예제: 비례식 풀기

이 비례식을 풀어 봅시다 8/36 = 10/n입니다 이는 8과 36의 비가 10과 n의 비와 같다는 것을 의미합니다 n을 구하는 방법은 여러 가지가 있어요 그중 몇 가지를 살펴봅시다 첫 번째 방법은 이 비례식을 분수라고 생각하고 푸는 것입니다 그러므로 분자와 분모에 같은 수를 곱해줘야 합니다 8을 10으로 만들려면 어떤 수를 곱해야 할까요? 8에 10/8을 곱하면 10이 되겠죠? 그러므로 분자에는 10/8을 곱할 거예요 10/8 대신 5/4를 곱해줘도 됩니다 그러므로 분자 8을 10으로 만들어주기 위해 5/4를 곱해 봅시다 분수의 값이 변하면 안되므로 분모에도 같은 수를 곱해줘야 합니다 분모에도 5/4를 곱해 줍시다 그러면 n은 36 × 5/4와 같을 것입니다 이는 (36 × 5)/4라고 할 수도 있습니다 여기서 36과 4는 4로 나눌 수 있겠죠? 분자와 분모를 모두 4로 나누어주면 분자의 36은 9가 되고 분모의 4는 1이 됩니다 따라서 n은 9 × 5 = 45가 되겠네요 이렇게 첫 번째 방법으로 n을 구해 보았습니다 8/36 = 10/45이라고 할 수 있겠네요 두 번째 방법을 봅시다 8에 얼마를 곱해야 분모 36이 될까요? 분모 36은 분자 8의 몇 배일까요? 36을 8로 나누어 봅시다 36/8을 약분해 볼까요? 36과 8의 최대공약수는 4이므로 분자와 분모를 4로 약분하면 9/2가 됩니다 따라서 이 분자에 9/2를 곱하면 36이 되겠죠 8을 36으로 만들기 위해 9/2를 곱해야 합니다 이제 10/n을 봅시다 아까 36은 8 × 9/2와 같다고 했죠? 8 × 9/2 = 36 이게 좌변의 분자 8을 36으로 만드는 과정이었죠 그러므로 10/n의 분모 n을 구하려면 우변의 분자에도 9/2를 곱해주면 됩니다 따라서 10 × 9/2 = n입니다 우변의 분모가 되는 거예요 (10 × 9)/2를 계산해 볼까요? 분자와 분모를 2로 약분하면 (5 × 9)/1이 되므로 5 × 9 = 45가 됩니다 따라서 n = 45입니다 첫 번째 방법으로 풀었을 때와 답이 같습니다 이번에는 이런 비례식을 풀 수 있는 십자 곱셈에 대해 알아볼 거예요 이 방법을 쓰면 문제를 정말 빨리 풀 수 있어요 하지만 이 방법은 비례식을 처음 배울 때는 좋지 않아요 이 방법을 쓰면 원리를 잘 이해하지 못할 거예요 원리를 먼저 이해한 뒤에 쓰는 것이 좋습니다 이 방법이 이해되지 않는다고 해도 걱정하지 마세요 주어진 식은 8/36 = 10/n입니다 이것을 십자 곱셈으로 계산해 봅시다 좌변의 분자 8과 우변의 분모 n을 곱한 값은 즉 8 × n은 좌변의 분모 36과 우변의 분자 10을 곱한 값과 같습니다 이게 바로 십자 곱셈입니다 따라서 8n = 36 × 10과 같습니다 우변을 계산해 보면 8n = 360이 됩니다 8에 어떤 수를 곱해야 360이 될까요? n을 구하기 위해 양변을 8로 나누어 봅시다 이렇게 나누면 n = 360/8이 됩니다 이는 어려운 수학 용어를 사용하지 않고 계산할 수 있어요 8에 얼마를 곱해야 360이 될까요? 360/8을 곱하면 되겠죠? 8 × ? = 360에서 ?는 360/8이 될 것입니다 이 식을 계산해 보면 8이 약분되어서 360이 됩니다 그러므로 n = 360/8입니다 이제 360/8을 약분해서 기약분수로 만들어 봅시다 360을 8로 나눠 볼까요? 8은 36에 4번 들어가죠 8 × 4 = 32 36 - 32 = 4이고 0을 내려 줍니다 8은 40에 5번 들어갑니다 8 × 5 = 40 40 - 40 = 0이므로 나머지는 없습니다 따라서 n = 45입니다 마지막 방법은 약간 어려울 수도 있어요 앞서 배운 방법만 이용해도 되지만 이 방법을 설명하는 이유는 십자 곱셈처럼 쉬운 방법도 있지만 수학적인 방법을 이용해도 같은 결과가 나온다는 것을 보여드리기 위해서예요 이 방법이 너무 어려우면 동영상을 그만 보셔도 좋습니다 비례식을 다시 적어 볼까요? 8/36 = 10/n n을 구해 봅시다 n을 구하는 가장 쉬운 방법은 좌변과 우변에 같은 수를 곱해주는 거예요 각 변에 같은 수를 곱해줘도 등식은 성립하죠 양변에 n을 곱해 봅시다 우변에는 n이 소거되어 10만 남겠죠? 따라서 식은 8/36 × n = 10이 되겠네요 이제 n을 구하기 위해서 n의 계수의 역수를 곱해줄 거예요 8/36의 역수는 36/8입니다 좌변에 역수를 곱하면 n의 계수가 1이 되겠죠 좌변에 36/8을 곱해줬으므로 우변에도 같은 수를 곱해 줍니다 10 × 36/8 좌변은 36/8 × 8/36이 소거되며 식은 n = 360/8이 됩니다 이렇게 계산했더니 아까와 같은 답이 나왔어요 십자 곱셈에서는 2단계에 걸쳐 계산하지만 여기서는 한 단계 더 거쳐야 합니다 양변에 n을 곱해서 8n을 만든 후 양변에 다시 36을 곱해야 8n = 36 × 10이 됩니다 하지만 두 방법 모두 마지막에는 약분을 해줘야 해요 비례식에서 미지수를 구하는 여러 가지 방법을 배웠습니다 이중에서 가장 명확하고 쉬운 방법은 분자에 곱할 수를 생각해서 분모에도 같은 수를 곱하는 방법과 십자 곱셈일 거예요