후보 기저의 A의 열공간 생성

전 전 영상에서 행열 A의 열공간에 대한 기반을 찾아보았었죠 그리고 제가 어떻게 찾는지를 보여드렸었습니다 행열 A를 우선 기약행사다리꼴로 만들고 기약행사다리꼴 A를 행열 R이라고 부릅니다 그리고 피보트열을 확인합니다 여기 이것이 피보터열이죠 1이 하나 있고 다른 성분들은 모두 0입니다 이런 것을 피보트 열이라 부르고 1 은 이 행에서 중요한 역할을 합니다 이것이 피보트 열이죠 동그라미를 그려볼게요 이것들이 모두 피보트 열입니다 여기에도 있죠 기약행사다리꼴에서 피보트 열에 대응하는 행열 A가 기반이 됩니다 첫번째, 두번째, 네번째 행이 되겠죠 각각을 a1, a2, a4라고 부릅시다 그러면 이 행은 a3, a5가 되겠지요 a1, a2, a4는 A의 열 생성의 기반이 됩니다 전 전 영상에서는 직접 이유를 증명해드리지는 않았습니다 어떻게 하는지만 알려드렸죠 이 열들이 기반이 되기 위해서는 두가지 조건을 만족해야합니다 우선 선형독립해야합니다 지난 영상에서 보여드렸죠 이 열이 r1이고 이 열이 r2 r4가 됩니다 그리고 이 열들은 모두 선형독립하죠 모두 1이라는 성분을 가집니다 그리고 나머지 성분은 모두 0이죠 이제 세 개의 피보트열이 있습니다 피보트 항이 n개 존재하면 성립합니다 각각의 피보트 열은 하나의 1을 각각 다른 위치에 가지고 있습니다 그리고 그 열의 나머지 성분은 모두 0이 되죠 그래서 다른 피보트 열이 다른 것들의 선형결합으로 표현이 불가능합니다 왜냐하면 절대 더해질 수 없기 때문이죠 이것이 바로 선형독립입니다 지난 영상에서 보여드렸듯이 만약 이 열들이 선형독립하면 R이 A와 같은 영공간을 갖을 때, 이 열들이 선형독립합니다 이제 기반이 되기 위한 다른 두번째 조건은 a1 a2 부터 an까지의 생성이 A의 열공간과 같아야 합니다 A의 열공간은 이 다섯개 벡터의 생성과 같습니다 그러므로 a3과 a5 벡터를 넣어주세요 이 세개의 벡터들이 행공간을 만드는것을 보여주려면 a3과 a5를 a1, a2, a4의 선형결합식으로 표현할 수 있어야 합니다 만약 그게 가능하다면 a3과 a5는 필요가 없게 되죠 그러면 a1, a2, a3, a4, a5를 생성할 때 a3과 a5가 없어도 생성이 가능하게 되죠 왜냐하면 다른 세개의 열벡터의 선형결합으로 표현이 가능해지기 때문이니까요 이 두개는 이제 필요가 없습니다 그리고 이 열들을 없애면 이 없앤 열들을 다른 남아있는 열들의 선형결합식으로 나타낼 수 있습니다 그리고 이 남아있는 세 열들의 생성을 구하면 다섯개 열의 생성과 같게 됩니다 그리고 그 생성은 A의 열공간을 일컫습니다 한번 직접 증명해봅시다 a1부터 a5까지 각각의 열벡터들을 채워봅시다 그리고 그 열벡터를 각각 r1, r2, r3, r4, r5라고 부를게요 이제 다시 영공간에 대해 생각해봅시다 아니면 영공간이 아니더라도 Ax 방정식을 생각해봅시다 x 대신에 x1, x2, x3, x4, x5를 넣고 0과 같다고 두겠습니다 이것이 바로 해 집합이 됩니다 x1부터 x5까지의 값은 벡터 X의 값이되고 이것은 영공간을 의미하게 됩니다 그러면 R과 x1, x2, x3, x4, x5의 곱을 0으로 두고 살펴봅시다 이것은 0벡터이죠 이 때 네개의 성분이 존재합니다 Rm의 원소이죠 그래서 이 방정식들을 이렇게 써볼 수 있습니다 A의 열 벡터가 무었이었죠? a1, a2부터 a5까지였습니다 이제 이것을 x1 a1 더하기 x2 a2 더하기 x3 a3 더하기 x4 a4 더하기 x5 a5는 0이라고 둘 수 있습니다 우리가 정의했던 행열 벡터의 곱에 의해서요 이것은 그저 a1부터 a5까지의 열벡터들이 됩니다 그러면 식을 이렇게 다시 쓸 수 있죠 비슷하게 이 식을 r1 x1 더하기 x2 r2 더하기 x3 r3 더하기 x4 r4 더하기 x5 r5는 0이라고 쓸 수 있습니다 이제 기약행사다리꼴 R을 만들면 피보트 열과 연관된 x 변수들은 무엇이 될까요? 