나눗셈에서의 지수법칙

분배와 관련된 몇 개의 지수 문제를 풀어 봅시다. 제가 여러분에게 5의 6승 나누기 5의 2제곱을 하면 몇이 되는지 묻는다고 해 봅시다. 우리는 단지 지수가 나타내는 기본 정의로 갈 수 있습니다. 그리고 5의 6승은 5 곱하기 5 곱하기 5 곱하기 5 곱하기 5라고 말할 수 있습니다. 5가 하나 더 있군요. 곱하기 5 입니다. 5 그 자신을 6번 곱하는 것입니다. 그리고 5의 제곱은 단지 5 그 자신을 2번 곱하는 것입니다. 그러니까 이것은 그냥 5 곱하기 5가 될 것입니다. 자, 우리는 이와 같이 분수나 유리식을 어떻게 간단히 하는지 알고 있습니다. 우리는 분자와 분모를 하나의 5 로 나눌 수 있습니다. 그 후 이것들은 상쇄되 약분 될 것입니다. 그러고 나면 우리는 다른 5로 나눌 수 있습니다. 혹은 이 5와 이 5는 상쇄되어 약분 됩니다. 그리고 몇이 남을 까요? 5 곱하기 5 곱하기 5 곱하기 5 나누기 1 입니다. 혹은 여러분은 이것이 단지 5의 4제곱이라고 말할 수 있습니다. 자, 이제 무엇이 일어났는지 알아 봅시다. 근본적으로 우리는 6개의 분자로 시작했습니다. 6개의 5를 분자에서 그 자신으로 곱했습니다. 그러고 나서 우리는 빼주었습니다. 우리는 분모에서 2개를 상쇄해 약분할 수 있었습니다. 그러니까 이것은 정말로 5의 6 제곱 빼기2 입니다. 그러니까 우리는 분자의 지수에서 분모의 지수를 뺄 수 있습니다. 이것이 어떻게 곱셈과 관련이 있는지 기억해 봅시다. 만약 제가 5의.. 제가 이걸 다른 색으로 써 볼게요. 5의 6제곱 곱하기 5의 2제곱이 있다고 해 봅시다. 우리가 지난 강의에서 보았듯이 이것은 5의 6 더하기.. 저는 여러분을 위해서 색으로 이것을 표시하려고 합니다. 6 더하기 2 제곱 입니다. 자, 이제 우리가 새로운 속성을 배웠습니다. 그리고 다음 강의에서 우리는 이것들이 사실 다른 속성이 아니라는 것을 배울 것입니다. 이것들은 정말로 일종의 동전의 양 면과 같은 것입니다. 우리가 지수가 음수일 때를 배울 때 말입니다. 그리고 이제 이 강의에서 우리는 방금 5의 6제곱을 5의 2제곱으로 나누면.. 제가 다른 색으로 써 볼게요. 이것은 뭐와 같느냐면 5의.. 여러분을 위해 이것을 색으로 표시하여 여러분의 마음을 사로 잡을 때군요. 6빼기 2제곱 (6빼기4) 혹은 5의 4제곱 입니다. 여기에 이것은 5의 8 제곱이 될 것입니다. 그러니까 여러분이 같은 밑의 지수를 곱할 때 여러분은 지수를 더하는 것입니다. 여러분이 같은 밑을 가지고 나눌 때, 여러분은 분자의 지수에서 분모의 지수만큼 빼는 것과 같습니다, 여기서 몇 개의 더 많은 문제를 풀어 보도록 합시다. 6의 7 제곱 나누기 6의 3 ㅈ[겁은 몇 입니까? 음, 다시 한 번 우리가 간단히 이 속성을 이용할 수 있겠군요. 이것은 6의 7빼기3제곱 (6^7-3)이 될 것입니다. 그 말은 즉 6의 4 제곱과 같을 것입니다. 그리고 여러분은 우리가 첫 번째 문제에서 그랬던 것처럼 이런 식으로 곱할 수 있습니다. 그리고 이것이 정말로 6의 4제곱이 되는 것을 확인 할 수 있습니다. 