부분공간의 기저

부분공간 V가 있다고 가정해봅시다 지난 강의에서 부분공간에 관한 내용을 다루었습니다 부분공간 V는 어떠한 벡터집합의 생성과 같습니다 임의의 벡터집합의 생성은 유효한 부분공간이라고 했습니다 그렇다면 v₁ , v₂, ... , vn 벡터들의 생성이므로 n개의 벡터가 존재할 것입니다 벡터라는 사실을 잊으면 안됩니다 이 벡터들이 선형독립이라는 것도 짚고 넘어가도록 하죠 v₁ , v₂, ... , vn에 이르는 벡터들의 집합은 선형독립입니다 요점을 알려주기 전에 생성이 무엇인지 복습해보도록 하죠 생성이라는 것은 이 부분공간이 여기의 벡터들로 만들 수 있는 모든 가능한 선형결합의 집합을 말합니다 각각 다른 상수를 곱한 선형결합으로 표현할 수 있죠 c₁ x v₁ + c₂ x v₂ + ... + cn x vn c는 가능한 모든 실수입니다 이 결합의 모든 경우의 수를 벡터의 집합으로 만들면 그것이 바로 생성이며 부분공간 V의 정의이기도 합니다 선형독립의 정의는 곧 식 c₁ x v₁ + c₂ x v₂ + ... + cn x vn 의 유일한 해가 영벡터라는 뜻이며 벡터 기호도 잊지 않고 표기합니다 모든 항이 0이라는 뜻입니다 c₁=c₂=cn=0 c1부터 cn까지 모두 0입니다 상식적으로 생각하면 이 중 어느 벡터도 나머지 벡터의 결합으로 표현될 수 없다는 것입니다 이 벡터집합의 생성이 부분공간과 같거나 이 부분공간을 만들어내거나 혹은 이 부분공간을 생성하고 동시에 모든 벡터가 선형독립일 때 우리는 이 집합을 S라고 정의할 수 있습니다 S는 v₁ , v₂, ... , vn의 집합이므로 벡터집합이 될 것입니다 그렇게 되면 우리는 다음과 같이 정의할 수 있습니다 벡터집합 S가 부분공간 V의 기저입니다 이 정의가 중요합니다 어떠한 집합의 기저라는 것은 이 벡터들이 부분공간을 생성하고 부분공간의 어떠한 벡터도 될 수 있으며 그 벡터들은 선형독립이라는 것입니다 여러 방면에서 접근해보도록 하죠 한 가지는, 부분공간을 생성하는 것이 다양할 수 있다는 점입니다 예를 들어 이 집합이 V를 생성한다면 다른 벡터를 추가해보도록 하죠 다른 집합을 정의하도록 하겠습니다 집합 T를 집합 S의 벡터 v₁ , v₂, ... , vn을 포함하며 또 다른 벡터도 포함하는 집합으로 정의해보죠 이 벡터를 vs라 하겠습니다 그러니까 근본적으로 집합 S에 하나의 벡터를 추가한 것입니다 vs가 v₁와 v₂를 더한 것이라고 가정해봅시다 당연하게도 이 집합은 선형독립이 아닐 것입니다 하지만 T의 생성은 여전히 부분공간 V와 같을 것입니다 하지만 이 집합을 선형독립이 아니도록 하는 벡터가 하나 존재합니다 이 집합은 그러므로 선형독립이 아닙니다 T는 선형종속입니다 이 경우 T는 V의 기저라고 할 수 없습니다 이 예시를 보여드린 이유는 기저에 대하여 설명하고 싶었기 때문인데요 기저는 최소한의 벡터집합이라고 볼 수 있습니다 한 번 써보도록 할게요 공식적인 정의는 아니지만 기저는 색깔을 바꾸어서 쓰도록 할게요 기저는 "최소한의" 집합입니다 어떠한 공간을 생성하는데 필요한 최소한의 