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R3에 있는 열공간을 평면으로 시각화하기

동영상 대본

지난 강의에서는, 여기 이 행열을 다루었습니다 이 행열의 생성은 이 행열의 열벡터의 생성과 같다고 배웠었죠 하지만 이것이 선형독립인지는 확실하지 않았습니다 그리고 선형독립성을 지니지 않는다면 기반이 되기에 충분하지 않죠 그리고 A의 영공간을 알아보았습니다 A의 영공간은 영벡터보다 더 많은 정보를 가지고 있었다는 것을 기억 하시죠? 바로 이 두 벡터의 생성이였습니다 이 열벡터들이 선형독립하지 않기 때문이죠 예전 강의에서 배웠었습니다 이 벡터들이 선형독립하지 않은 점을 고려해 몇 벡터들을 다른 벡터들로 표현하여 선형독립성을 지니게 만드는 법을 배웠습니다 여기 이 벡터들들 없앨 수 있었죠 왜냐하면 자유변수로 나타낼 수 있었기 때문입니다 이 방법을 이용하여 우리는 x3을 0으로 두었고 x4를 -1로 둔 후 피보트 변수를 구해주었습니다 그리고 반대로 x4를 0으로 x1을 -1로 두고서도 피보트 변수를 구해주었죠 이 방법은 일반화가 가능한 방법입니다 여러개의 자유변수가 주어졌을 때 하나의 변수를 0으로 두고, 다른 하나를 0이 아닌 다른 수, -1로 둘 수 있죠 그리고 벡터를 피보트 변수의 합으로 나타냅니다 이 때, 피보트 변수는 자유변수의 함수이죠 일반적으로, 이것이 가장 편리한 방법입니다 A와 같은 행열이 주어지고 열공간의 기반을 구하고 싶을 때 열 공간은 이 벡터들의 생성입니다 하지만 선형독립의 기반을 구하고 싶을때는 이 벡터들이 서로 선형독립인지를 알아보아야 합니다 우선 이 행렬을 기약행사다리꼴로 만들어봅시다 행열 A의 기약행사다리꼴을 구하려면 피보트 성분들을 지닌 이 변수들을 이용해야 합니다 이것이 x1이 되겠죠 첫번째 열이 x1과 곱해지는 것을 아시겠죠? x1과 첫번째 열이 곱해지고 x2와 두번째 열, x3과 세번째 열 x4와 네번째 열이 곱해집니다 기존의 행열 A와 비슷한 모양새를 가지고 있죠 Ax가 0과 같다고 두면 이 열은 x1과 곱해지고 x2, x3, x4도 마찬가지로 각 열과 곱해집니다 여기서 이제 기약행사다리꼴에 이것을 대입할 수 있습니다 어떤 열이 여기서 피보트 성분 또는 피보트 변수를 지니고 있나요? x1과 x2가 피보트 변수를 지닌다 또는 x1 과 x2 자체가 피보트 변수이다 라고 할 수 있겠죠 그리고 첫번째 두번째 열과도 곱해져 있다고 할 수 있습니다 그러면 이 두 열들이 열공간의 기반이 된다고 할 수 있겠죠 어떻게 이런 결과가 나왔을까요? 이러한 결론이 나온 이유는 벡터들이 자유변수들과 곱해져 있기 때문입니다 그리고 이 벡터들으 피보트 성분을 가진 다른 벡터들의 선형 결합식으로 표현이 가능하죠 그리고 저번 강의에서 특이한 케이스도 다루어보았습니다 조금 계산이 복잡하지만 빠른 방법을 배웠었죠 행열이 주어졌을 때 행열을 기약행사다리꼴로 바꿉니다 그리고 자유변수를 가진 여기 두 열들을 이용합니다 그러기 위해서는 이 행들이 자유변수를 꼭 가지고 있어야겠지요 Ax가 0일 때의 솔루션과 Ax의 기약 행 사다리꼴이 0일 때의 솔루션은 같습니다 이 두 열들이 자유변수를 지닌다는 것은 이 자유변수에 어떠한 값을 지정해주고 피보트 변수를 지닌이 열들의 선형 결합식으로 다른 행들을 표현할 수 있다는 것을 의미합니다 여기 두개의 열들이 피보트 성분이 되죠 그러므로 여기 이 열들이 A의 기반이 됩니다 여기서 보여지듯이 1, 2, 3벡터와 1, 1, 4 벡터는 열 생성 A의 기반이 됩니다 이렇게 계산을 하게 되면 A의 열공간이 어떤식으로 되어있는지를 알 수 있습니다 제가 열 생성이란 말을 여러번 쓴 것 같은데 열 공간을 말한 것이였습니다. 