어떤 수의 약수 찾기

120의 모든 약수를 찾아 봅시다 120을 나눌 수 있는 모든 수를 찾는 것입니다 우선 120은 1로 나눌 수 있습니다 이를 120 = 1 × 120으로 쓸 수 있어요 여기에 약수를 나열해 보겠습니다 벌써 약수를 두 개 찾았죠 모든 자연수는 1로 나눌 수 있습니다 120은 자연수죠 따라서 1은 가장 작은 약수가 되고 120은 가장 큰 약수가 됩니다 120보다 큰 수로 120이 나누어떨어지도록 나눌 수는 없습니다 121은 120 안에 들어가지 않기 때문이죠 그러므로 가장 큰 약수는 120이 됩니다 다음 약수를 생각해 봅시다 120을 2로 나눌 수 있을까요? 120은 2에 어떤 수를 곱한 수일까요? 120을 보면 일의 자리가 0이므로 짝수라는 것을 알 수 있어요 일의 자리에 0, 2, 4, 6, 8이 오면 짝수입니다 짝수이며 자연수인 120은 2로 나눌 수 있어요 어떤 수에 2를 곱해야 120이 되는지 알아보기 위해 120을 12 × 10으로 생각해 봅시다 또는 2 × 6 × 10이나 2 × 60으로 생각해 봅시다 나눗셈을 이용해 구할 수도 있습니다 120을 2로 나눠보면 2는 1에 들어가지 않고 2는 12에 6번 들어가죠? 6 × 2 = 12 두 수를 빼면 0이 나옵니다 0을 아래로 가져오면 2는 0에 0번 들어갑니다 0 × 2 = 0이므로 나머지는 없습니다 따라서 60번 들어갈 수 있습니다 두 개의 약수를 더 찾았습니다 구한 약수를 순서대로 써 봅시다 1 다음으로 작은 수는 2이고 120 다음으로 큰 수는 60이죠 이제 3에 대해 생각해 봅시다 120은 3에 어떤 수를 곱한 수일까요? 다양한 방법으로 알아볼 수 있습니다 배수판정법을 이용해 봅시다 어떤 수가 3으로 나눠지는지 알아보려면 각 자리 숫자의 합이 3으로 나누어지면 됩니다 120을 옆에 다시 써 보겠습니다 1 + 2 + 0 = 3 3은 확실히 3으로 나눌 수 있습니다 따라서 120은 3으로 나눌 수 있습니다 3과 무엇을 곱해야 120이 될까요? 3은 12에 4번 들어가죠 이렇게 나눗셈을 해 봅시다 3은 12안에 4번 들어갑니다 4 × 3 = 12이고 빼면 나머지가 없습니다 0을 아래로 내려 줍니다 3은 0 안에 0번 들어가니까 0 × 3 = 0 나머지는 없습니다 3은 120에 40번 들어가네요 다른 방법으로 계산할 수도 있어요 120을 12 × 10이라고 생각해 봅시다 12를 3으로 나누면 4가 되죠? 4에 10을 곱해주면 40이 됩니다 또는 120의 0을 무시하고 3으로 나누면 4를 얻을 수 있죠? 4의 뒤에 0을 붙여 줍니다 이렇게 약수를 두 개 더 찾았어요 작은 약수는 3이고 큰 약수는 40입니다 120을 4로 나눌 수 있을까요? 4의 배수판정법은 십의 자리 위에 있는 모든 것을 무시하고 끝에 두 자리만 살펴보면 됩니다 4로 나눌 수 있는지 보려면 뒤의 두 자리 수만 보세요 120의 뒤의 두 자리 수는 20이네요 20은 4로 나눌 수 있으므로 120은 4로 나눌 수 있습니다 4는 약수가 됩니다 4에 어떤 수를 곱해야 120이 될까요? 12를 4로 나누면 3이므로 120을 4로 나누면 30입니다 약수 4와 30을 찾았습니다 긴 나눗셈으로도 구해볼 수 있습니다 확실하게 하기 위해서 말이죠 다음은 5를 해 볼까요? 5에 무엇을 곱해야 120이 될까요? 