If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

웹 필터가 올바르게 작동하지 않으면 도메인 *. kastatic.org*.kasandbox.org이 차단되어 있는지 확인하세요.

주요 내용
현재 시간:0:00전체 재생 길이:14:50

쌍곡선 초점 공식의 증명

동영상 대본

저번 영상에서는 만약 (x² ÷ a²) - (y² ÷ b²)의 식을 가지는 쌍곡선의 값이 1일 때 쌍곡선의 초점 거리의 값은 a² + b²의 제곱근이라는 것을 알 수 있었습니다 a² + b²의 제곱근이라는 것을 알 수 있었습니다 다시 말해서 √(a² + b²)라는 것입니다 이번 영상에서는 이 값에 대해 설명하고자 합니다 여기서, 알고 계셨겠지만 이 쌍곡선의 식은 좌우로 열린 쌍곡선의 식입니다 좌우로 열린 쌍곡선의 식입니다 그리고 쌍곡선의 점근선은 양축이 될 것입니다 따라서 x값은 양수일 것입니다 만약 y값이 양수였고 x값이 음수였다면 쌍곡선은 위아래로 열린 곡선이었을 것입니다 쌍곡선은 위아래로 열린 곡선이었을 것입니다 그리고 이 영상에서 증명을 보여드리는 이유는 그저 방정식 몇 개일 뿐이고, 물론 y에 대해서도 문자를 서로 바꾸면 적용됩니다 이 사실을 알고 계셔야 합니다 지금 사용하는 쌍곡선은 좌우로 열린 쌍곡선이지만 저는 위아래로 열린 쌍곡선도 있다는 것을 여러분에게 알려주고 싶었습니다 그래서, 이 선들을 그래프에 그려서 쌍곡선의 초점이 무엇이고 어디에 위치하는 지 찾아보도록 하겠습니다 어디에 위치하는 지 찾아보도록 하겠습니다 이 쌍곡선의 점근선은 y=±(b ÷ a)입니다 선을 그리도록 하겠습니다 이게 하나의 점근선이고, 다른 선도 있습니다 그렇다면 쌍곡선은 이렇게 생겼을 것입니다 이렇게 생겼을 것입니다 x축과 (a, 0)에서 교차할 것입니다 이 지점은 (a, 0)입니다 그리고 (-a, 0)에서도 교차할 것입니다 이것에 대한 것은 저번 영상에서 설명했습니다 그래서 쌍곡선은 이렇게 생겼을 것입니다 쌍곡선의 초점은 이 부분 주위에 있을 것입니다 이 지점과 이 지점 주위에 있을 것입니다 또한 초점의 길이는 √a² + b²일 것입니다 또한 초점의 길이는 √a² + b²일 것입니다 바로 이 거리일 것입니다 이 거리가 초점의 길이입니다 그래서 이 두 지점은 각각 (-f, 0)과 (f, 0)일 것입니다 그래서 이 두 지점은 각각 (-f, 0)과 (f, 0)일 것입니다 저번 영상에서는 쌍곡선의 정의의 한 종류가 모든 지점의 집합이라고 했습니다 그래서 만약 제가 임의의 점을 기준으로 두 초점의 거리를 뺀다면, 그 값은 상수일 것입니다 예를 들어, 이 지점을 (x, y)라고 정의하겠습니다 이 지점은 쌍곡선 위에 있기 때문에 계산되는 조건을 충족합니다, 그래서 이 지점과 왼쪽 초점의 거리를 d1이라고 하고 여기 있는 초점과의 거리를 d2라고 했을 때 이 값을 빼면 쌍곡선에서의 위치와 상관없이 무조건 상수라는 것입니다 사실 쌍곡선의 모든 점들이 조건을 충족합니다 또한 저번 영상에서 x축 위에 있는 이 점의 거리를 계산했을 때 이 점의 거리를 계산했을 때 값이 2a였다는 것을 알 수 있었습니다 따라서 