열공간은 어떻게 생겼나요? 여러가지 방법으로 생각해 볼 수 있습니다 한가지 방법은, 생성이 2라고 정의하는 것입니다 그리고 그것은 R3의 요소이죠 R3의 벡터입니다 일단 x와 z축을 그려볼게요 직각으로 y, x, z 축을 R3평면에 그립니다 3D 공간을 나타내겠죠 그리고 1, 2, 3 벡터를 이렇게 그립니다 1, 2, 1, 2, 3 이렇게 그리면 여기에 3이 옵니다 벡터는 이렇게 그려집니다 여기 보이는 것과 같이요 그리고 1, 1, 4벡터도 그려줍니다 이렇게 그릴 수 있겠죠 3D 공간에서 그리는 것은 쉽지는 않습니다 하지만 어떤식인지 보이시죠 그러나 열 공간은 이 두 벡터의 생성과 같습니다 그러므로 이 두 벡터의 선형 결합들이죠 이 두 벡터의 선형 결합식들은 이 두 벡터를 포함한 평면 하나를 이루는데요 하나의 평면을 이룹니다 만약 이 여러개의 결합식들을 모두 더하면 어떠한 벡터든 구할 수 있습니다 만약 그 벡터들을 모두 더하면 여기 이 벡터가 나오겠지요 이 벡터에 1, 2, 3 벡터 곱하기 2를 더해주면 여기 이 벡터가 됩니다 그러므로 만약 이 벡터들을 위치벡터라고 생각하면 생성은 R3안에 어떠한 평면을 이룬다는 것입니다 그러면 이 평면의 식을 구할 수 있는지 봅시다 어떻게 할까요? 우리는 이미 어떤 평면의 식을 구하는 법을 배웠습니다 법선 벡터와의 내적을 이용할 수 있겠죠 어떤 위치벡터와 법선 벡터의 내적을 구하면 됩니다 그러면 평면에서 x 빼기 어떠한 점 또는 위치벡터를 생각해봅시다 먼저 x 빼기 1, 2, 3벡터를 0이라고 둡시다 이 식을 이용해 평면의 방정식을 구할 수 있습니다 그러면 여기서 법선벡터는 무엇인가요? 어떻게 이 평면의 법선 벡터를 찾을 수 있을까요? 법선 벡터도 벡터입니다 헷갈리지 않기 위해 그려서 보여드릴게요 평면이 이렇게 있다면 법선벡터는 이런식으로 존재합니다 그러면 어떻게 법선벡터를 구할까요? 우리는 이미 R3의 어떠한 두 벡터의 외적을 구하면 이 벡터의 법선벡터와 같다는 것을 알고있습니다 그러면 외적을 구해봅시다 이렇게 우리가 이미 배웠던 것을 사용하여 다른 개념을 이해하는 것은 매우 중요합니다 법선벡터가 1, 2, 3 벡터라고 정의하면 거기에 1, 1, 4 벡터와 외적을 구해줍니다 답이 어떻게 되나요? 첫번째 성분은 무시합시다 2 곱하기 4 빼기 3 곱하기 1 2 곱하기 4 는 8 2 곱하기 4 빼기 3 곱하기 1이니까 8 빼기 3이 하나의 성분이 됩니다 두번째성분은 1 곱하기 4 그리고 1 곱하기 4 빼기 3 곱하기 1을 해줍니다 하지만 두번째 성분 계산은 부호를 바꾸어주어야 합니다 3 곱하기 1로, 3 빼기 1 곱하기 4가 됩니다 여러번 해본 적 있는 계산들이죠 외적이 기억이 나지 않다면 외적 벡터 구하는 법을 복습해 보는 것도 좋을 것 같네요 중간줄은 무시하고 1 곱하기 4 빼기 3 곱하기 1을 합니다 R3 에 관해 풀고 있으니 3 곱하기 1 빼기 1 곱하기 4를 해줍니다 마지막 성분은 1 곱하기 1 은 1 빼기 2 곱하기 1을 해서 -2가 됩니다 그리고 이 외적값은 5, -1, -1 벡터가 됩니다 여러번 보여드렸듯이 법선벡터는 이 두 벡터의 어떠한 일차결합식도 될 수 있습니다 이제 법선벡터를 찾았으니 기존의 평면 식을 살펴봅시다 법선벡터는 5, -1, -1벡터이죠 평면상의 벡터와 기반벡터의 외적값을 이용해 찾았습니다 벡터 하나를 적어볼게요 성분을 x, y, z로 둡니다 x, y, z 축들이 있으니까요 이것은 x축이였습니다 x, y 그리고 z x, y, z 벡터 빼기 이 중 하나를 하면 이 중 아무거나 사용해도 됩니다 빼기 1, 2, 3 벡터는 0이 됩니다 이것이 어떤 식인가요? 