유효숫자 표기법이란?

과학에서는 주로 복잡한 숫자를 다룹니다 생물학이든, 화학이든 혹은 물리학이든 수를 다루어야만 합니다 그리고 대부분의 경우에 그 숫자들은 매우 큽니다 아주 아주 큰 수들이 있습니다 아주 큰 수, 혹은 아주, 아주 작은 아주 작은 수입니다 아주 큰 수를 상상해 보십시오 인체에는 얼마나 많은 원자가 있냐고 질문을 한다면? 아니면 인체에 얼마나 많은 세포가 있는지? 또는 지구의 질량이 몇 킬로그램인지를 묻는다면? 이러한 질문의 답은 아주 큰 숫자들입니다 전자의 질량이 얼마인지 묻는다면 그 것은 아주 작은 수가 될 것입니다 그래서 어떤 과학을 하든지 이러한 수를 다루게 됩니다 그 예로, 앞으로 가장 자주 볼 수 중 하나를 보여드릴려고 하는데, 특별히 화학에서는 아보가드로의 수입니다 아보가드로의 수 이 수를 그냥 적는다면 글자로는 이렇게 쓰입니다 새로운 색으로, 6 0 2 2 그리고 20 개의 0 을 붙여야합니다 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 중간에 반점을 넣는다고 하여도 딱히 더 읽기 쉬워지지는 않습니다 여기에 쉼표를 넣겠습니다 아직 엄청나게 큰 수입니다 종이에 적어야하거나, 아보가드로 수를 가지고 논문에 써야 했다면 이걸 적는데 평생이 걸렸을 것입니다 그리고 더더욱, 0 하나를 빠뜨리거나, 0 을 너무 많이 넣었어도 알기 힘듭니다 그래서 여기 문제가 있습니다 이 것을 적을 수 있는 더 좋은 방법이 있을까요? 방금 적은 것보다 더 좋은 방법이 있을까요? 6 다음에 23 자리수를 넣을 수도 있고 6 0 2 2 다음에 20 개의 0 을 넣을 수도 있습니다 참고로 아보가드로의 수는 탄소 12 그램이 단위라고 하면 탄소-12의 12 그램일 때 원자가 몇 개 있는지를 나타냅니다 12 그램은 1/50 파운드 정도입니다 이 것이 얼마나 많은 원자가 있는지를 알려줍니다 아주 큰 수입니다 하지만 여기서 화학을 가르치려는 것은 아닙니다 요점은 이 수를 나타내는 쉬운 방법입니다 이 것을 쉽게 나타내려고 과학적 표기법이라고 부르는 것을 합니다 과학적 표기법 조금 부자연스럽겠지만 이렇게 하는 것이 수 표기를 할 때 매우 편리합니다 어떻게 하는지를 보여드리기 전에 과학적 표기의 기초를 가르쳐드리겠습니다 10 의 0 제곱은 얼마입니까? 1 임을 알고 있습니다 10 의 1 제곱은 얼마입니까? 10 입니다 10 의 제곱은요? 10 곱하기 10 이니까 100 입니다 10 의 3 제곱은요? 10 의 3 제곱은 10 x 10 x 10 이니까 1,000 입니다 규칙을 알겠나요? 10 의 0 제곱에는 0 이 없습니다 0 이 없지요 그렇지요? 10 의 1 제곱에는 0 이 1 10 의 2 제곱에는 10 의 2 제곱은 0 이 2 개가 있고 10의 3 제곱에는 0 이 3 개 있습니다 이제 좀 이해가 됐으리라 생각합니다 3 개 의 0 10 의 100 제곱을 한다면 10 의 100 제곱, 어떻게 생각합니까? 여기 다 쓸 수 없는데요 100 개의 0 이 따라 온다는 것을 추측하실 수 있을 것입니다 아주 많은 0 이지요 이 0 을 모두 세어보면, 바로 100 개를 얻을 것입니다 그리고 흥미로운 사실은 이 수를 부르는 이름입니다 이 수를 구골 (googol)이라고 부릅니다 구골 (googol) 1900년대 초기에, 어떤 분이 이것이 구골이라고 했다면 검색엔진을 생각할 수도 없었을 것이니 10의 100 제곱이라고 생각했을 것입니다 아주, 아주 큰 수 입니다 실제로 이 수는 알려진 우주의 모든 원자의 