계산하면 64가 나옵니다 그래서 이 식을 계산하면 64가 나옵니다 그래서 이 식을 계산하면 64가 나옵니다 먼저 64는 근호에서 빠져나올 수 있지만 그렇다면 식은 √8m²+1이 됩니다, 맞습니까? 그렇다면 식은 √8m²+1이 됩니다, 맞습니까? 만약 여기 8이 들어간다면 다시 64가 될 것입니다 그리고 64 × m²를 포함한 값들은 모두 2로 나눠질 것입니다 모두 2로 나눠질 것입니다 그런 다음, 식을 간단하게 만들 수 있습니다 이 값은 -4m ± 4 × √m² +1이 됩니다 이 값은 -4m ± 4 × √m² +1이 됩니다 결국 b가 원에 접선이 되는 것은 가능한 일입니다 이제, 조금만 더 생각해 보겠습니다 만약 4를 더한다면, 우리는... 잠시 생각해 봅시다 그래프에서 그려진 선을 보았을 때 우리는 양수의 기울기를 원합니다 그리고 y절편도 양수여야 합니다 그리고 y절편도 양수여야 합니다 그리고 y절편도 양수여야 합니다 이렇게 적어보겠습니다 이건 양수 y 절편입니다 우리가 원하는 값은 이 값입니다 우리는 양수의 y절편에 대해 생각해 보고자 합니다 m은 양수가 될 것입니다 우리는 양수의 기울기를 찾아야 한다고 영상 초기에서 말씀드렸습니다 그래서 m은 양수입니다 그리고 -4를 포함한 이 항은 음수일 것입니다 그래서 양수가 되기 위해선 여기 있는 항의 4배를 더해야 합니다 그리고 이 식을 보면 √m²+1은 m보다 클 것이기 때문에 양수가 될 것입니다 이 제곱근의 값은 m보다 클 것입니다 이 제곱근의 값은 m보다 클 것입니다 이 제곱근의 값은 m보다 클 것입니다 이제 b가 -4m+4√m²+1이라는 것에만 집중하면 됩니다 여기서 영상을 마치도록 하겠습니다 다음 영상에서는 이와 완전히 같은 방법을 쌍곡선의 접선에 대입하여 풀어보도록 하겠습니다 그리고 같은 선에 있다고 해서 문자 b의 의미가 같아야 하는 것은 아닙니다 다음 영상에서는 b가 m과 다른 함수를 가리키는 것이 될 수도 있습니다 다음 영상에서 알아보겠습니다 그런 다음, m을 구해보겠습니다 그런 다음, m을 구해보겠습니다 m을 구한다면 b도 구한 것이나 마찬가지입니다