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주요 내용
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동영상 대본

[문제] 방정식이 x²+y²-8x=0인 원과 방정식이 (x²÷9)+(y²÷4)=1인 원이 각각 지점 A와 B에서 교차한다. 이때 쌍곡선을 포함하여 양의 기울기를 가지는 원의 공통 접선의 방정식을 구하시오 먼저 문제에서 원하는 것을 시각화 해 보겠습니다 그리고 이 주제는 여러 개의 영상을 필요할 것 같은 생각이 들게 됩니다 먼저 우리가 문제를 이해할 수 있게 시각화 해 보겠습니다 첫 번째 원의 x성분은 x²-8x입니다 그리고 +y²이 있습니다 제가 여기 공간을 남겨둔 이유는 이 식을 마칠 수 있어서 그럽니다, 결과는 0입니다 그리고 이 항을 양변에 더해보겠습니다 -8의 절반은 -4이고 -4의 제곱은 16이기 때문에 양변에 16을 더하겠습니다 그리고 이 식은 x요소의 식을 완전제곱식으로 만들었습니다 이 식은 (x-4)²와 같은 값입니다 그리고 +y²도 있습니다 이 값은 그대로 내버려 둘 수 있습니다 그래서 이 방정식이 원이 됩니다 이 식의 원은 x가 4이고 y가 0인 점이 중심에 있는 원입니다 그리고 반지름의 길이도 4입니다 이 원을 그래프에 그려보겠습니다 먼저 가로축은 x축을 그리겠습니다 y축도 마저 그리겠습니다 여기 있는 것에 y축입니다 그래서 중심점은 1, 2, 3, 4... (4, 0)에 있습니다 이게 중심이고 반지름의 길이는 4입니다 그렇다면 원은 다음과 같이 그려지겠습니다 솔직히 저거보다 잘 그릴 수 있었습니다 제가 그린 부분은 위의 절반이고 아래의 절반은 이렇게 생겼을 것입니다 아래의 절반은 이렇게 생겼을 것입니다 이게 원입니다 그렇다면 이제 쌍곡선에 대해 생각해 봅시다 한번 보게 되면 x²은 양수 지수입니다 그래서 이 식의 쌍곡선은 좌우로 열린 쌍곡선일 것입니다 이 정리에 관한 영상은 원뿔에 관한 부분에서 알려주니 복습해보시길 바랍니다 그리고 우리는 x축을 어디에서 교차하는 지 알 수 있습니다 y가 0일 때 x²÷9는 무조건 1이어야 합니다 y가 0일 때 x²÷9는 무조건 1이어야 합니다 x는 ±3일 것입니다 쌍곡선은 다음과 같을 것입니다 따라서 이 지점은 (3, 0)입니다 쌍곡선은 이렇게 뻗어나갈 것입니다 그리고 (-3, 0)에서부터 반대쪽으로 뻗어나갈 것입니다 그리고 (-3, 0)에서부터 반대쪽으로 뻗어나갈 것입니다 그래서 문제에서 말하는 A, B 지점은 이 지점을 말하는 것입니다 이제 문제에서 원하는 것을 찾아보겠습니다 양의 기울기를 가지는 공통 접선의 방정식은 원에 도착할 때에 쌍곡선과 같이 기울기가 양수여야 합니다 약간 생각해 봅시다 그래서 원하는 선은 기울기가 양수여야 하고 이는 원이 음의 기울기를 가지고 있을 때 접하지 않게 해주는 것입니다 그래서 이 부분에서는 접선이 될 수 없습니다 그래서 이 부분에서는 접선이 될 수 없습니다 그리고 우리는 만약에 접선이 이 부분에서 접한다면 무슨 일이 일어날 지 생각해 보겠습니다 사실 쌍곡선을 접할 수는 없습니다 그래서 문제에서 나오는 선은 파란 부분만 접할 수 있을 것입니다 그렇다면 어떻게 쌍곡선과 접할 수 있습니까? 아마도 문제에서는 이렇게 쌍곡선과 접할 것이라고 하는 것 같지만 아셔야 할 점은 쌍곡선이 점근선이라는 점입니다 그리고 우리는 어느 선의 점근선인지 알 수 있습니다 쌍곡선은 어느 선의 점근선입니다 그 선을 그려보겠습니다 그 선을 그려보겠습니다 쌍곡선은 그 선보다 항상 같은 기울기를 미세하게라도 가질 것입니다 아주 천천히 그 선에 가까워집니다 여기까지 나가게 되면 쌍곡선의 기울기는 점근선보다 높을 것입니다 그리고 이 선과 접하려면 기울기가 더 높아져야 합니다 그리고 이부분에서 오는 원의 접선은 쌍곡선보다 기울기가 적을 것입니다 원의 접선은 쌍곡선보다 기울기가 적을 것입니다 맞습니까? 왜냐하면 이 선이 따라잡아야 하기 때문입니다 이 접선은 어디를 따라잡을 것인지 한 번 그려보겠습니다 한 번 그려보겠습니다 저는 그저 확실히 하고 싶습니다 여기 있는 쌍곡선은 쌍곡선의 모든 부분은 그것의 점근선보다 기울기가 높을 것입니다 그것의 점근선보다 기울기가 높을 것입니다 그것이 이 선에 점점 가까워지는 이유입니다 어느 접선이라고 이 부분에서는 기울기가 높을 것입니다 쌍곡선의 모든 접선은 여기서 실제 선보다 높은 기울기를 가지고 있을 것입니다 아주 약간 높은 기울기를 가지고 있을 것입니다 그래서 만약 우리가 여기서부터 여기 있는 원까지 접선을 그리고자 한다면 되지 않을 것입니다 왜냐하면 이 접선은 쌍곡선을 만나고 점근선보가 낮은 기울기를 가질 것이기 때문입니다 따라서 이는 이 부분의 쌍곡선에 접할 수 없습니다 다른 방법은 없습니까? 사실, 쌍곡선의 다른 부분은 우리가 무언가를 시도해 볼만 합니다 우리가 무언가를 시도해 볼만 합니다 만약 우리가 쌍곡선의 이런 부분에 접하는 선을 찾는다면 아마도 양수의 기울기를 가지는 공통 접선을 찾을 수 있을 것입니다 그려보겠습니다 우리가 찾을 양수 기울기의 공통 접선은 분홍색으로 해놓겠습니다 우리가 찾을 선은 다음과 같이 생겼을 것입니다 이제 우리는 답을 시각화 해놓았습니다 다음 영상에서는 다음 선이 어떻게 생기고, 특히 원에서 접하고 쌍곡선에서도 접할 때 그 선을 그려볼 것입니다