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기초 대수학 (Pre-algebra)
코스: 기초 대수학 (Pre-algebra) > 단원 8
단원 11: 비례식으로 나타내기와 풀기 (초등6학년 2학기 2단원)예제: 비례식 풀기
이번 수업에서는 비례식을 풀 때 이용하는 추론 과정을 배워 봅시다. 문제를 풀기 위해 대수학적 지식도 이용해 봅시다. 만든이: 살만 칸 선생님, 몬테레이 공과대학교
동영상 대본
이 비례식을
풀어 봅시다 8/36 = 10/n입니다 이는 8과 36의 비가 10과 n의 비와
같다는 것을 의미합니다 n을 구하는 방법은
여러 가지가 있어요 그중 몇 가지를
살펴봅시다 첫 번째 방법은 이 비례식을 분수라고
생각하고 푸는 것입니다 그러므로 분자와 분모에
같은 수를 곱해줘야 합니다 8을 10으로 만들려면
어떤 수를 곱해야 할까요? 8에 10/8을 곱하면
10이 되겠죠? 그러므로 분자에는
10/8을 곱할 거예요 10/8 대신 5/4를
곱해줘도 됩니다 그러므로 분자 8을
10으로 만들어주기 위해 5/4를 곱해 봅시다 분수의 값이 변하면 안되므로 분모에도 같은 수를
곱해줘야 합니다 분모에도 5/4를
곱해 줍시다 그러면 n은
36 × 5/4와 같을 것입니다 이는 (36 × 5)/4라고
할 수도 있습니다 여기서 36과 4는
4로 나눌 수 있겠죠? 분자와 분모를
모두 4로 나누어주면 분자의 36은 9가 되고
분모의 4는 1이 됩니다 따라서 n은
9 × 5 = 45가 되겠네요 이렇게 첫 번째 방법으로
n을 구해 보았습니다 8/36 = 10/45이라고
할 수 있겠네요 두 번째 방법을 봅시다 8에 얼마를 곱해야
분모 36이 될까요? 분모 36은
분자 8의 몇 배일까요? 36을 8로
나누어 봅시다 36/8을
약분해 볼까요? 36과 8의
최대공약수는 4이므로 분자와 분모를
4로 약분하면 9/2가 됩니다 따라서 이 분자에
9/2를 곱하면 36이 되겠죠 8을 36으로 만들기 위해
9/2를 곱해야 합니다 이제 10/n을 봅시다 아까 36은
8 × 9/2와 같다고 했죠? 8 × 9/2 = 36 이게 좌변의 분자 8을
36으로 만드는 과정이었죠 그러므로 10/n의
분모 n을 구하려면 우변의 분자에도
9/2를 곱해주면 됩니다 따라서
10 × 9/2 = n입니다 우변의 분모가
되는 거예요 (10 × 9)/2를
계산해 볼까요? 분자와 분모를
2로 약분하면 (5 × 9)/1이 되므로
5 × 9 = 45가 됩니다 따라서 n = 45입니다 첫 번째 방법으로
풀었을 때와 답이 같습니다 이번에는
이런 비례식을 풀 수 있는 십자 곱셈에 대해
알아볼 거예요 이 방법을 쓰면 문제를
정말 빨리 풀 수 있어요 하지만 이 방법은
비례식을 처음 배울 때는 좋지 않아요 이 방법을 쓰면 원리를
잘 이해하지 못할 거예요 원리를 먼저 이해한 뒤에
쓰는 것이 좋습니다 이 방법이
이해되지 않는다고 해도 걱정하지 마세요 주어진 식은
8/36 = 10/n입니다 이것을 십자 곱셈으로
계산해 봅시다 좌변의 분자 8과
우변의 분모 n을 곱한 값은 즉 8 × n은 좌변의 분모 36과
우변의 분자 10을 곱한 값과 같습니다 이게 바로
십자 곱셈입니다 따라서 8n = 36 × 10과
같습니다 우변을 계산해 보면
8n = 360이 됩니다 8에 어떤 수를 곱해야
360이 될까요? n을 구하기 위해
양변을 8로 나누어 봅시다 이렇게 나누면
n = 360/8이 됩니다 이는 어려운 수학 용어를
사용하지 않고 계산할 수 있어요 8에 얼마를 곱해야
360이 될까요? 360/8을
곱하면 되겠죠? 8 × ? = 360에서 ?는 360/8이
될 것입니다 이 식을 계산해 보면
8이 약분되어서 360이 됩니다 그러므로
n = 360/8입니다 이제 360/8을 약분해서
기약분수로 만들어 봅시다 360을 8로
나눠 볼까요? 8은 36에 4번 들어가죠
8 × 4 = 32 36 - 32 = 4이고
0을 내려 줍니다 8은 40에 5번 들어갑니다
8 × 5 = 40 40 - 40 = 0이므로
나머지는 없습니다 따라서 n = 45입니다 마지막 방법은
약간 어려울 수도 있어요 앞서 배운 방법만
이용해도 되지만 이 방법을
설명하는 이유는 십자 곱셈처럼
쉬운 방법도 있지만 수학적인 방법을 이용해도
같은 결과가 나온다는 것을 보여드리기
위해서예요 이 방법이 너무 어려우면
동영상을 그만 보셔도 좋습니다 비례식을
다시 적어 볼까요? 8/36 = 10/n n을 구해 봅시다 n을 구하는
가장 쉬운 방법은 좌변과 우변에
같은 수를 곱해주는 거예요 각 변에 같은 수를
곱해줘도 등식은 성립하죠 양변에 n을
곱해 봅시다 우변에는 n이 소거되어
10만 남겠죠? 따라서 식은
8/36 × n = 10이 되겠네요 이제 n을 구하기 위해서 n의 계수의
역수를 곱해줄 거예요 8/36의 역수는
36/8입니다 좌변에 역수를 곱하면
n의 계수가 1이 되겠죠 좌변에 36/8을 곱해줬으므로
우변에도 같은 수를 곱해 줍니다 10 × 36/8 좌변은
36/8 × 8/36이 소거되며 식은
n = 360/8이 됩니다 이렇게 계산했더니
아까와 같은 답이 나왔어요 십자 곱셈에서는
2단계에 걸쳐 계산하지만 여기서는 한 단계
더 거쳐야 합니다 양변에 n을 곱해서
8n을 만든 후 양변에 다시
36을 곱해야 8n = 36 × 10이 됩니다 하지만 두 방법 모두
마지막에는 약분을 해줘야 해요 비례식에서 미지수를 구하는
여러 가지 방법을 배웠습니다 이중에서 가장
명확하고 쉬운 방법은 분자에 곱할 수를 생각해서 분모에도 같은 수를
곱하는 방법과 십자 곱셈일 거예요