수의 추정되는 수보다도 더 큰 수입니다 알려진 우주의 모든 원자의 수 그 외에 무엇이 존재하는지 고민할수도 있습니다 이 것을 공부한 것은 그리 오래 되지 않았습니다 알려진 바로는, 우주에 있는 원자의 수는 10 의 79 제곱에서 81 제곱 정도입니다 대략적인 것입니다 누구도 모두 셀 수는 없겠지요 추정 값이고 더 나은 추정을 하려는 것입니다 하여튼 아주 큰 수 입니다 더 흥미로운 것은 아주 유명한 검색엔진 회사 구글의 작명 동기가 되었다는 것입니다 구글 굳이 따지자면 구글은 구골을 잘못 쓴 것입니다 구골 은 ol로 끝나는데 어떻게 구글이 되었는지는 잘 모르겠습니다 아마도 도메인 이름을 가지고 있었거나 아주 많은 정보를 담고 있기를 원했을 것입니다 이렇게 많은 정보를 의미하거나 그냥 단어 자체가 마음에 들었을 수도 있죠 무엇이 되었건, 창립자가 좋아했던 수였을 것입니다 하여튼 별 거 아닙니다 이야기가 옆으로 빗나갔습니다 이것이 구골입니다 1 다음에 0 이 100 개입니다 이 것을 10 의 100 제곱이라고 동등하게 쓸 수 있습니다 이 것이 분명히 쉬운 길이고 이를 나타내는데 쉬운 길입니다 이 쪽이 더 쉽습니다 이건 쓰기가 어려워서 문제가 있었다고 느껴졌습니다 엄청나게 오래걸렸겠죠? 바로 여기 20 개의 0 입니다 100 개의 0 은, 이 스크린을 가득 채울 것이여서 쓰지는 않겠습니다 이게 쓰기에 더 편합니다 생각해보면 10 에 대한 지수로 나타내는 것이 좋지요? 그렇지 않습니까? 하지만 10 의 제곱이 아닌 것은 어떻게 할까요? 단순화를 위하여 지수를 어떻게 사용할 수 있습니까? 단순화를 위하여 지수를 어떤 식으로든 사용할 수 있습니까? 이렇게 할려면, 실상을 아실 필요가 있습니다 이 수는 이렇게 쓸 수 있습니다 그러면 세 개의 숫자와 20 개의 0 을 가지고 있습니다 그래서 6 다음에 23 개의 숫자가 있습니다 6 다음에 23 개의 숫자 이 수를 10 에 대해 지수로 나타내면 어떻게 됩니까? 10 의 23 제곱이라고 하면 어떻게 됩니까? 자주색으로 쓰겠습니다 10 의 23 제곱은 무엇과 같습니까? 이 것은 1 다음에 0 이 23 개 있는 것과 같습니다 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 알겠나요? 10 의 23 제곱입니다 어떤 식이든 이렇게 쓸 수 있습니다 이 것에 6 을 곱하면 6 에 10 의 23 제곱을 곱하면 무엇이 됩니까? 그냥 6 다음에 23 개의 0 이 있는 것입니다 6 이 있고 그 뒤에 0 이 23 개 있는 것입니다 이처럼 23 개의 0 을 가지게 될 것입니다 여기에 6 을 곱하면, 어떻게 곱하는지를 아시고 계실텐데요 이 1 에 6 을 곱하여, 6 을 얻었고 6 곱하기 모든 0 은 모두 0 이 됩니다 그래서 6 다음에 23 개의 0 이 오게 됩니다 아주 쓸모가 있습니다 하지만 아직, 이 수에 완전히 도달한 것은 아닙니다 이 수 안에 숫자 2 가 있다는 것입니다 그러면 어떻게 조금 더 좋게 할 수 있을까요? 소수로 나타내면 어떨까요? 이 수는 이 2가 0 이었다면 같은 수가 되었을 것입니다 하지만 여기에 이 2를 넣고 싶으면, 어떻게 할까요? 