If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

웹 필터가 올바르게 작동하지 않으면 도메인 *. kastatic.org*.kasandbox.org이 차단되어 있는지 확인하세요.

주요 내용
현재 시간:0:00전체 재생 길이:23:29

동영상 대본

Rn의 선형 부분공간을 이해하기 위한 도구를 가지고 있습니다 적어보겠습니다 이것을 Rn의 부분공간이라고 부르겠습니다 우리가 하는 모든 것은 선형입니다 Rn의 부분공간 여기서 정의를 내리겠습니다 벡터의 집합 V가 있다고 합시다 V는 특정한 벡터의 부분집합 Rn의 특정한 부분집합입니다 Rn은 각 벡터가 n개의 성분을 가지고 있는 무한히 큰 벡터의 집합입니다 공식적으로 정의하지는 않겠지만 이것은 벡터의 집합입니다 즉, 때때로 이 집합을 다차원 공간으로 시각화하곤 하지만 추상적으로 생각하자면 그것은 단지 모든 집합입니다 x1, x2, ..., xn 이라고 불리는 것들의 집합입니다 단, 모든 i에 대하여 각각의 xi가 실수입니다 알겠죠? 이것이 Rn의 정의입니다 방대한 벡터 집합입니다 무한히 커다란 벡터의 집합인 셈이죠 V를 Rn의 부분집합이라고 하겠습니다 이 집합은 이러한 모든 벡터의 전부를 의미합니다 그 집합에 대해 잠깐 이야기하겠습니다 또는 이런 벡터들의 어떤 부분집합일 수도 있습니다 아니면 모든 벡터들 가운데 하나의 벡터를 나타내는 것일 수도 있습니다 이러한 V가 부분공간이 되기 위해선 V는 Rn의 부분집합이라고 언급했었죠? 아마 이것이 도움이 될 것입니다 Rn을 큰 방울로 표현한다면 여기에 Rn에 속하는 모든 벡터들이 있습니다 V는 이것의 한 부분집합입니다 Rn의 전부가 될 수도 있습니다 한번 보시죠 이것을 V라고 합시다 V는 벡터들의 부분집합입니다 V가 부분공간이 되려면 V가 부분공간이거나 Rn의 선형 부분공간이라면 3가지를 의미합니다 V가 영벡터를 포함한다는 것을 의미합니다 이것이 영벡터입니다 0과 같으며 0이 n개 있는 벡터입니다 따라서 V는 영벡터를 포함합니다 이것은 대문자 V 입니다 만약 V가 어떤 벡터 x를 가지고 있다면 이렇게 써보겠습니다 만약 벡터 x가 V에 있으면 x가 V에 포함된 벡터 중 하나라면 임의의 실수를 x에 곱했을 때 x가 V에 있고 V가 Rn의 부분공간이라면 x에 임의의 스칼라를 곱한 값 또한 V에 있습니다 이와 같은 경우입니다 이 용어에 익숙할지 모르겠지만 이러한 성질을 '닫혀있음' 이라고 합니다 만약 집합의 임의의 원소를 가지고 있다면 곱셈에 대해 닫혀있는 것입니다 새로운 색깔로 써보겠습니다 이것은 스칼라 곱셉에 대해 닫혀있습니다 근사하게 표현해 보았습니다 집합에서 어떤 원소를 다른 스칼라와 곱하더라도 그 값은 집합에 여전히 있을 것입니다 만약 어떤 스칼라랑 곱했는데 집합에서 벗어나게 된다면 부분집합에 없는 다른 벡터가 나오게 된다면 이 부분집합은 부분공간이 아니게 됩니다 이 집합이 부분공간이 되기 위해서는 이 부분집합에 있는 임의의 벡터에 어떤 실수 스칼라를 곱하더라도 지금 실수에서의 부분공간을 정의하고 있습니다 이 부분집합에 있는 또다른 원소를 얻어야 합니다 이것이 조건들 중 하나입니다 다른 조건은 만약 두 벡터가 있다고 한다면 하나는 벡터 a 다른 하나는 벡터 b라고 합시다 이것이 V가 부분공간이 되기 위한 또 다른 조건입니다 만약 벡터 a가 집합 V에 있고 벡터 b도 집합 V에 있다면 그리고 V가 Rn의 부분공간이라면 a+b가 무조건 V에 있습니다 즉, 이 집합은 덧셈에 대해 닫혀있습니다 