우선 조금 깔끔하게 다시 써볼게요 이 식은 5, -1, -1 벡터와 어떤 벡터가 오죠? x-1, y-2, z-3 벡터가 오게되죠 그리고 이 식은 0과 같게됩니다 내적값이 어떻게되나요? 내적값은 5 곱하기 x 빼기 1 더하기 -1 곱하기 y 빼기 2 더하기 -1 곱하기 z빼기 3은 0 내적의 정의에 의해 계산했죠 간소화해서 적으면 5x-5 빼기 y+2 빼기 -z+3 은 0 이 됩니다 2 더하기 3은 5 이고 -5가 있으니 상쇄되고 나머지가 0과 같습니다 그리고 5x-y-z=0으로 간소화할 수 있죠 R3안의 이 평면식이 바로 A의 열공간입니다 이제 이것이 A안의 평면이라는 것을 알았고 그리고 당연하게도 이 평면이 원점을 지나가는 것도 이해가 갑니다 만약 x, y, z 를 모두 0으로 두면 이 평면식을 만족시키기 때문이죠 말이 되는 것이, 행열의 열공간은 유효한 부분공간이여야 하고 유효한 부분공간은 영벡터를 포함해야하기 때문입니다 R3에서는 바로 0, 0, 0벡터를 포함합니다 이제 우리가 알아보아야할 것은 다른 방법으로도 같은 결론을 낼 수 있는가 입니다 완전히 다른 방법으로 말이죠 우선 원래 주어졌던 행열 A를 봅시다 여기 이것이 기존의 행열 A입니다 복사해서 아래에 보기좋게 붙여야겠네요 죄송해요 잘못 복사했네요 잠시만 기다려주세요 행열 A를 가져와서 여기에 놓으면 자 여기 A가 있습니다 이제 이전과 완전히 다른 방법으로 같은 결과를 유도해봅시다 여기 이 결과는 열 생성의 기반을 찾고, 두 기반벡터의 외적을 이용해 법선벡터를 찾은 후 법선벡터와 이 평면에서 기반 벡터 하나를 뺀 벡터와의 내적을 이용해 구하였습니다 여기 이 평면의 한 벡터가 있습니다 이 평면의 어떤 벡터와 법선벡터의 내적을 구하면 0이 됩니다 법선벡터가 두 기반벡터의 외적이라는 것을 꼭 기억해주시기를 바랍니다 왜냐하면 이 두 기반벡터가 평면에서의 위치를 나타낼 뿐만 아니라 자 여기 이 파란색 벡터를 참고합시다 어떤 평면의 한 점의 위치를 나타낼 뿐만 아니라 평면안에 벡터가 완전히 포함되어 있습니다 어떻게 알 수 있나요? 영벡터가 생성 안에 존재하기 때문입니다 여기 이 벡터를 일반 위치벡터로 그리면 원점 0, 0, 0이 생성 안에 있고 이 끝점 또한 생성 안에 있죠, 그래서 벡터 전체가 이 평면 안에 존재하는 것을 알 수 있습니다 그래서 외적을 구하면 이 기반벡터와 수직을 이루는 어떤 벡터, 또는 이 기반벡터들의 어떠한 결합식도 평면과 수직을 이룰 것입니다 그리고 이 결과를 얻었죠 이번에는 열 생성의 다른 정의를 이용해볼게요 다른 정의라고 하면 열 생성은 x가 Rn의 성분인 Ax의 유효한 모든 솔루션이라는 것입니다 다른 방법으로 생각해본다면 Ax가 b이고 x가 Rn의 성분일 때 유효한 모든 b의 값을 말하기도 합니다 모두 같은 이야기입니다 b가 Ax와 같다고 정의하면 같은 의미를 지니겠죠 이것을 사용해서 더 나아가봅시다 b가 R3의 벡터라고 정의합시다 이미 직감적으로 알 수 있듯이 Ax를 다룰 때, b가 x, y, z벡터라고 둡니다 그리고 x, y, z값이 어떻게 되어야 유효한 솔루션값이 나올까요? 