여기에 소수점을 찍을 수 있습니다 이 것이 6.022 곱하기 10 의 23 제곱과 같다고 할 수 있습니다 이 수는 이 수와 같은 것이지만 쓰기에는 훨씬 더 쉽습니다 직접 확인해볼 수 있습니다 시간은 오래 걸리겠지만 우선 작은 수로 해보아야 합니다 하지만 6.022 곱하기 10 의 23 제곱을 하고 그 것을 모두 쓰면, 여기에 이 수를 얻게됩니다 아보가드로의 수를 얻을 것입니다 아보가드로 수 아마 처음에는 복잡하고 직접 와닿지 않을 것입니다 이 것은 단지 수를 쓴 것 뿐입니다 곱셈이 있고 그 다음에 10 의 지수를 했습니다 간단하지는 않다고 말씀하실 수도 있습니다 하지만 실제로는 간단합니다 여기에 얼마나 많은 수의 0 이 있는지를 즉각적으로 알 수 있기 때문입니다 이 수를 나타내는 지름길입니다 몇 개를 더 해보겠습니다 아보가드로의 수를 가지고 시작했는데 과학적 표기가 필요한 것을 보여주기 때문입니다 그러므로 이제 이렇게 써서는 안됩니다 다른 수를 해보겠습니다 과학적 표기로 써보겠습니다 수가 있는데요, 7,345 입니다 과학적 표기법으로 나타내려합니다 생각하기에 가장 좋은 길은 7,345의 천의 자리를 어떻게 쓸까요? 써볼까요? 10 의 3 제곱은 1000 입니다 10 의 3 제곱은 1000 인 것을 알고 있습니다 이 수에 적합한 가장 좋은 10 의 지수는 이 것입니다 이 것은 7,000 입니다 이 것은 7,000 이고, 그 다음 3 곱하기 1000 이고 그 다음은 0.04 곱하기 1,000 입니다 도움이 되었나요? 이 수를 7.345 곱하기 10 의 3 제곱으로 쓸 수 있습니다 7,000 더하기 0.3 천이기 때문입니다 0.3 곱하기 1,000 은 얼마입니까? 0.3 곱하기 1,000 은 300 입니다 0.04 곱하기 1,000 은 얼마입니까? 40 입니다 0.005 곱하기 1,000 은 얼마입니까? 5 입니다 그래서 7.345 곱하기 1,000 은 7,345 입니다 곱하기를 해서, 확실하게 하겠습니다 7.345 곱하기 1,000 을 합니다 여기서 방법은 일단, 0 을 무시합니다 1 로 여기 위에 있는 수를 곱합니다 그래서 7 3 4 5 를 얻었고, 0 이 있으므로 여기 끝에 0 을 붙입니다 소수점 아래 세자리를 1, 2, 3 세자리입니다 그래서 하나, 둘, 셋 바로 여기에 소숫점을 찍습니다 다 되었습니다 7.345 곱하기 1,000 은 7,345 입니다 몇 개를 더 해보겠습니다 6 을 과학적 표기로 나타내려 합니다 굳이 과학적 표기로 나타낼 필요는 없지만 어떻게 나타낼 수 있습니까? 6 에 적합한 가장 큰 10 의 지수는 얼마입니까? 6 에 맞는 가장 큰 10 의 지수는 1 입니다 어떤 수 곱하기 10 의 0 제곱으로 쓸 수 있습니다 10 의 0 제곱은 그냥 1 입니다, 그렇지요? 그냥 1 입니다 그러면 6 은 무엇 곱하기 1 입니까? 그냥 6 입니다 그래서 6 은 6 곱하기 10 의 0 제곱이 됩니다 실제로는 이렇게 쓸 필요는 없습니다 이 것이 훨씬 더 간단합니다 하지만 어떤 숫자라도 과학적 표기로 쓸 수 있습니다 이런 식으로 쓰고 싶으면 어떻게 하여야 합니까? 강의 초반에 과학에서 아주 큰 수와 아주 작은 수를 다루어야한다고 말씀드렸습니다 여기에 수가 있다고 합시다, 이 색으로 쓰겠습니다 1, 2, 3, 4 다석 개의 0 이 있고 그 다음에 7 이 옵니다 다시 한 번, 이 수는 다루기 쉬운 수는 아닙니다 이 수에 적합한 10 의 지수 중 가장 큰 것은 무엇입니까? 나누어 떨어지는 수는 무엇입니까? 