한 번 써보겠습니다 덧셈에 대해 닫혀있음 다시 한번 멋지게 말하자면 부분집합의 원소 2개가 있다고 합시다 두 원소를 더하면 이것은 부분집합 내의 임의의 두 원소가 됩니다 그리고 두 원소를 서로 더하면 부분집합 내의 또 다른 원소를 얻게 됩니다 이것이 바로 덧셈에 대해 닫혀있다는 뜻입니다 집합의 두 벡터를 더했을 때 그대로 집합 내의 또 다른 벡터가 나옵니다 집합 밖의 다른 벡터를 얻게 되는 일은 없습니다 만약 Rn의 부분집합이 있다면 즉 영벡터를 포함하는 Rn 안의 어떤 벡터들의 집합을 가지고 있다면 그리고 곱셈과 덧셈에 대해 닫혀있다면 부분공간이 존재합니다 따라서 부분공간은 이 모든 것을 함축하고 있습니다 그리고 이러한 모든 것들은 부분공간을 의미하죠 이것이 부분공간의 정의입니다 지금 당장은 모든게 추상적으로 들릴지 모릅니다 몇 가지 예제를 풀어보죠 이 예제들이 이 내용을 더 구체적으로 만들어 줄지는 모르겠습니다 하지만 충분히 연습한다면 공간이 의미하는 것이 무엇인지 직감할 수 있을 것입니다 몇 가지 예제를 풀어 봅시다 어느 정도 수학적으로 형식적인 걸 원하기 때문이에요 간단한 집합이 있다고 해봅시다 벡터 집합에 오직 한 개의 벡터만 있다고 해봅시다 그리고 영벡터를 가지고 있습니다 그래서 그냥 굵은 0을 쓰겠습니다 또는 이렇게 쓸 수도 있죠 집합의 유일한 벡터는 영벡터입니다 지금 R3에 대해 이야기하고 있습니다 R3 안의 벡터가 이렇게 생겼다고 하죠 집합 V는 R3의 부분공간인가요? 이것이 부분공간이 되려면 세 가지 조건을 만족해야 합니다 그것은 영벡터를 포함해야 합니다 그것이 유일하게 포함하는 것은 영벡터입니다 따라서 그 집합은 영벡터를 포함합니다 영벡터 확인했습니다 그렇다면 곱셈에 대해 닫혀있을까요? 무슨 말인지 봅시다 집합의 임의의 원소를 하나 밖에 없네요 그것을 임의의 스칼라랑 곱하면 집합의 다른 원소를 얻게 됩니다 혹은 어쩌면 그 원소 그대로 나올지도 모릅니다 자, 봅시다 집합에는 원소가 하나밖에 없습니다 즉, 집합의 유일한 원소는 영벡터입니다 만약 그 벡터에 임의의 스칼라를 곱한다면 뭐가 나올까요? c 곱하기 0 즉 0이 나올 것입니다 집합의 유일한 원소를 얻게 됩니다 하지만 그것은 닫혀있죠 즉, 이 집합은 곱셈에 대해 닫혀있습니다 이 벡터에 임의의 스칼라를 곱할 수 있고 다시 이 벡터가 나올 것입니다 따라서 결국엔 영벡터 집합을 얻게 될 것입니다 이것도 확인했습니다 그렇다면 덧셈에 대해서는 닫혀있을까요? 집합의 어떤 원소에 그 자신을 더한다면 즉, 원소가 하나밖에 없는 상황에서 집합의 원소를 더한다면 여기에는 오직 한 경우밖에 없습니다 만약 이 벡터와 이 벡터를 더하면 어떻게 될까요? 이 벡터 그대로 나오겠죠 이 벡터를 그대로 얻게 됩니다 따라서 이 집합은 명백하게 덧셈에 대해 닫혀있습니다 확인했습니다 결론적으로 영벡터만을 가지고 있는 아주 단순한 R3의 이 부분집합이 부분공간이라는 게 확실히 밝혀졌습니다 이 집합이 그저 사소하고 단순한 부분공간일지라도 부분공간이 되기 위한 조건을 만족시킵니다 그 어떤 방법으로도 이 안에 있는 벡터를 부분공간 밖으로 빠져나오게 할 수 없습니다 적어도 스칼라 곱셈 혹은 덧셈을 다루고 있다면요 하나 보여드리겠습니다 어쩌면 부분공간이 아닌 예시를 보여준다면 이 아이디어가 보다 명확해질지 모르니까요 여기에 좌표 축이 있습니다 특정 부분공간과 부분집합이 있다고 가정합니다 그것이 부분공간인지 아닌지 모릅니다 집합을 S라고 합시다 그리고 이것은 R2의 벡터 x1, x2의 집합과 같습니다 여기에 다음과 같은 조건 하나를 붙이겠습니다 x1은 0보다 크거나 같습니다 이것은 첫 번째 항이 최소 0이상인 모든 R2의 벡터들을 가지고 있습니다 그래프로 표현하면 어떻게 되나요? 