증명 : 어떠한 부분공간의 기저도 원소의 수가 같습니다.

a1, a2 부터 an 까지의 벡터를 가진 집합 A가 있다고 가정해봅시다 그리고 이것이 부분공간 V의 기반이 됩니다 이번 강의에서는 집합 A에 n개의 원소가 있을 때 그리고 V를 생성하는 어떤 집합이던지 적어도 n개의 원소를 가져야 한다는 것을 보여주려고 합니다 이 집합에 n개의 벡터가 있다는 것을 다양한 방법으로 이야기 할 수 있습니다 V를 생성하는 모든 집합은 적어도 n개의 원소를 가져야 합니다 만약 기저집합의 합이 V의 n개 원소를 가진다면 말이죠 만약 집합에 n보다 적은 원소가 있을 때 어떠한 모순이 생기는지 알아봅시다 합집합 B가 있습니다 그리고 이 집합은 벡터 b1, b2 부터 bm까지와 같습니다 m이 n보다 작고 이 벡터의 합집합이 집합 A의 원소보다 적은 원소를 가지고 있습니다 B집합이 A보다 적은 원소를 가지고 있지만 B가 V를 생성합니다 그러면 좀전에 집합에 적어도 n개의 원소가 있어야 한다는 것이 참인 명제인줄 알았는데 n개보다 적어도 되는 것 같네요 그러면 집합B가 정말로 V를 생성하는지 알아봅시다 새로운 집합을 하나 정의할게요 그리고 B1' 으로 부릅시다 왜 이런 기호를 넣어서 부르는지는 나중에 알게 될 것입니다 B1'의 원소는 집합 B의 원소들과 a1벡터의 합이 됩니다 자 여기 a1벡터가 있습니다 그리고 B의 모든 원소들이 있습니다 b1, b2 부터 bm까지요 이 집합은 선형독립하다는 것을 아시겠죠? 어떻게 알 수 있었을까요? 선형독립성은 어떤 집합의 적어도 하나의 원소가 다른 원소들의 선형 결합으로 나타낼 수 있을 때를 말합니다 a1이 V의 기반벡터라는 것을 기반의 정의에 의해 알고 있습니다 하지만 모든 기반벡터들이 V의 원소는 아닙니다 만약 V의 기반이 이 집합이라면 이 집합은 V를 생성하고 모든 V의 원소들이 기반벡터의 결합식으로 표현될 수 있게 됩니다 또는 이 벡터들의 모든 선형결합식이 V에 포함이 되겠죠 이 벡터들의 선형결합식 중 하나를 살펴보면 a1의 계수를 1로, 나머지의 계수를 0으로 둡시다 그러면 당연히 a1이 이 집합의 원소가 되겠죠 그래서 만약 a1이 V안에 있다면 모든 원소들이 V를 생성한다고 할 수 있습니다 이 원소들이 V를 생성하면 이 원소들의 선형결합식들이 V의 원소를 이루겠지요 그래서 이 원소의 선형 결합식들을 찾아서 a1을 만들 수 있습니다 a1이 d1과 같다고 놓읍시다 이 때 d는 상수입니다, d1 b1 더하기 d2 b2 그리고 dm bm까지 쭉 그리고 그중 적어도 하나는 0이 아닙니다 a 가 영벡터가 아닌 것을 알고 있죠 만약 a가 영벡터였다면, a가 기반벡터가 될 수 없었을 것입니다 그렇게되면 선형독립성이 존재하지 않기 때문이죠 어떤 벡터를 곱하던 항상 영벡터만을 나타내게 되니까요 그래서 결론적으로 영벡터가 될 수 없습니다 그래서 이 중 하나는 0이 아니여야 합니다 bj의 계수인 dj가 0이 아니라고 생각해봅시다 dj는 0이 아닙니다 그러면 dj의 값을 찾아볼 수 있겠죠 여기에 dj bj 더하기 다른 여러 항들이 존재하죠 만약 양 변에서 이것을 빼주고 양 변을 -dj로 나누어주면 해를 구할 수 있습니다 그리고 -a1을 반대쪽에 놓아주면, 어떻게 되나요? 