생각해 봅시다 지금까지 다루어 온 것은 10의 지수가 양수였습니다 10 에 대한 양의 지수 10 에 대한 음수의 지수를 할 수도 있습니다 10 의 0 제곱은 1 임을 알고있습니다 여기에서 시작하겠습니다 10 의 - 1 제곱은 10 분의 1 이고, 0.1 과 같습니다 색깔을 바꾸어서 분홍색으로 하겠습니다 10 의 - 2 제곱은 10 제곱 분의 1 이고 100 분의 1 이 되어, 0.01 과 같습니다 이해했을거라 생각합니다 개념을 잡을 수 있도록 하나 더 해보겠습니다 10 의 - 3 제곱 10 의 - 3 제곱은 10 의 3 제곱 분의 1 이고, 1000 분의 1 이 되고, 0.001 과 같습니다 그래서 일반적인 패턴을 보면, 10 의 마이너스 제곱은 소수점 뒤에 있는 자릿수만큼을 나타내게 됩니다 0 의 갯수가 아닙니다 10 의 - 3 제곱에는 0 이 두 개 밖에 없지만, 소수점 아래에 3 자리가 있는 것입니다 그러면 여기에 들어갈 수 있는 10 의 지수 중 가장 큰 것은 무엇입니까? 소수점 뒤에 몇 개의 자리수를 가지고 있습니까? 1, 2, 3, 4, 5, 6 개 입니다 그래서 10 의 - 6 제곱이고 소수점 뒤에 6 자리수를 가지게 되고 마지막 자리는 1 이 됩니다 그래서 5 개의 0 과 1 을 가지게 됩니다 이 것이 10 의 - 6 제곱입니다 바로 여기에 있는 이 수는 이 수의 7 배에 해당합니다, 그렇지요? 이 수에 7 을 곱하면, 1 을 7 배 하고 1, 2, 3, 4, 5, 6 개를 소숫점 뒤에 놓으면 됩니다 1, 2, 3, 4, 5, 6. 그래서 이 수에 7 을 곱한 것은 처음 수와 같은 것입니다 그래서 이 수를 다시 쓸 수 있습니다 이 수를 매 번 쓰는 대신 이것처럼 다시 쓸 수 있고 7 처럼 쓸 수 있고, 이 것은 이 수의 7 배와 같습니다 이 수는 저 수보다 더 좋은 것은 아니지만 10 의 - 6 제곱과 같습니다 7 곱하기 10 의 - 6 제곱 이제 짐작하실 수 있을 것입니다 수가 있는데, 7 이 있으면 이 방식으로 생각해보겠습니다 7 이 있는데, 여기 위에 7 3 이 있다고 합시다 그러면 무엇을 하여야 합니까? 바로 여기에 있는 처음의 숫자로 가려고 합니다 10 의 지수 중 가장 큰 것이 될 수 있는 것이고 여기에 들어갈 수 있습니다 저 것을 니타내기를 원하면 다른 자릿수를 해야합니다 0.0000516 입니다 이 수를 과학적 표기 방식으로 나타낼려고합니다 0 이 아니 첫 번째로 가겠습니다 첫 번째 0 이 아닌 수는 바로 여기에 있습니다 여기에 10의 지수 중 가장 큰 것은 무엇입니까? 1, 2, 3, 4, 5 개 5.16 이 되고, 여기 5 를 취하고 나머지를 소수점 아래로 놓이고, 곱하기 10 의 10 의 지수 중 가장 큰 것은 이 첫 번째 0 이 아닌 수입니다 1, 2, 3, 4, 5 입니다. 그래서 10 의 - 5 제곱입니다 하나 더 해 보겠습니다 여기서 요점은 먼저 처음으로 가서 왼쪽에서 시작해서, 처음으로 0 이 아닌 수가 지수를 구하는데에 사용됩니다 여기가 10 의 - 5 제곱을 얻은 곳인데요 1, 2, 3, 4, 5 를 세었기 때문입니다 이 수를 세었을 것입니다 여기서 했던 것처럼 그러면 나머지는 모두 소수점 뒤에 있는 것입니다 다른 예제를 해보겠습니다 이 수가 있는데요 제 집사람은 항상 소수점 앞에 0 을 써야한다고 지적하는데요 의사이기 때문에 사람들이 소수점을 보지 못하면, 어떤 사람은 약을 과다처방할 수도 있다고합니다 그러면 그녀가 하는 방식으로 쓰겠습니다 0.0000000008192 이 수는 확실히 귀찮습니다 그렇지요? 0 을 빼먹을 수도 혹는 너무 많이 넣을 수도 있다는 것을 알고 있습니다 중요한 연구를 하고 있다면 또는 이렇게 적은 양의 처방을 할 수 없고 또는 여러분이 관련되기 싫습니다 하지만 이 수를 어떻게 과학적 표기로 나타낼 수 있을까요? 