자, 이제 좀 더 흥미로운 문제를 시도해 봅시다. 이것은 다음 강의로 자연스럽게 이어질 것입니다. 우리가 3의 4 제곱 나누기 3의 10 제곱을 가지고 있다고 말해 봅시다. 음, 만약 우리가 단지 기초 원리에서 간다면, 이것은 3 곱하기 3 곱하기 3 곱하기 3, 이 모든 것에 나누기 3 곱하기 3.. 이런 게 10개가 있을 겁니다. 3 곱하기 3 곱하기 3 곱하기 3 곱하기 3 곱하기 3 입니다, 몇 개가 있습니까? 한 개, 두 개, 세 개, 네 개, 다섯 개, 여섯 개, 일곱 개, 여덟 개, 아홉 개, 열 개 입니다. 음, 만약 우리가 지난 강의에서 했던 것을 한다면 이 3은 이 3과 상쇄되어 없어 집니다. 이 3들도 상쇄되어 없어 집니다. 이 3들도 상쇄되어 없어 집니다. 이 3들도 상쇄되어 없어 집니다. 그리고 1 나누기.. 한 개, 두 개, 세 개, 네 개, 다섯 개, 여섯 개의 3 입니다. 그러니까 1 나누기 3의 6 제곱 입니다. 맞습니까? 1 을 이 아래에 있는 모든 3 으로 나눈 값 입니다. 하지만 제가 방금 여러분께 말씀 드린 그 속성은 이것이 또한 3의 4 빼기10제곱(3의 --6제곱) 이라고 말해 주었을 것입니다. 음. 4 빼기 10은 몇 입니까? 음, 음수가 나오겠군요. 이것은 3의 -6 승 입니다. 그러니까 우리가 방금 본 이 속성을 이용하여 여러분은 3의 마이너스 6제곱입니다. 그냥 그들을 곱해보면, 그냥 그것들을 곱하면 1 나누기 3의 6 제곱 이 됩니다. 그리고 이 모든 것의 재미 있는 부분은 이것이 같은 수라는 것입니다. 그러니까 여러분은 이제 음수 지수를 가진다는 것이 무엇을 의미하는 지에 관하여 조금 배우고 있습니다. 3의 -6제곱은 1 나누기 3의 6승과 같습니다. 그리고 저는 다음 강의에서 이 예제를 정말 많이 많이 더 풀 예정 입니다. 하지만 만약 여러분이 음의 제곱수를 보게 된다면 a(밑)의 -b(지수)제곱은 1 나누기 a의 b제곱(1/a^b)이 됩니다. 그것은 우리가 방금 배운 한 법칙입니다. 방금요. 그리고 이 강의 초반에 만약 제가 a의 b제곱 나누기 a의 c제곱을 가지고 있다면 이것은 a의 b - c 제곱과 같다는 것을 우리가 보았습니다. 그것은 우리가 사용해 온 또 다른 성질 입니다. 자, 이제 우리가 방금 배운 것을 사용해서 그리고 우리가 지난 시간에 배운 것을 사용해서 좀 더 복잡한 문제를 더 풀어 보도록 합시다. 제가 a의 3제곱 x b의 4제곱 나누기 a 거듭제곱 xb(a^2b)에, 이 모든 것을 다시 3제곱 했다고 해 봅시다. 음, 우리가 방금 배운 단순화 하는 성질을 문제에 사용해 보도록 합시다. 이것은 뭐와 같느냐면.. a의 3제곱을 a의 제곱으로 나눈 것과 같습니다. 이것은 a의 3 - 2 승 입니다. 맞습니까? 그러니까 이것은 그냥 a로 단순화 될 수 있습니다. 그리고 여러분이 상상할 수 있듯이 이것은 a 곱하기 a 곱하기 a 나누기 a 곱하기 a 입니다. 여러분은 위에 a 하나만 갖게 될 것입니다. 그러고 나서 b, b의 4제곱 나누기 b를 해 봅시다. 음, 그것은 단지 b이 3제곱이 될 것입니다. 맞습니까? 