벡터집합으로 이해하면 되겠습니다 이 경우에는 이 부분이 최소한의 벡터집합입니다 아직 증명하지는 않았으나 이 부분 여기의 벡터 집합이 부분공간을 생성하기는 하지만 최소한의 집합이 아니라는 것을 알 수 있죠 왜냐하면 이 마지막 벡터가 없어도 똑같은 부분공간이 생성되기 때문입니다 이 벡터 없이도 나머지 벡터들이 부분공간 V를 생성할 것입니다 그러니까 저 벡터는 불필요하다고 볼 수 있겠네요 기저에는 불필요한 중복이 존재하지 않습니다 이 벡터들은 부분공간 V의 임의의 벡터를 구성하기 위해서 모두 필요합니다 연습문제를 풀어봅시다 벡터가 필요하겠죠 벡터집합을 정의해보도록 합시다 벡터공간을 R²로 둘게요 벡터 (2, 3)과 또다른 벡터 (7, 0)이 있다고 합시다 먼저 이 벡터집합의 생성에 대해서 생각해봅시다 이것은 벡터집합입니다 S의 생성은 무엇일까요? 이 집합의 모든 가능한 선형결합은 무엇일까요? 일단 벡터공간 R²에 있는지 확인해봅시다 이 말은 곧 선형결합이 벡터공간 R²안의 그 어떠한 것이라도 표현할 수 있다는 의미입니다 식으로는 이렇게 쓸 수 있겠네요 정말로 이 식이 R²를 생성한다면 R²의 어떠한 점이라도 표현할 수 있는 c₁ 과 c₂를 찾을 수 있어야겠죠 그럴 수 있는지 봅시다 식으로 풀어내면 2c₁ + 7c₂ = x₁ 3c₁ + 0c₂ 즉, 3c₁ + 0 = x₂ 가 되겠군요 이 두 번째 식의 양쪽을 3으로 나누면 c₁ = x₂ / 3 이 되겠습니다 이 식을 첫 번째 식에 대입하면 c₁에 대입하는 것이므로 2/3 x₂가 될 것입니다 2 x x₂/3 는 2/3 x₂ + 7c₂ = x₁ 의 식이 됩니다 그 다음엔 무엇을 하면 될까요? 양쪽에서 2/3 x₂를 뺍니다 여기에 해볼게요 7c₂ = x₁ - 2/3 x₂ 로 쓸 수 있겠죠 양쪽을 7로 나누면 c₂를 계산할 수 있습니다 노란색으로 써보겠습니다 c₂ = x₁ /7 - 2/21 x₂ 가 되겠네요 결국 x₁과 x₂의 값이 주어지기만 한다면 풀 수 있겠네요 지금 다루는 모든 수가 실수이므로 각각의 값이 실수인지 아닌지는 관계가 없습니다 어떤 두 실수가 주어지기만 하면 x₂의 값을 3으로 나누어 c₁을 구할 수 있습니다 x₁의 값을 7로 나누고 x₂에 2/21를 곱한 값을 빼면 c₂를 구할 수 있습니다 x₁과 x2가 어떤 수든 상관없습니다 이 식들을 푸는 과정에서 나누기는 이용되지 않기 때문에 x₁과 x₂가 0일 경우는 고려하지 않아도 됩니다 이 두 식은 언제나 c₁, c₂값을 계산해 줄 것입니다 x₁와 x₂의 값이 주어지기만 한다면요 이것은 곧 이 벡터와 같을 선형결합을 찾는 것입니다 그러므로 S의 생성은 R²가 되겠습니다 두 번째 질문으로 넘어갑시다 이 두 벡터들은 선형독립인가요? 