d1-d2=2a입니다 따로 적어놓겠습니다 이제 이 정리를 이용해서 초점의 거리에 대하여 증명을 해보겠습니다 바로 이 식입니다 첫 번째로 해야 될 것은 d1과 d2를 찾는 것입니다 바로 거리를 이용해서 구하는 것입니다 d1의 값은 무엇입니까? d1의 거리는 이 임의의 점과 (-f, 0) 사이의 거리입니다 여기서 이용할 것은 피타고라스의 정리입니다 그래서 x의 변화, 즉 x의 거리를 구할 것입니다 따라서 이 값은 √{x - (-f)}² + y²입니다 따라서 이 값은 √{x - (-f)}² + y²입니다 따라서 이 값은 √{x - (-f)}² + y²입니다 이 선분이 d1입니다 이 선분이 d1입니다 그리고 우리는 이 값에 d2를 빼야 합니다 d1의 길이가 d2보다 더 길어보입니다 d1의 길이가 d2보다 더 길어보입니다 그래서 d1의 거리에 d2의 거리를 빼도록 하겠습니다 (f, 0)과의 거리는 √(x - f)² + y²입니다 (f, 0)과의 거리는 √(x - f)² + y²입니다 이 값은 얼마입니까? 우린 이 값이 2a, 즉 이 거리와 같다는 것을 알아두었습니다 그래서 이 값은 2a와 동일합니다 이제 이 식을 간단하게 할 수 있는지 보도록 하겠습니다 여기서 제가 할 흥미로운 것은 이 식을 우변으로 옮기는 것입니다 이 식을 옮기면, 식을 생략할 수 있을 것 같습니다 이 식을 옮기면, 식을 생략할 수 있을 것 같습니다 그래서 이 식을 정리하면 √(x + f)² + y² = 2a + √(x - f) + y²이 됩니다 √(x + f)² + y² = 2a + √(x - f) + y²이 됩니다 √(x + f)² + y² = 2a + √(x - f) + y²이 됩니다 이제, 식의 기호들을 없애기 위해서 양변을 제곱하겠습니다 좌변의 식은 (x + f)² + y²이 될 것입니다 좌변의 식은 (x + f)² + y²이 될 것입니다 그리고 우변을 계산하면, 먼저 2a를 제곱해서 4a²이 나오게 됩니다 그런 다음 이 두항을 2로 곱해야 합니다 우리는 이 식을 합쳐서 제곱하기 때문에 이 식은 약간의 대수학이 필요하지만 계산해보면, 이 항은 4a × √(x - f) + y²입니다 계산해보면, 이 항은 4a × √(x - f) + y²입니다 제곱근을 기억해야 합니다 이제 이 항을 제곱하면 됩니다 이 식은 그저 근호를 제외하면 되는 것입니다 그래서 근호를 제곱하면 근호가 사라지기 때문에 이 식은 (x - f)² + y²일 것입니다 이 식은 (x - f)² + y²일 것입니다 그리고 이미 이 식에서 생략할 항이 있는 것 같습니다 그리고 이미 이 식에서 생략할 항이 있는 것 같습니다 먼저 y²을 양변에서 빼줄 수 있습니다 먼저 y²을 양변에서 빼줄 수 있습니다 양변에 y²를 빼도록 하겠습니다 그리고 이 괄호를 풀겠습니다 이 식은 x₂ + 2xf + f²입니다 그리고 이 식은 4a × 4a√(x - f)² + y² + (x - f)²입니다 그리고 이 식은 4a × 4a√(x - f)² + y² + (x - f)²입니다 여기서 (x - f)²를 전개하도록 하겠습니다 이 식은 x² - 2xf - f²이 됩니다 이제 식을 생략해 보겠습니다 먼저 x²이 