그러면 처음으로 나타나 0 이 아닌 수에서 시작해서 왼쪽에서부터 소수로 나타내면 그러면 8.192 가 되고, 소수로 나타냈는데 8.192 곱하기 10 의 몇 제곱입니까? 8, 9, 10, 이 수를 포함해야합니다 10 의 - 10 제곱입니다 이 수가 저기 있는 수보다 쓰기에 쉬워 만족할 것입니다 이제, 과힉적 표기의 또 다른 위력입니다 이 두수를 가지고 있는데 이 두 수를 곱하려고 합니다 0.005 곱하기 0.0008 을 해봅시다 이 것은 하는 것이 아주 간단합니다 귀찮지만 소수점의 어느쪽이건 20 개나 30 개의 0 이 있는 수를 다룬다면 더 그렇습니다 제 집사람이 좋아하도록 0 을 넣겠습니다 이 것을 과학적 표기로 나타낼 때는 간단히해야 합니다 이 것을 5 곱하기 10 의 몇 제곱으로 다시 쓸 수 있을까요? 소수점 뒤에 1, 2, 3, 세자리가 있으니 10 의 3제곱입니다 이 것은 8 곱하기 10 의 5 곱하기 10 의 - 3제곱입니다 아주 중요합니다 5 곱하기 10 의 3 제곱은 5,000 입니다 주의하셔야 합니다 그러면 이 수는요? 소수점뒤에 1, 2, 3, 4, 네자리가 있습니다 그래서 8 곱하기 10 의 - 4 제곱입니다 수를 곱할려면 이 두 수를 곱하는 것은 5 곱하기 10 의 마이너스 3제곱 x 8 x 10 의 - 4 제곱과 같습니다 과학적 표기라고하여 특별한 것은 없습니다 글자 그대로입니다 곱셈을 위하여, 이렇게 쓰고 곱하면, 순서는 상관 없으니, 이렇게 다시 쓸 수 있고 5 곱하기 8 곱하기 10의 - 3 제곱 곱하기 10 의 - 4 제곱 처럼요 그러면 5 x 8 은 얼마입니까? 5 x 8 은 40입니다 그러면 40 x 10 의 - 3 제곱 곱하기 10 의 - 4 제곱 지수 법칙을 알고있다면 깉은 밑수를 가진 두 수를 곱할 때는 지수를 그냥 더하면 됩니다 그냥 - 3 과 - 4 를 더하면 됩니다 40 x 10 의 - 7 제곱이 됩니다 다른 문제를 해보겠습니다 아보가드로 수를 곱한다고 해 봅시다 아보가드로 수는 6.022 x 10의 23 제곱임을 알고 있습니다 이 수에 아주 작은 수를 곱해봅시다 곱하기 7.23 곱하기 10 의 마이너스 22 제곱 이 것은 진짜로 아주 작은 수 입니다 소수를 얻을 것이고 21 개의 0 과 7 2 3 을 가지고 있습니다 이 것은 아주 작은 수입니다 하지만 곱셈은, 과학적 표기로 하면 6.022 곱하기 10 의 23 제곱, 곱하기 7.23 곱하기 10 의 - 22 제곱 순서를 바꿀 수 있습니다 그러면 6.022 곱하기 7.23 이 것이 그 부분입니다 과학적 표기로 이 첫 번째 부분을 할 수 있습니다 곱하기, 곱하기, 10 의 23 제곱 x 10 의 - 22 제곱입니다 이제 알다시피 바로 여기에서 약간의 소수의 곱셈을 합시다 어떤 수가 될텐데요, 40 정도 라고 생각합니다 암산으로 할 수는 없습니다 하지만 계산기로는 쉽게 할 수 있습니다 이 수 곱하기 10 의 23 제곱 곱하기 10의 - 22 제곱입니다 그냥 지수를 더하면 됩니다 10 의 1 제곱 곱하기 10 이제 이 수는 무엇이 되건 그냥 남겨두겠습니다 계산기가 없기 때문입니다 7.23, 얼마가 될지 봅시다 7.2, 봅시다 0.2 곱하기, 5 분의 1 이니까 41 정도 될 것 같습니다 그래서 이 것은 대략, 41 곱하기 10 의 1 제곱입니다 다르게는 410 정도 될 것입니다 제대로 할려면 실제로 이 곱셈을 해 보셔야합니다 과학적 표기법이 아주 큰 수 및 아주 작은 수에 유용한 것을 아셨기를 바랍니다 수를 이해하거나 쓰는데에 쉽게 할 뿐만 아니라 수를 계산하는 것을 간단하게 해준답니다