어떤 것이든 나올 것입니다 위, 아래 모든 방향으로 이동할 수 있습니다 그렇지 않나요? 위, 아래 모든 방향으로 이동할 수 있지만 제한 사항이 있습니다 모든 움직임이 0보다 크거나 같다는 것입니다 따라서 첫 번째 좌표들은 모두 0보다 크거나 같을 것입니다 이것은 임의로 위, 아래로 갈 수 있습니다 따라서 근본적으로 R2의 부분집합은 R2는 모든 데카르트 평면입니다 하지만 R2의 부분집합은 y축이라고도 불리는 수직 축을 포함할 것입니다 그것은 수직 축, 그리고 기본적으로 제 1사분면, 제 4사분면을 포함할 것입니다 사분면 표시를 기억한다면요 즉, 이게 제 1사분면이고 이게 제 4사분면입니다 그렇다면 S가 R2의 부분공간일까요? 자, 첫번째 영벡터를 포함하고 있나요? 즉 R2에서 (0,0)을 포함하고 있나요? 물론입니다 여기 (0,0)을 포함하고 있습니다 x가 0보다 크거나 같다고 했으므로 이것은 0이 될 것입니다 그리고 명백하게 여기에는 아무런 제한이 없습니다 따라서 벡터 (0,0)은 명백하게 집합 S에 포함되어 있습니다 확인되었습니다 그러면 다른 부분을 확인해 봅시다 만약 이 집합의 두 벡터를 더한다면 그 더한 벡터도 이 집합에 속해있을까요? 몇 가지 예시를 들어보겠습니다 아마 증명은 아닐 것입니다 만약 이 벡터와 이 벡터를 더한다면 어떻게 될까요? 이걸 여기에 놓으면 이 벡터를 얻을 것입니다 만약 이 벡터와 이 벡터를 더한다면 어떻게 될까요? 이 벡터의 꼬리를 머리에다 붙일 수 있습니다 그럼 한 벡터가 나오겠지요 이런 식입니다 만약 정식으로 한다면 다음 두 벡터가 집합의 원소라고 합시다 (a,b) 벡터에 (c,d)를 더한다면 어떻게 되나요? (a+c,b+d)가 나옵니다 따라서 이것은 0보다 크게 됩니다 이것 또한 0보다 큰 값을 가지게 됩니다 이것이 집합의 원소가 되기 위한 조건입니다 따라서 만약 둘 다 0보다 크고 이들을 더하게 된다면 이 또한 0보다 크게 됩니다 그리고 이 벡터가 어떤 값이든 상관없습니다 벡터의 두번째 성분에 대해 아무런 제한을 두지 않았습니다 따라서 덧셈에 대해 닫혀있는 것 같습니다 덧셈에 대해 닫혀있음 그러면 스칼라 곱셈은 어떨까요? 특정한 상황을 만들어 봅시다 다시, (a,b)가 있습니다 벡터 (a,b)를 가지고 있습니다 임의의 실수 스칼라를 고르겠습니다 임의의 실수 스칼라 만약 -1을 곱하면 어떨까요? -1 이 벡터에 -1을 곱한다면 (-a,-b)이 됩니다 시각적으로 그려보겠습니다 (a,b)가 벡터 (2,4)였다고 합시다 따라서 다음과 같습니다 -1을 곱했을 때 무엇이 나오나요? (-a,-b)가 나옵니다 이 벡터가 나옵니다 시각적으로 볼 수 있듯이 명백하게 빠지게 됩니다 만약 이들을 위치 벡터의 하나로 본다면 그것은 부분공간에서 빠지게 됩니다 또는 시각적으로 뿐만 아니라 수학적으로도 이것이 명백히 양의 값을 가지면 이것을 양의 값으로 가정하면 0은 물론 아닙니다 이것은 당연히 양수입니다 따라서 이것은 명백히 음수가 될 것입니다 즉, 0이 아닌 원소에 -1을 곱했을 때 벗어난 값이 나오지 않나요? 이것은 집합의 원소가 아닙니다 왜냐하면 집합의 원소가 되려면 첫 번째 원소는 0보다 커야하기 때문이죠 이 첫 번째 원소는 0보다 작습니다 그러므로 그림에서 R2의 부분집합은 부분공간이 아닙니다 왜냐고요? 