양변에 모두 있기 때문에 양변에서 지우도록 하겠습니다 그리고 f²도 지우겠습니다 그리고 f²도 지우겠습니다 그리고, 2xf을 양변에 더해서서 우변의 값을 좌변으로 가지고 올 수 있도록 하겠습니다 하겠습니다 만약 2xf를 더한다면, 만약 2xf를 더한다면, 2xf을 더한다면, 식이 어떻게 됩니까? 4xf가 나오게 됩니다, 저는 방금 우변의 값을 좌변에 합했습니다, 이 값은 4a² + 4a√(x - f)² + y²이 됩니다 대수학에서는 길을 잃기 쉽습니다 따라서 지금 무엇을 하고 있고 목표에 집중해야 합니다, 우리의 목표는 그저 두 초점 사이의 거리를 간단하게 나타내는 것과 이 초점과 쌍곡선의 식 사이의 관계를 찾는 것입니다 a와 b를 찾아내는 것입니다 이제 4a를 좌변에 옮겨서 4xf - 4a = 4a√(x - f)² + y²이 됩니다 근호 안의 식을 전개하면 x₂ - 2xf + f²이 됩니다 x₂ - 2xf + f²이 됩니다 이 식은 위의 식을 전개한 것입니다 그리고 y²은 그대로 내려옵니다 우리는 양변을 4로 나눌 수 있습니다 저는 이 식을 최대한 간단하게 만들려고 하고 있습니다 양변을 4로 나누면 xf-a² = a√x² - 2xf + f² + y²가 됩니다 양변을 4로 나누면 xf-a² = a√x² - 2xf + f² + y²가 됩니다 양변을 4로 나누면 xf-a² = a√x² - 2xf + f² + y²가 됩니다 이제 양변을 제곱해서 근호를 지우도록 하겠습니다 만약 좌변을 제곱하면, 식은 x²f² - 2a²xf + a⁴이 됩니다 x²f² - 2a²xf + a⁴이 됩니다 x²f² - 2a²xf + a⁴이 됩니다 그리고, 우변은 이 식을 제곱하면 됩니다 우변은 a² × (x² - 2xf + f² + y²)가 됩니다 우변은 a² × (x² - 2xf + f² + y²)가 됩니다 사실 식이 조금 복잡한 것 같습니다 여기서 할 수 있는 것을 보여드리겠습니다 먼저 양변을 a²로 나누겠습니다 식은 (x²f² ÷ a²) + 2xf + a²가 됩니다 식은 (x²f² ÷ a²) + 2xf + a²가 됩니다 식은 (x²f² ÷ a²) + 2xf + a²가 됩니다 식은 (x²f² ÷ a²) + 2xf + a²가 됩니다 그리고 우변은 근호만 제거하면 됩니다 식은 (x²f² ÷ a²) + 2xf + a²가 됩니다 좋습니다 여기서 생략할 항이 있을 것입니다 먼저 2xf가 같습니다 이 항을 지우도록 하겠습니다 식이 더 간단해졌습니다 다음에 생략할 항을 보겠습니다 먼저 식을 정리하자면 좌변에는 (x²f² ÷ a²) - x²가 될 것이고 좌변에는 (x²f² ÷ a²) - x²가 될 것이고 y값도 옮기겠습니다 그래서 y²을 추가합니다 저는 이 식을 한 쪽으로 옮겼습니다 그 다음에는 a²을 좌변에 집어넣겠습니다 a²을 좌변에 집어넣겠습니다 지금까지 x와 y항을 이 변으로 옮겼습니다 지금까지 x와 y항을 이 변으로 옮겼습니다 모두 좌변으로 넘어갔습니다 마지막으로 a²을 양변에서 빼주면 우변에는 f² - a²가 남게 됩니다 우변에는 f² - a²가 남게 됩니다 거의 다 된 것 같습니다 이 두 항은 x²에 의해 나타낼 수 있습니다 이 두 항은 