우선 벡터 A에 곱해줍니다 만약 Ax가 b인 식을 풀려면 첨가행열을 만들어서 풀 수 있습니다 우선 행열 A가 있고 b를 첨가한 후 기약행사다리꼴로 바꿔줍니다 그러면 이것이 바로 솔루션 집합이 됩니다 그러면 계산해봅시다 b와 이 벡터의 첨가행열을 구할 때 일단 x, y, z 벡터를 쓸게요 그리고 이 벡터가 b가 첨가된 벡터A가 됩니다 이것이 A고 이것이 b죠 이제 기약행사다리꼴을 구해 솔루션 집합을 찾아봅시다 x, y, z는 유효한 b 벡터를 나타냅니다 그러면 어떤 값이 나올까요? 가장 먼저 할 것은 첫번째 줄은 그대로 남겨두는 것입니다 1, 1, 1, 1 그리고 x가 오죠 두번째줄은 두번째줄 빼기 첫번째줄로 바꿉니다 이렇게 해볼게요 두번째 줄을 첫째줄의 두배 빼기 두번째줄로 둡니다 2 곱하기 첫째줄 빼기 두번째줄은 여기엔 2x-y가 옵니다 그리고 2 곱하기 1 빼기 2는 0 2 곱하기 1 빼기 1은 1 2 곱하기 1 빼기 4 는 -2 2 곱하기 1 빼기 3은 1 간단하죠 그리고 세번째줄은 세번째줄 빼기 첫째줄의 세배로 바꿔줍니다 계산해봅시다 세번째줄 빼기 첫째줄의 세 배 우선 b에 대한 값을 먼저 구해주세요 세째줄 빼기 첫째줄의 세 배를 하면 3 빼기 3 곱하기 1 은 0 4 빼기 3 곱하기 1은 1 1 빼기 3 곱하기 1은 -2 2 빼기 3 곱하기 1은 -1 이제 기약행사다리꼴을 거의 다 구했습니다 그런데 여기서 특이한 점이 있습니다 일단 세번째줄을 모두 0으로 만들어볼게요 가장 쉬운 방법은 세번째줄을 바꾸는 것입니다 첫번째줄은 일단 비워두고 두번째줄은 0, 1, -2, -1 그리고 2x-y 우선은 첫째줄은 생각하지 마세요 세번째줄을 바꿔봅시다 기약행사다리꼴로 만드는 것처럼 두번째줄에서 세번째 줄을 뺀 값을 세번째줄에 적습니다 그러면 2x-y-z+3x 그냥 두번째에서 세번째 성분을 뺀 값입니다 -z+3x를 해줍니다 0 빼기 0은 0 1 빼기 1은 0 -2 빼기 -2는 0으로 모두 0이 됩니다 이제는 Ax가 b일때의 해를 구할 수 있습니다 만약 여기 이 성분이 0이 되었을때 말이지요 그러나 이 성분이 0이 아니면 어떻게 될까요? 그러면 어떤 숫자들을 가르키는 0들이 매우 많이 생길것입니다 그렇게 되면 이 식의 해가 존재하지 않게 되죠 그래서 b가 0이 아니면 해가 없습니다 만약 b가 5가 되면, 만약 x, y, z 로 이루어진 이 식이 5가 된다면, Ax가 b 일 때 해가 존재하지 않게 됩니다 왜냐하면 0이 5와 같다는 식이 나오기 때문이죠 그래서 이 식의 값은 0이 되어야 합니다 그래서 2x-y-z+3x는 0으로 두어야 합니다 그래야 b가 해를 가질 수 있고 A의 행공간의 성분이 될 수 있으며 Ax가 유효한 벡터가 될 수 있고 x에 관해 A 와 x의 곱도 구할 수 있습니다 그러면 이 이제 어떻게 계산될까요? 2x 더하기 3x를 더하면 5x, 거기에 빼기 y 빼기 z를 해준 것이 0이 되어야 합니다 기반벡터를 구할때와 마찬가지가 되겠죠 여기서 무엇인가 눈치채셨나요? 기반벡터들은 자기자신들의 열공간에 존재한다는 것을요 그러면 외적을 이용해 법선벡터를 구해볼게요 이미 구한적이 있죠 외적의 곱에 공간의 어떠한 벡터에서 기반벡터 하나를 뺀 벡터를 곱해주면 0이 된다는 것을요 그리고 이러한 식이 만들어졌죠 아니면 다른 방법도 있습니다 지금까지는 이 식을 Ax가 b와 같다고 두고 풀었습니다 어떤 b가 유효한 값이 나오게 만드나요? 유효한 해가 나오려면 b는 꼭 0이 되어야 합니다 왜냐하면 그 행의 나머지가 모두 0이 될것이기 때문이죠 그리고 b를 0으로 두면 아까와 같은 식이 나오게됩니다 이 방법들이 유용했기 바랍니다 왜냐하면 우리는 두가지 다른 방법으로 같은 문제를 해결하여 같은 답을 얻었고 이것이 선형대수의 묘미를 잘 보여줍니다 수고하셨습니다