선형독립은 색깔을 바꾸어 쓰도록 할게요 c₁ x 첫 번째 벡터 + c₂ x 두 번째 벡터 = 0 위 식의 유일한 해가 0이라는 의미이죠 확인해봅시다 식은 이미 풀어놨으니 x₁과 x₂에 각각 0을 대입하면 되겠군요 여기 이 벡터를 영벡터로 두는 것과 같습니다 영벡터가 나오려면 c₁은 0/3 이어야하겠죠 c₁의 값은 0이라는 뜻입니다 c₂는 0/7 - 2/21 x 0 으로 구할 수 있습니다 c₂의 값 또한 0이겠네요 이 식의 유일한 해는 c₁과 c₂ 둘 다 0일 때밖에 존재하지 않는군요 그러므로 S는 선형독립인 집합이라고 할 수 있겠습니다 정리해보면 S는 R²를 생성하고 선형독립입니다 그러므로 집합 S는 R²의 기저라고 할 수 있습니다 그렇다면 S가 R²의 유일한 기저일까요? 아주 단순한 벡터 집합을 그려봄으로써 확인해볼 수 있습니다 T라고 정의해봅시다 T를 (1,0), (0,1)을 포함하는 집합이라 할 때 이 집합은 R²를 생성할까요? x₁과 x₂를 생성한다고 가정해봅시다 여기 이 두 벡터로 어떻게 생성할 수 있을까요? (1, 0)에 x₁을 곱한 것과 (0, 1)에 x₂를 곱한 것을 더하면 항상 (x₁, x₂)가 나오겠죠 그러므로 이 집합은 R²를 생성합니다 선형독립이기도 한가요? 한 번 확인해 봅시다 이 식을 영벡터와 같다고 두고 풀어봅시다 x₁와 x₂ 둘 다 0이므로 이 항도 0이어야 하고 이 항도 0이어야만 합니다 너무나도 당연하게 알 수 있죠 이 경우 다른 벡터에 무언가를 곱해서 나머지 벡터가 나오도록 하는 법은 존재하지 않습니다 이 벡터에 무언가를 곱해서 1이 나오거나 하는 경우는 없다는 말이죠 그러므로 집합 T 역시 선형독립입니다 이 과정을 보여드린 이유는 집합 T가 R²를 생성한다는 것을 알려주고 싶었기 때문입니다 동시에 집합 T는 선형독립이기 때문에 R²의 기저가 됩니다 벡터의 부분공간이 존재한다면 R²가 유효한 부분공간임을 증명할 수 있습니다 하지만 부분공간이 존재한다고 해서 그 기저가 하나만 있는 것은 아닙니다 여러 개의 기저가 존재할 수 있습니다 보통 하나의 부분공간에 대해서 무한 개의 기저가 존재합니다 이 경우에서도 알 수 있듯이 집합 S는 R²의 유효한 기저이며 집합 T 또한 그렇죠 여기서 집합 T는 특별히 표준 기저 집합이라고 부릅니다 이 집합이 여러분이 미적분학이나 물리학 수업에서 보통 한 번쯤 다루었던 것입니다 기억을 되살려보면 이것이 단위 벡터 i이며 이것은 단위 벡터 j입니다 이 단위 벡터들은 데카르트 좌표의 표준 기저이죠 표준 기저가 유용한 점은 부분공간에서의 어떤 벡터라도 표현할 수 있다는 점이죠 표준 기저 집합 벡터의 조합을 이용하여 부분공간 내의 어떠한 벡터라도 표현할 수 있습니다 예시를 통해 살펴보겠습니다 v₁, v₂, ..., vn을 포함하는 집합을 부분공간 U의 기저라고 가정해봅시다 U가 부분공간입니다 그 말은 이 벡터들이 선형독립이라는 뜻입니다 이 벡터 집합의 생성, 즉 벡터의 선형결합이 집합 U을 구성한다는 말이 됩니다 집합 U의 원소가 여기 벡터들의 특유의 선형결합으로 정해질 수 있음을 증명해보도록 합시다 다시 한 번 정리해보죠 부분공간 U의 원소인 어떠한 벡터 a가 있다고 합시다 벡터 a는 v₁, v₂, ... , vn의 선형결합으로 표현될 수 있습니다 이 벡터들은 U를 생성하구요 그렇다면 우리는 벡터 a를 c₁ x v₁ + c₂ x v₂ 로 써볼 수 있겠죠 벡터의 선형결합으로요 같은 방식으로 cn x vn 까지 확장해서 쓰도록 하겠습니다 이 선형결합이 유일하다는 것을 증명해 봅시다 모순 이용해보도록 할게요 다른 선형결합이 존재한다고 가정해봅시다 a를 다른 선형결합으로 표현하는 것이죠 d₁ x v₁ + d₂ x v₂ + ... + dn x vn 이런 식으로요 벡터 a에서 벡터 a를 빼면 무엇이 나와야할까요? 