많은 연산이 필요합니다 여기에 다시 써볼게요 bj에 대하여 풀어줍니다 bj는 -1 나누기 bj의 계수와 같겠죠 그리고 양쪽에 a1을 빼주고 나머지를 모두 더해주면, d1 b1부터 모두 더해줍니다 그냥 이렇게 간단히 쓸게요 이런식의 표현은 자주 쓰이지는 않습니다 dm bm까지 더해주죠 지금까지 보여준 과정은 a1을 다른 원소들의 선형결합식으로 나타내기 위함이였습니다 하지만 다르게 변형할 수도 있습니다 다르게 배열하여 다른 원소를 나머지 원소와 a1의 선형결합식으로도 표현할 수 있습니다 bj는 이제 필요가 없습니다 이제 V를 생성할 때 bj가 필요가 없어졌죠 여기 이 집합이 여전히 V를 생성합니다 B1'에 여분의 벡터 a1을 더했었죠 하지만 이제 B1'에서 없앨 수 있습니다 없애도 V를 생성 할 수 있죠 어떻게 이 사실을 알아냈을까요? 왜냐하면 a1이 없더라도 아무것도 잃은 것이 없기 때문이죠 만약 a1벡터를 이용해 다른 벡터를 만들었다면 이 벡터를 다른 b들과 a1의 선형결합식으로 나타낼 수 있습니다 그러면 없애볼게요, 그리고 v1집합이라고 부르겠습니다 표기를 편하게 하기 위해서 이름을 바꿔볼게요 이런 표기법이 흔하지는 않습니다 교과서에서는 이런식으로 하지는 않죠 하지만 이 방법이 조금 쉬울 것입니다 원소 하나하나를 다루는 것보다는 더 쉽기 때문이죠 b1, b2, bn 모두 임의의 이름들입니다 이름들을 바꿔볼게요 bj가 b1과 같고 b1이 bj와 같다고 해봅시다 단지 이름만 바꾼것입니다 bj에 b1이라고 이름을 붙인 것이고 b1에 bj라는 이름을 붙인 것입니다 이제 b1을 벡터에서 없앨 것입니다 표기를 좀 더 쉽게 하기 위해서요 bj를 중간에서 없앱니다 헷갈림을 방지하기 위해서죠 이제 b1이라고 부르는 bj를 없앤 새로운 집합을 B1이라고 부릅시다 집합 B1은 a1과 같습니다 그리고 bj를 없앴었고 b1을 bj라고 부른다는 것을 기억하세요 이제 이 집합에 b2가 옵니다 아마 bj가 b1이였을수도 있죠 우리는 모릅니다 0이 아닌 원소는 많이 존재할 것입니다 그러면 어떠한 원소든 bj가 될 수 있죠 하지만 우리는 이미 bj를 b1이라고 하였고 집합에서 없애주었습니다 자 그럼 나머지 원소는 b3부터 bm까지가 됩니다 그리고 이 집합은 여전히 V를 생성하죠 왜냐하면 우리가 없앤 b1이 다른 원소들의 선형 결합식으로 표현될 수 있기 때문입니다 결론적으로 V의 모든 벡터를 충분히 가질 수 있다는 것이지요 이번에는 다른 벡터를 만들어보겠습니다 B2' 이라는 집합이 있다고 가정합시다 이번에는 V의 기반에서 다른 원소를 사용할게요 두번째 원소, a2,를 사용해 볼게요 a2를 넣습니다 B2' 집합에 a2를 원소로 넣습니다 그러면 a1, a2 그리고 나머지인 b2, b3부터 bm까지 들어가죠 당연히 이것은 V를 생성할것입니다 B1에 원소하나를 추가했을 뿐이니까요 하지만 이것은 선형종속성을 지닙니다 처음에 제가 선형종속 여부에 대해서 언급하지 않았죠 불확실했기 때문입니다 하지만 V의 다른 벡터 하나를 추가했을 때 선형종속성을 띄게 됩니다 왜냐하면 기존의 원소들이 추가된 벡터를 표현할 수 있으니까요 비슷하게 B1 도 V를 생성합니다 그래서 새로운 원소를 추가하게되면 이 원소가 다른 원소들의 선형결합식으로 표현 가능한 것을 알고있습니다 그러므로 여기 이 집합은 선형종속입니다 a2가 어떤 상수 c1과 a1의 곱 더하기 c2 b2 더하기 c3 b3 더하기 cm bm까지 더해 준 값이 된다고 합시다 이제 여기서 적어도 하나의 상수는 0이 아닐 것입니다 ci중 적어도 하나는 0이 아니라는 것이죠 그러면 더 나아가 이 중 하나가 ci에 포함되지 않는다고 할 수 있습니다 bi 앞에 곱해진 상수들 중 적어도 하나가 0이 아니라는 것이지요 만약에 모든 상수가 0이라면 어떻게될까요? 