이것은 곱셈 혹은 스칼라 곱셈에 대해 닫혀있지 않기 때문입니다 스칼라 곱셈에 대해 닫혀있지 않음 이것은 R2의 부분공간이 아닙니다 재밌는 질문 하나 할까요? 어떤 벡터집합의 선형생성을 묻는다면 어떨까요? 어떤 집합의 선형생성을 알고 싶다고 해봅시다 벡터 v1, v2, v3를 가지고 있습니다 이 벡터들의 성분이 몇 개인지 모른다고 합시다 이것은 Rn의 유효한 부분공간입니까? n은 이들이 가지고 있는 성분의 개수입니다 원소 중 하나를 뽑아오죠 집합의 모든 선형결합이 선형생성인 집합을 U라고 정의합시다 즉, U를 그 선형생성으로 정의하도록 하죠 그래서 알고 싶은 것은 과연 U가 유효한 부분공간이냐는 것입니다 그러면 이러한 방식으로 생각해보죠 U의 임의의 원소를 한 번 뽑아보겠습니다 실제로 이것은 영벡터를 포함하고 있나요? 물론입니다 이 모든 것을 0과 곱한다고 하면 ( 0 × v1 ) + ( 0 × v2) + (0 x v3) 은 영벡터를 얻습니다, 맞죠? 모든 것이 0이 되어버렸습니다 따라서 이것은 당연히 영벡터를 포함하고 있습니다 이것은 이 세 벡터들의 선형결합입니다 따라서 이것은 생성 안에 포함됩니다 이제 이 생성의 임의의 원소를 선택하겠습니다 이 집합의 원소가 된다는 것은 이것을 벡터 x라고 부르겠습니다 x가 이 벡터들의 선형결합으로 표현된다는 것을 의미합니다 따라서 어떤 결합 c1 × v1 + c2 × v2 + c3 × v3 이 있습니다 맞죠? 벡터 x를 나타내고 있습니다 벡터 x는 이것의 원소입니다 따라서 이 세 벡터들의 선형결합으로 표현될 수 있죠 이 집합은 곱셈에 대해 닫혀 있나요? 임의의 상수를 여기다가 곱해 봅시다 c × x = ? 잠시 아래로 스크롤 하겠습니다 c × x는 무엇일까요? 다른 상수랑 곱해보겠습니다 임의의 상수 a랑 곱해 봅시다 a × x = ? a × c1 × v1 등식의 양변에다가 a를 곱합니다 a × c2 × v2 + a × c3 × v3 입니다 맞죠? 만약 이것이 임의의 상수라면 이것을 또다른 임의의 상수로 쓸 수 있습니다 이것은 또다른 임의의 상수입니다 확실하게 합시다 그냥 등식의 양변에다가 스칼라를 곱하였습니다 하지만 명백하게 이 식은 이렇게도 쓸 수 있습니다 c4 × v1 + c5 × v2 이것이 c5고 이것이 c4입니다 + c6 × v3 이것은 명백히 세 벡터들의 또 다른 선형결합입니다 선형생성은 세 벡터의 모든 선형결합들의 집합입니다 따라서 이것은 그 선형결합들 중 하나이고 따라서 이 또한 선형 생성 안에 포함됩니다 말하자면 U에 속해있다는 것입니다 이 또한 세 벡터의 선형생성 안에 있습니다 따라서 이것은 곱셈에 대해 닫혀있습니다 이제 이것이 덧셈에 대해 닫혀있다는 것을 보여야 합니다 그러고 난 뒤 여기선 세 개로 했지만 임의의 벡터집합의 선형생성이 유효한 부분공간이 된다면 임의의 n개 벡터로 확장할 수 있습니다 증명해 봅시다 x를 이미 정의했습니다 U 안에 있는 혹은 이 벡터들의 생성 내의 또 다른 벡터를 정의해보겠습니다 그리고 그것은 d1 × v1 + d2 × v2 + d3 × v3 입니다 자 그럼 x+y 는 무엇일까요? 만약 이 두 벡터를 더한다면 그 결과는 어떻게 되나요? 물론, 그냥 더해도 됩니다 x+y 는 이것들 더하기 이것들을 의미합니다 그래서 그 결과는 어떻게 되나요? 