피보트 열은 r1, r2, r4이죠 이 열들과 곱해진 x변수들을 피보트 변수라고 부릅니다 그리고 피보트 열이 아닌 열과 곱해진 변수를 자유변수라고 합니다 그러면 자유변수는 x3과 x5가 되겠죠 행열 A도 똑같이 적용됩니다 이 식을 만족하는 x벡터들 모두 이 식을 만족합니다, 반대로도 성립하죠 같은 영공간을 가지고 있기때문에, 같은 해 집합을 가지고 있습니다 그리고 x3 과 x5 역시 자유변수라고 부를 수 있죠 이것이 무엇을 의미할까요? 이것의 예를 많이 들었습니다 자유변수는 어떤 수가 들어와도 상관이 없습니다 x4과 x5를 아무 실수로 두세요 어떤 실수든 대입할 수 있습니다 그리고 이 기약행사다리꼴로부터 다른 피보트변수들을 이 변수들에 의해 나타낼 수 있죠 x1은 A x3 + B x4로 표현되고 x2는 C x5 + D x5로 둡니다 그리고 x4를 E x3 + F x5로 둡니다 각 열을 여기 이 벡터에 각각 곱해주면 0이 되고 자유변수로 표현된 피보트 변수의 값을 찾기 위한 연립방정식이 만들어집니다 이제 다시 원래 행열로 돌아가서 기존 행열을 이용해서 이제 자유 열과 곱해진 벡터를 만들 수 있습니다 자유벡터는 다른 피보트 열의 벡터들의 선형결합식으로 만들어질 수 있죠 어떻게 할까요? 일단 자유 열을 만드는 선형결합식을 찾아야 합니다. a3를 만들어야 하죠 어떻게 할까요? 여기 이 식을 조금 변형해봅시다 어떻게 되나요? 죄송합니다 x3 a3 이네요 만약 x3 a4을 방정식의 양 변에서 빼면 - x3 a3은 x1 a1 더하기 x2 a2 더하기 x4 a4 가 됩니다 여기 분홍색 글씨를 보세요 이 방정식을 다르게 쓴 표현이죠 저는 단지 x3 a3을 방정식의 양 변에서 빼주었을 뿐입니다 이제 그러면 x3이 자유변수가 되었습니다 x3에 어떤 수를 대입하든 상관없습니다 x5도 마찬가지이죠 그러면 x3을 -1로 둡시다 이제 이 항은 1이 됩니다 왜냐하면 - x3이였으니까요 이제 x5 를 0으로 둡시다 만약 x5가 0이면, 이 항은 사라지죠 x5가 자유변수이기에 가능합니다 자유변수들에는 원하는 숫자를 대입할 수 있죠 a3을 선형결합식으로 나타냈습니다 a1, a2, a4 벡터의 선형결합식으로요 이 벡터들은 피보트 열과 곱해졌던 기존 행열의 벡터들입니다 이것이 항상 성립합을 보여드리기 위해 이 결합식에는 항상 x1, x2, x4이 존재하는 것을 보여주어야 합니다 항상 이 식을 만족하는 x1, x2는 존재합니다 그저 자유변수를 잘 대입해주어야 하죠 x3은 -3이고 x5는 0과 같습니다 이 식을 이 방정식에 대입해봅시다 이 때, x1은 -A 더하기 0이고 x2는 -C, x4는 -E가 됩니다 피보트가 아닌 열 벡터들은 항상 피보트 열의 열 벡터들의 선형결합식으로 나타낼 수 있습니다 방금은 a3에 대해 구했죠 이 항을 양 변에서 빼서 a5를 구한것과 마찬가지로요 x5를 -1로 두고 x3을 0으로 두면 x3의 항이 사라집니다, 그러면 같은 방법으로 구할 수 있겠죠 여기 자유 열 또는 자유변수의 벡터들이 있습니다 자유변수들은 x3 과 x5이고 이 열들을 말하죠 이 열들은 다른 열들의 선형결합식으로 표현이 가능합니다 이 방정식을 잘 바꿔야하기 때문에 선형결합식을 찾을 때의 계수를 -1로 두고 나머지 자유 변수들을 0으로 둡니다 그리고 피보트열과 곱해진 벡터의 선형결합식을 구할 수 있습니다 여기 자유 벡터들은 여기 피보트가 아닌 열과 곱해진 자유벡터들은 이 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있습니다 그러니 이 벡터들은 필요가 없게됩니다 아래의 생성 식과 위의 생성 식은 같습니다 아래 식 A의 열공간의 생성과 위의 식 열공간의 생서이 같다는 의미이죠 그러면 지난 영상에서 보여드렸듯이 이 열들이 선형독립이고 A의 열공간이 이 열들의 생성과 같습니다 그면 이 열벡터들 이 행열의 기약행사다리꼴 안의 피보트 열들의 열벡터들이 A의 열공간의 기반을 나타낸다는 것을 이해하셔야 합니다 오늘 수업이 난해하지 않았기를 바랍니다