이것은 b의 1제곱 입니다. 4 - 1 은 3 입니다. 그러고 나서 이 모든 것이 괄호 안에 있고 그것을 3 제곱합니다. 우리는 여기 밖에 있는 3 제곱에 관하여 잊어버리고 싶지 않습니다. 이 3제곱은 이것 입니다. 제가 색으로 표시를 해 보겠습니다. 이 3승은 바로 여기에 있는 것입니다. 그러고 나서 이 오렌지 색의 a는 바로 여기에 있는 것입니다. 제 생각에는 우리가 어떤 것이 어떤 것과 연결되어 있는지 이해하고 있는 것 같습니다. 그리고 이제 우리가 그 속성을 사용할 수 있습니다. 어떤 것을 곱할 때 그리고 이것의 3제곱을 할 때 이것은 a의 3 제곱 곱하기 b의 3제곱의 3제곱이 됩니다. 그러고 나서 이것은 a의 3승과 같은 것이 될 것입니다. * 곱하기 b의 3 곱하기 3제곱입니다. 곱하기 b의 9 제곱 입니다. 그리고 우리는 이것을 여러분이 할 수 있는 데 가지 단순화 할 수도 있을 것입니다. 이런 문제를 한 문제만 더 풀어 보도록 합시다. 제 생각에는 이것이 좋은 연습이며 나중에 굉장히 가치 있는 경험이 될 것이라고 생각 합니다. 제가 25xy의 6제곱 나누기 20y의 5제곱 곱하기 x의 제곱을 가지고 있다고 해 봅시다. ((25곱하기 x 곱하기 y^6)나누기(20곱하기x^2곱하기y^5)) 그러니까 다시 한 번 우리가 분모와 분자를 재 배열 할 수 있습니다. 그러니까 이것을 여러분은 25 나누기 20 곱하기 x 나누기 x의 제곱이라고 다시 쓸 수 있습니다. 맞습니까? 우리는 이 분모의 20x의 제곱 곱하기 y의 5제곱을.. 우리가 어떻게 하느냐 순서는 중요하지 않습니다. 곱하기 y의 6제곱 나누기 y의 5제곱으로 만들 수 있습니다. 그리고 우리가 새로 배운 지수의 성질을 사용하여 분수를 실제로 단순화 해 봅시다. 25 나누기 20은, 만약 여러분이 둘 다 5로 나눠 준다면 이것은 5 나누기 4와 같을 것입니다. x 나누기 x의 제곱은.. 음. 여러분이 이것을 생각해 볼 수 있는 두 가지 방법이 있습니다. 그것은 여러분이 x의 -1로서 볼 수 있다는 것입니다. 여러분은 여기에 1 제곱을 가지고 있습니다. 1 - 2는 -1 입니다. 그러니까 여기의 이것은 x의 -1 제곱과 같을 것입니다. 혹은 이것은 또한 1 나누기 x와 같을 것입니다. 이것들은 같은 것입니다. 그러니까 이것이 1 나누기 x와 같다고 해 봅시다. 바로 이것처럼요. 그리고 이것은 x 나누기 x 곱하기 x 입니다. x의 이 모임 중 하나는 약분될 것입니다. 그리고 여러분은 단지 1 나누기 x만 남겠지요. 그러고 나서 마지막으로 y의 6제곱 나누기 y의 5제곱 입니다. 그것은 y의 6 - 5제곱입니다. 그것은 즉 단지 y의 1 제곱 입니다. 혹은 그냥 y 입니다. 그러니 곱하기 y 입니다. 그러니까 만약 여러분이 이 모든 것을 단지 하나로 연결된 유리식으로 쓰고 싶다면 여러분은 5 곱하기 1 곱하기 y, 즉 5y에 나누기 4 곱하기 x 라고 써야 합니다. 맞습니까? 이것은 y 나누기 1 입니다. 그러니까 4 곱하기 x 곱하기 1 입니다. 모든 것을 4x로 나눕니다. 그리고 우리가 이것을 성공적으로 단순화 했습니다.