이 모든 것들을 더한다면 (c1+d1)v1 + (c2+d2)v2 + (c3+d3)v3 가 나옵니다 맞나요? v3는 여기도 있고 저기도 있으므로 그들의 계수만 더해주면 됩니다 명백하게 이것은 또 다른 선형결합입니다 이것들은 그저 상수에 불과합니다 저것도, 저것도 저것도 임의의 상수입니다 따라서 이것은 v1, v2, v3의 선형결합입니다 즉, 정의에 의해 이것은 v1, v2, v3의 생성입니다 따라서 명백히 덧셈에 대해 닫혀있습니다 자, 임의의 벡터의 생성이 유효한 부분공간이라고 하였습니다 하지만 예를 들어보겠습니다 한 벡터의 생성에 대해서 U를 그 벡터의 생성으로 정의합시다 아주 간단하게 그 벡터를 (1,1) 이라고 하겠습니다 명백히 이 벡터는 부분공간이 될 수 없습니다 시각적으로 생각해 봅시다 벡터 (1,1)은 어떻게 생겼나요? 이렇게 생겼습니다 그렇지 않나요? 그리고 표준 위치에 있는 벡터(1,1)의 생성은 이 벡터의 모든 선형결합입니다 따로 더할 것이 없기 때문에 이 벡터를 확대하거나 축소할 것입니다 따라서 만약 이 벡터를 확대한다면 이렇게 생긴 것을 얻게 됩니다 만약 축소한다면 이렇게 생긴 것을 얻게 됩니다 만약 음의 영역으로 갈 경우에 말이죠 따라서 다른 값을 이 벡터에 곱해주는 것만으로도 그리고 이 모든 것을 표준 위치에 위치시키고 싶다면 본질적으로 이렇게 생긴 직선을 얻을 것입니다 이 직선은 전체 부분공간이 아닌 것 같습니다 하지만 몇 가지 확인할 게 있습니다 명백히, 이것은 영벡터를 포함합니다 벡터에 0을 곱합니다 0의 비율로 확대 또는 축소할 수 있습니다 생성은 비율들 모두를 말합니다 그리고 만약 다른 벡터들이 있다면 그 벡터들을 더할 것입니다 하지만 이것은 명백히 영벡터가 될 것입니다 따라서 이것은 영벡터를 포함합니다 곱셈에 대해 닫혀있나요? 생성은 모든 벡터들의 집합입니다 만약 모든 실수 c에 대해서 (1,1)에 곱한다면 그것이 생성입니다 명백히, 이것에 무엇을 곱하든 그것은 생성 안에 있는 다른 것과 동일할 것입니다 마지막으로 덧셈에 대해 닫혀있나요? 즉, 생성 안에 있는 임의의 두 벡터 이 생성에 있는 한 벡터 a는 임의의 스칼라 c1과 여기 있는 벡터의 곱으로 표현할 수 있습니다 그리고 또 다른 벡터 b를 c2와 이 집합에 있는 벡터 하나의 곱으로 나타낼 수 있습니다 그렇다면 그 값은 어떻게 될까요? 이것은 본질적으로 같아질 것입니다 이것은 (c1 + c2) 와 집합의 한 벡터의 곱이 됩니다 너무나도 당연합니다 하지만 명백히 생성 안에 있습니다 이것은 저것을 늘여놓은 것에 불과합니다 이것은 선형생성 안에 있고 저것을 늘여놓은 것 안에 있습니다 이것 또한 이 벡터의 선형생성 안에 들어갈 것입니다 왜냐하면 이것은 결국 또다른 스칼라이기 때문이죠 이것을 c3라고 부르겠습니다 시각적으로 표현하자면 여기 있는 이 벡터에 대해서 그것을 이 벡터와 더한다면 꼬리와 머리를 붙인다면 결국 이 벡터를 얻게 됩니다 녹색으로 된 것입니다 잘 보일지 모르겠습니다 빨간색으로 하겠습니다 결국 이 벡터를 얻게 됩니다 이 직선에 있는 임의의 벡터와 다른 임의의 벡터의 합이 직선 위의 또 다른 벡터가 되도록 할 수 있습니다 스칼라가 곱해진 직선상의 어떤 벡터도 직선상의 또 다른 벡터가 됩니다 따라서 이것은 곱셈에 대해 닫혀있습니다 덧셈에 대해서도 닫혀있습니다 그리고 영벡터를 포함하고 있습니다 즉, 이러한 사소하고 간단한 생성도 유효한 부분공간입니다 그리고 그것은 여기서 보여준 개념을 뒷받침합니다 일반적으로, n개의 벡터들로 이루어진 집합을 만들 수 있습니다 여기서 세 벡터를 골랐지만 그것은 n개의 벡터가 될 수도 있습니다 그리고 n개 벡터들의 생성이 Rn의 부분공간이라는 것에 같은 논리를 적용할 수 있습니다 여기서 그것을 보여드렸습니다