먼저 배수판정법을 이용해 봅시다 120은 0으로 끝납니다 0 또는 5로 끝나면 5로 나눌 수 있어요 그러므로 120은 5로 나눌 수 있습니다 몇 번 들어갈까요? 120을 5로 나눠 볼게요 1에는 5가 들어가지 않고 12에는 2번 들어갑니다 2 × 5 = 10 두 수를 서로 빼면 2가 나오고 0을 내려주면 5는 20에 4번 들어갑니다 4 × 5 = 20이고 빼주면 나머지는 없습니다 딱 떨어지네요 0 또는 5로 끝나기 때문이죠 계산 과정을 지우고 식을 마저 써 볼게요 5 × 24 = 120이므로 약수 두 개를 더 찾았어요 5와 24입니다 약수가 더 있을 것 같으니 공간을 더 만들어 볼게요 이쪽을 옮기고 이것을 잘라내서 옆에 붙여 볼게요 공간이 좀 더 생기죠 5와 24를 써줬고 이제 6을 살펴봅시다 6에 무엇을 곱해야 120이 될까요? 6으로 나누려면 2와 3으로도 나눌 수 있어야 합니다 2와 3으로 나눌 수 있다는 것을 이미 알고 있으므로 6으로도 나눌 수 있습니다 암산으로 해 봅시다 12를 6으로 나누면 2가 되고 120이므로 뒤에 0이 하나 더 있겠죠 120을 6으로 나누면 20이 되겠네요 역시 긴 나눗셈으로 구할 수도 있습니다 따라서 6 × 20은 120의 약수입니다 7을 해 볼까요? 7은 굉장히 신기한 숫자예요 이번에는 판정법을 쓰지 않고 120을 7로 나눠보겠습니다 7은 1에 들어가지 않고 12에는 1번 들어갑니다 1 × 7 = 7이고 빼면 12 - 7 = 5입니다 0을 아래로 내려 줍니다 7 × 7 = 49이므로 7은 50에 7번 들어갑니다 빼면 나머지가 있어요 딱 떨어지지 않네요 그러므로 7은 약수가 아닙니다 8을 볼까요? 8이 약수인지 생각해 봅시다 똑같이 계산해 봅시다 120 ÷ 8을 계산해 봅시다 8은 1에 들어갈 수 없고 12 안에는 1번 들어갑니다 1 × 8 = 8이고 빼면 12 - 8 = 4입니다 0을 내려 줍니다 8은 40 안에 5번 들어갑니다 5 × 8 = 40이므로 나머지는 없습니다 120을 다시 써 보겠습니다 120 = 8 × 15입니다 이를 약수 목록에 써 볼게요 따라서 8과 15도 약수가 됩니다 9는 어떨까요? 120을 9로 나눌 수 있나요? 판정법을 이용해서 모든 자릿수를 더하면 1 + 2 + 0 = 3입니다 3은 3으로는 나눌 수 있지만 9로는 나눌 수 없습니다 그러므로 120은 9로 나눌 수 없어요 9는 약수가 아닙니다 이제 10을 봅시다 바로 알 수 있겠죠? 0으로 끝나니까 10으로 나눌 수 있어요 적어 보겠습니다 120 = 10 × 12 10 × 12을 계산하면 정확히 120이 됩니다 약수 목록에 10과 12를 써 줍시다 마지막으로 11을 살펴봅시다 11 이상으로는 살펴볼 필요가 없어요 이미 약수로 12를 구했으며 그보다 큰 약수는 없기 때문입니다 가장 큰 약수부터 차례대로 내려왔기 때문에 모든 약수를 다 찾았습니다 11을 한번 살펴봅시다 11은 120 안에 들어가나요? 곱셈구구표 11단을 알면 들어가지 않는다는 것을 알겠지만 한번 해 봅시다 11은 12 안에 한 번 들어갑니다 1 × 11 = 11이고 빼주면 1이 됩니다 0을 아래로 내려주면 11은 10에 0번 들여가죠 0 × 11 = 0이고 나머지는 10입니다 11은 120에 10번 들어가고 10이 남으므로 나누어 떨어지지 않아요 약수를 모두 찾았습니다 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120