x²에 의해 나타낼 수 있습니다 이 식은 (f² ÷ a² - 1) × x²이 됩니다 이 식은 (f² ÷ a² - 1) × x²이 됩니다 그래서 이 식은 초점의 길이인 f² 와 a²의 차와 같습니다 그래서 이 식은 초점의 길이인 f² 와 a²의 차와 같습니다 봅시다, 이제 양변을 우변으로 나누겠습니다 이제 식이 결과값에 가까워지고 있습니다 식을 계산하면 [{(f² ÷ a²) - 1} × x²] ÷ (f² - a²) - {y² ÷ (f² - a²) = 1입니다 [{(f² ÷ a²) - 1} × x²] ÷ (f² - a²) - {y² ÷ (f² - a²) = 1입니다 양변을 우변으로 나눴기 때문에 우변에는 1만 남는 것입니다 이제 이 식을 간단하게 만들 수 있는지 보겠습니다 각 항의 분자와 분모에 a²를 곱하겠습니다 분모와 분자에 같은 수를 곱한다는 것은 1을 곱한다는 것과 동일하기 때문에 차이가 별로 없을 것입니다 만약 곱한다면, 분자는 (f² - a²) × x²이 됩니다 만약 곱한다면, 분자는 (f² - a²) × x²이 됩니다 저는 분모에도 a²을 곱할 것입니다 분모는 a² × (f² - a²)이 됩니다 분모는 a² × (f² - a²)이 됩니다 그리고 x²은 밖에 넣도록 하겠습니다 분모와 분자에 있는 f² - a²은 생략할 수 있습니다 생략할 수 있습니다 그리고 여기서 쌍곡선의 함수가 약간씩 보이는 것 같습니다 거의 다 된 것 같습니다! 마치 긴 터널 끝에 빛줄기를 보는 것 같습니다 식은 (x² ÷ a²) - y² ÷ (f - a²) = 1로 정리됩니다 식은 (x² ÷ a²) - y² ÷ (f - a²) = 1로 정리됩니다 이제야 이 식이 쌍곡선의 표준형 식 같아 보입니다 (x² ÷ a²) - (y² ÷ b²) = 1 말입니다 (x² ÷ a²) - (y² ÷ b²) = 1 말입니다 사실 이 식은 쌍곡선의 식에 있는 b²을 쓰는 대신, 쌍곡선의 두 초점과의 거리의 차가 2a인 점들의 집합으로 쌍곡선을 정의했습니다 2a인 점들의 집합으로 쌍곡선을 정의했습니다 우리는 이를 찾기 위해 약간의 대수학을 거쳤습니다 매우 어렵고 복잡한 일이었지만 저는 여러분이 이 난관을 헤쳐 나간 것이 매우 뿌듯합니다 그래서 이게 쌍곡선의 식입니다 그래서 이게 쌍곡선의 식입니다 그리고 이 항은 b²와 동일합니다 f² - a²은 b²과 같습니다 다른 말로 하면 초점의 길이와 a²의 차가 b²라고 할 수 있습니다 우리는 a²을 양변에 더했고 이 덕분에 f²가 b² + a²라는 것을 알 수 있었습니다 f²가 b² + a²라는 것을 알 수 있었습니다 또한 이 사실은 초점의 길이가 √b² + a²라는 것도 알 수 있었습니다 √a² + b²라고도 할 수 있습니다 그리고 이것이 쌍곡선을 구하는 것의 시작입니다 저는 여러분이 초점의 거리에 대해 이해하고 또한 값도 숙지하셨길 바랍니다 또한 이 계산은 쌍곡선이 위아래로 열렸다 해도 적용됩니다 만약 타원을 가지고 하고 있다면 이 두 숫자에 대한 차이가 있을 것입니다 이 두 숫자에 대한 차이가 있을 것입니다 어쨋든, 여기 식을 남겨두겠습니다 매우 복잡한 문제였습니다 지금은 물 한잔이 가장 필요한 것 같습니다