영벡터가 나와야하겠죠? 뺄셈을 해봅시다 a에서 a를 뺴므로 a - a 당연하게도 영벡터가 나오겠죠 왼쪽 항은 분명 0인데 오른쪽 항은 어떻게 될까요? 다른 색으로 써보도록 할게요 (c₁ - d₁) x v₁ + (c₂ - d₂) x v₂ + ... 아, 보드에 잘 써지지가 않는군요 아무튼 계속해보면 ... + (cn - vn) 다시 보이긴 하네요 음 그냥 이곳에다가 다시 써보겠습니다 0을 벡터의 형태로 쓰구요 0 = (c₁ - d₁) x v₁ + ... ... + (cn - dn) x vn 벡터에서 그 자신을 뺀 결과입니다 이 벡터들이 기저라고 이미 언급했었죠 그 말은 곧 두 가지를 의미합니다 이 벡터들이 부분공간을 생성한다는 것 다른 말로 이 벡터들의 생성이 부분공간이라는 것 그리고 이 벡터들이 선형독립이라는 것입니다 그렇다면 이 식의 유일한 해는 이 식은 상수에 v₁을 곱한 것 상수에 v₂를 곱한 것 상수에 vn을 곱한 것을 모두 더한 것이죠 그러니까 이 식의 유일한 해는 이 상수들이 모두 0일 때일 것입니다 여기 괄호 안의 상수들 모두가 0이어야만 합니다 아까 쓰다만 식도 다시 살펴보면 이 항들도 모두 0이어야 합니다 이것이 선형독립의 정의이기 때문이죠 이 집합이 선형독립이라는 것을 우리는 이미 알고 있기 때문에 상수들이 0이어야하고 그러기 위해서는 c₁=d₁, c₂=d₂, 그리고 cn=dn 이라는 것도 알 수 있죠 선형독립이라는 사실 때문에 여기 상수들이 모두 서로 같아야한다는 점이 우리가 의도한 모순입니다 다른 상수라고 가정하고 시작했지만 선형독립의 정의를 이용해보면 결국 같은 상수가 되네요 그러므로 어떠한 부분공간의 기저가 있다면 그 부분공간은 그 기저 벡터들의 유일한 결합으로 표현될 것입니다 되돌아가서 살펴보면 집합 S가 R²의 기저라고 했었죠 이 부분으로 돌아가서 다음 질문을 던져보고 싶은데요 이 집합에 다른 벡터를 추가하면 예를 들어 (1, 0)을 추가하면 집합 S는 R²의 기저일까요? 아닙니다 R²를 생성하긴 하지만 R²를 생성하기 위해서 마지막 벡터가 굳이 필요하진 않죠 이 벡터가 R²에 존재하는 것은 맞습니다 하지만 앞의 두 벡터가 R²를 이미 생성하죠 R²에 속하는 모든 벡터는 이 두 벡터의 선형결합으로 표현될 수 있다는 것입니다 마지막 벡터가 R²안에 존재하므로 이 두 벡터의 선형결합으로 표현될 수 있습니다 그러므로 새로운 집합 S는 선형독립이 아니겠네요 선형종속일 것입니다 선형종속이기 때문에 중복되고 불필요한 정보가 존재한다는 것을 알 수 있죠 그러므로 이 집합은 더 이상 기저라고 부를 수 없습니다 기저 집합이라 하려면 이 경우, R²를 생성하는 최소한의 벡터들의 집합이어야 합니다