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기저 열과 축열 사이의 관계

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지난 강의에서 열공간에 대한 기저가 무엇인지 지난 강의에서 열공간에 대한 기저가 무엇인지 구하는 방법을 배웠습니다 이렇게 정확한 예시들과 함께 말이죠 이것은 행렬 A이지만 기약행 사다리꼴로 만들었습니다 A의 기약행 사다리꼴에서 이 열들이 추축열이라는 것을 풀었습니다 첫 번째, 두 번째, 네 번째 열이 추축열이죠 A의 열에 대응하는 첫 번째, 두 번째, 네 번째 열이 열공간의 기저를 형성한다고 할 수 있겠죠 기저를 형성하기 때문에 계수라고도 부르는 열공간 기저의 차원은 3입니다 따라서 계수는 1, 2, 3입니다 이번 강의에서는 이게 왜 성립하는지에 대해 알아볼 것입니다 왜 그저 대응하는 열을 취할 수 있었을까요? 왜 이 세 열이 선형독립일까요? 왜 이 세 열이 선형독립일까요? 왜 저 사실이 이 열을 기본 벡터을 이용하여 왜 저 사실이 이 열을 기본 벡터을 이용하여 왜 저 사실이 이 열을 기본 벡터을 이용하여 선형결합으로 만들 수 있다는 것을 의미할까요? 선형결합으로 만들 수 있다는 것을 의미할까요? 우선, 저번 강의에서 보았듯이 축벡터가 선형독립이라는 개념은 많은 상상력을 요구하지 않습니다 r1, r2, r4가 있습니다 특별한 경우를 적용하여 여러분이 이해하기 쉽게 해드리죠 하지만 일반화할 수 있어야 해요 사실 확실히 일반화되지만 말이죠 기약행 사다리꼴의 추축열은 모두 선형독립입니다 왜냐하면 본질적으로 기약행 사다리꼴은 각 행에 1이 하나인 유일한 추축열이 있기 때문입니다 따라서 이를 만드는 유일한 방법은 이 벡터를 이용하는 것입니다 다른 추축열로는 만들 수 없습니다 왜냐하면 해당하는 행에 0을 가지고 있기 때문이죠 선형독립이라고 하는것은 추축열의 집합을 말하는 것입니다 일반적인 상황을 이야기해보죠 어떠한 기약행 사다리꼴 행렬의 추축열의 집합도 선형독립입니다 이것은 아주 명백한 사실입니다 왜냐하면 각 열의 1은 유일한 위치에 존재하기 때문이죠 다른 모든 추축열은 그 위치에 0이 있을 것입니다 따라서 1을 구하기 위한 선형결합을 만들 수 없습니다 왜냐하면 임의의 수와 0을 곱한 것과 다른 임의의 수와 0을 곱한 것을 더하거나 빼더라도 절대 1이 나올 수 없기 때문입니다 무슨 말인지 알죠 그러면, 이 말은 해가 c1r1 + c2r2 + c4r4라는 것이죠 이들은 선형독립이기 때문에 이 방정식의 해는 유일합니다 바로 c1 = c2 = c4 = 0 이 되겠죠 이것이 유일한 해입니다 따라서 다른 방법으로 말하자면 R과 어떤 벡터 x의 곱에 대해서 만약 x = [c1 c2 0 c4 0] 라면 그 결과는 0입니다 따라서 이것은 영공간의 특별한 원소가 될 것입니다 특별한 해가 되겠죠 여기엔 0이 4개 있습니다 왜냐하면 열이 4개이기 때문이에요 이제, 이것을 확장한다면 어떻게 될까요 1×c1 + 0×c2 - 1×0 + 4×0 에 대해서 이를 설명하는 더 나은 방법이 있습니다 이 곱셈은 이렇게 나타낼 수 있어요 본 적이 있을겁니다 c1×r1 + c2×r2 + 0×r3 저 항들은 무시하고 더하기 c4×r4 + 0×r5가 되겠죠 저건 r5 입니다 저 모든 것은 0이 되요 따라서 유일한 해는 다음과 같습니다 왜냐하면 이 세 열은 선형독립이거나 세 추축열은 선형독립이기 때문입니다 여기서 유일한 해는 이 모두가 0인 것입니다 저 위에서 정확히 언급했죠 따라서 유일한 해는 이 둘이 0이라면 이것 또한 0입니다 이 둘을 제한했다면 말이죠 계속해서 해왔듯이 이 방정식에 대한 해집합을 알고 있고 Rx의 해집합이 0이라는 것은 Ax의 해집합이 0이라는 것과 같습니다 이것을 어떻게 알 수 있을까요? 이게 무슨 말이죠? 이 해집합은 영공간입니다 R의 영공간이죠 여기 모든 x는 방정식을 만족합니다 그리고 우리는 그것이 A의 영공간과 같다는 것을 압니다 왜냐하면 R은 기약행 사다리꼴이기 때문입니다 따라서 이건 A의 영공간이고 모든 x는 방정식을 만족합니다 유일하게 방정식을 만족하는 경우는 c1, c2, 그리고 c4가 0일 때입니다 따라서 이런 상황일 때에만 방정식을 만족합니다 c1, c2, 그리고 c4가 0일 때 말이죠 c1, c2, 그리고 c4가 0일 때 말이죠 다른 방식으로 말해보죠 벡터 a1, a2, a4에 대해서 다음 수를 곱하여 이렇게 나타냅니다 c1×a1 + c2×a2 + 0×a3 + c4×a4 = 0 c1×a1 + c2×a2 + 0×a3 + c4×a4 = 0 이것들이 선형독립이라는 것은 이 방정식의 유일한 해가 0이라는 것과 같은 이야기입니다 이 식에 대한 유일한 해가 0이라는 걸 알고 있습니다 왜냐하면 이 식에 대한 어떤 해든 이 식에 대한 해이기 때문입니다 두 항을 0으로 제한한다면 이 식의 유일한 해는 c가 모두 0이라는 것입니다 마찬가지로, 만약 이들을 0으로 제한한다면 유일한 해는 c1 = c2 = c4 = 0이라는 것이죠 따라서 저것들은 0이 되어야 하고 이 말은 즉 여기 세 벡터 a1, a2, a4가 선형독립이라는 것입니다 이제 반정도 했습니다 여기 추축열이 선형독립임을 보였습니다 여기 추축열이 선형독립임을 보였습니다 그들은 동일한 해집합을 가집니다 기약행 사다리꼴의 영공간은 기존 행렬의 영공간과 같습니다 c1×a1 + c2×a2 + c4×a4 = 0의 유일한 해는 모두 0으로 제한할 때라는 것을 보여줄 수 있습니다 여기서 이 세 벡터 혹은 세 벡터의 집합은 선형독립입니다 다음으로 증명할 것은 기저입니다 모든 열벡터를 이 세 수와의 곱으로 나타낼 수 있습니다 분명하게 하기 위해서 혹은 여러분이 지루할까봐 다음 강의에서 하도록 하겠습니다 여기서 만약 추축열이 선형독립이면 항상 선형독립임을 확인하였습니다 모든 추축열은 정의에 의해 선형독립입니다 혹은 추축열의 집합이 선형독립입니다 추축열이 아닌 열을 제거할 때 기존 벡터의 대응하는 열은 또한 선형독립입니다 다음 시간에는 이 셋 또한 열공간에 생성된다는 것을 보여줄 것입니다