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동영상 대본

여기 cos(2π/3), 혹은 cos(2/3 π) 더하기 i sin(2π/3) 이라는 복소수가 있어요 이걸 20제곱까지 늘릴 거에요 먼저 제가 하고 싶은 건 복소평면에 이 파란 숫자를 표시하는 거에요 그리고 20제곱까지 제곱한 게 뭔지 알아내고, 그걸 표시하려 해볼 거에요 저는 여러분이 잠시 멈추고 제가 풀어드리기 전에 각자 풀어보시길 추천해요 그러니 우린 먼저 여기 있는 파란 복소수에 집중해 보도록 해요 이건 확실히 극형식의 형태로 쓰여져 있죠 각은 2/3 π 또는 2π/3 라디안이죠 이 복소수의 절댓값은 명확히 1이고요 이걸 좀 더 확실히 하자면, 여러분은 이걸 절댓값이 앞에 오는 순수한 극형식( Z=r(cosθ + i sinθ) )의 형태로 쓸 수 있어요 그래서 이건 cos(2π/3) 더하기 i sin(2π/3) 에요 이렇게 쓰면 되고요. 그리고 이걸 보면, 각은 2π/3이죠. 그래서 이런 결과가 나오는데, 여기 봐요 이건 0이고 이건 π고, π로 가는 길의 2/3까지 가 보죠 이것들 각자는 : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 죠 각각 π/12 에요. 그래서 2/3만큼 가려면 각이 8π/12 가 되죠 1,2,3,4,5,6,7,8 그리고 제가 이걸 알 수 있었던 이유는 2π/3과 8π/12가 같기 때문이죠 각각의 나누어진 부분은 π/12기 때문에, 이둘 중 8개를 셌어요 이게 그 숫자인데, 저는 그걸 늘리려고 하니까 이제 20제곱까지 늘려 봅시다 잠시 이거 좀 지울게요 그리고 그러기 위해선, 우린 오일러의 공식을 사용할 거에요 오일러의 공식은 e 의 iθ승이 cos θ 더하기 i sinθ와 같다고 말해 주죠 그래서 여기 벌써 세타가 2π/3인 형식으로 쓰여진 걸 보실 수 있죠 그래서 우리는 여기 있는 파란 걸 2π/3 i 로 다시 쓸 수 있어요 다음엔 당연히도 이걸 20제곱까지 늘릴 거에요 이건 계산을 엄청나게 간단하게 만들어주는데, 왜냐하면 만약에 제가 이걸 곱하려고 이 20개를 서로 곱했다면 빠른 시간에 엄청 Hairy해졌을 거기 때문이죠 하지만 여기서 저는 그냥 지수성질을 이용할 수 있어요 이것은 e의 승과 또같은 것이 될 건데요, 만약에 제가 지수에 어떤 수를 대입해서 그만큼 제곱해서 늘린다면, 지수의 곱을 구할 수 있겠죠 그래서 이건 e의 2π/3 i 곱하기 20 승이죠 그건 40π/3 i 와 같고요 자 이건 20제곱한 수이지만, 여기 있는 각은 너무 크잖아요 만약에 우리가 40π/3를 생각하고 있다면- 이걸 이해하려 해 봅시다 40π/3은 이것과 같은데, 잠깐 봅시다- 40/3은 13과 1/3 인데 이건 13 더하기 1/3 π와 같은 거에요 그래고 우린 2π 라디안만큼 가는 게 단위원을 한번 돌아가게 한다는 걸 알죠 그래서 이건 단위원을 여섯 바퀴 돌아야 구할 수 있는데 단위원이 아닌 원을 여섯 바퀴 도는 것과 같다고도 할 수 있겠죠 아마 우리가 원하는 결과를 얻기 위해서 순서대로 도는 거에요 이걸 좀 더 간단하게 하기 위해 제가 가장 큰 2π의 배수를 빼 보죠 이걸 가능한 한 작은 형식으로 만들기 위해서요 왜냐하면 우리는 각을 알기 때문에, 만약에 우리가 각이 있다면 그건 그 각에다 'k가 어떤 정수인 2π의 배수'를 더한 것과 같아요 K는 음수일 수 있기 때문에 우리는 2π의 배수를 빼는 걸수도 있죠 그래서 제가 여기에서 가능한 한 큰 2π의 배수를 빼면 답은 12π일 거에요 여기서 12π를 뺄게요 제가 12π를 뺀다면-그러니 여기 아래 할게요 그래서 13과 1/3 π 빼기 12π - 기억하세요 저는 그냥 가장 큰 2ㅠ의 배수를 빼려는 것 뿐이에요 그래서 마이너스 12π는 .. 어머 죄송해요 π를 썼네요 마이너스 12π; 13 1/3 빼기 12는 1과 1/3이죠 이건 1과 π/3가 될 거에요- 4π/3로도 쓸 수 있겠죠 그래서 이 복소수는 e의 4π/3 i 승과 같을 거에요 그러면 제가 표시하기에 훨씬 간단해지고 쉬워지죠 그러면 4π/3, 아니면 그와 같은 1과 π/3 이건 π가 될 거고, 우리는 π/3만큼 한번만 더 가면 돼요 이것들 각자는 12에요. 그래서 만약에 우리가 12π만큼 네 번 가면, 이것들 각자가- 아 죄송해요 이것들 각자는 π/12에요 그래서 우리는 네번 π/12만큼 갈 것이니, 1,2,3,4,여기 있나 보네요 음, 그래서 이 20제곱한 수는 우리가 여기 표시한 것과 자, 그러면 우리가 21제곱까지 가고 싶으면 어떻게 할까요? 그렇다면, 우리는 이 각을 또 2π/3이나 8π/12 정도 늘릴 거에요 그래서 우리는 이 각을 1,2,3,4,5,6,7,8 늘리는 거죠 그러면 우리는 바로 여기로 가게 될 거에요 그런데 이게 어떻게 말이 되죠? 음, 1제곱한 수는 바로 여기 있었죠- 파란색으로 쓴 우리의 처음 숫자요, 이걸 2제곱해서 늘리면-- 거기에 가기 위해서 여러분은 각을 2π/3만큼 늘리는 거에요 세제곱하면 또 각을 2π/3 정도 늘려 저기로 갈 수 있죠 네제곱 하면 다시 여기로 오는 거에요 그리고 5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19, 20제곱이 우리를 여기로 오게 해 주죠