상수가 모두 0이라면 a2가 a1의 선형결합식이라는 의미입니다 모든 원소들이 상쇄되고 a2는 0이 아닌 어떤 상수과 a1의 곱으로 표현될 것입니다 하지만 이 두 원소들은 모두 선형독립 집합의 원소이기 때문에 항상 성립하지는 않습니다 두 원소 모두 기반벡터이죠 생성하는 기반벡터라고는 부르면 안됩니다 왜냐하면 이 때 벡터가 상쇄 가능하다는 뜻이니까요 기반은 선형독립인 생성하는 집합을 뜻합니다 만약 A가 선형독립이면 a2가 다른 원소들의 선형결합식으로 표현이 불가능 하겠죠 그래서 B의 계수 중 하나는 0이 아니여야 한다는 것입니다 cj bj 가 있습니다 이제 cj bj는 이전의 것과 다른 새롭게 정의된 것입니다 우리는 cj중의 하나 이상이 0이 아니여야 한다는 것을 알고있죠 왜냐하면 모든 cj가 0이 아닐때 a1 과 a2 벡터가 선형독립하다고 할 수 없기 때문이죠 왜냐하면 그들은 서로의 내적값이니까요 같은 방법으로 또 계산해 봅시다 여기 이 cj bj의 계수는 0이 아닙니다 그래서 bj에 대해 풀 수 있죠 bj는 -1/cj 곱하기 -a2 더하기 c1 a1 부터 cm bm까지 입니다 여기 이 bj는 새로운 a2를 포함한 나머지 원소들의 선형결합으로 표현될 수 있습니다 이미 해보았듯이, cj bj를 여기서 없앱니다 집합 밖으로 가지고 나오세요 집합 밖으로 내보내기 전에 우선 이름을 다시 붙여줍시다 간소화를 하기 위해서요 bj를 b2라고 부르고 b2를 bj로 부릅시다 단순히 이름을 바꾸는것이죠 그리고 b2를 없앱니다 여기서 b2는 바뀐 이름의 b2이빈다 b2는 새로운 a2를 포함한 집합의 나머지 원소들의 선형결합식으로 나타낼 수 있죠 여기서 원소 하나를 가지고 나오고 B2라고 이름을 붙입니다 이제 B2에 a1 a2와 남아있는 b들을 모두 넣어줍니다 그러면 b3, b4 부터 bm 모두 원소가 되겠죠 아직 m개의 원소가 있다는 것을 기억하세요 그리고 이것이 V를 생성한다는 것도 기억하세요 왜냐하면 집합에서 제외한 원소가 집합의 다른 원소들의 선형결합식으로 표현이 가능하기 때문입니다 그래서 만약 어떤 필요한 벡터를 만들 때 다른 벡터들의 결합식으로 만들 수 있습니다 그래서 이 벡터가 필요 없게되었죠 그리고 이 벡터가 없이도 V를 생성합니다 저는 지금 계속 같은 것을 반복하고있습니다 a3을 더하고 B3' 집합을 새로 만듭니다 a3을 이 집합 안에 넣고 b3, b4부터 bm까지의 원소도 넣어줍니다 이때는 선형종속성을 갖고있죠 왜냐하면 B2가 V를 생성하니까요 그래서 a3를 제외한 나머지는 V를 생성한다고 할 수 있습니다 당연하게도 a3는 나머지 원소들의 선형 결합식으로 표현이 가능하겠죠 그래서 a3을 a1더하기 a2더하기 c3 b3부터 cm bm까지의 합으로 둘 수 있습니다 b중의 적어도 하나는 계수가 0이 아닌 수가 되어야 하는 것을 이미 알고있지요 왜냐하면 모든 계수가 0이 되면 a3은 a들의 선형결합식이 되기 때문이죠 그리고 a3는 a들의 선형결합식으로는 표현이 불가하다는 것을 알고있죠 왜냐하면 그렇게 될 때에 선형종속 집합이 되어버리기 때문이죠 그래서 같은 풀이과정을 거쳐야 합니다 cj가 0이 아니라고 둡시다 그리고 bj에 대하여 풀어보세요 다음으로 이름을 약간 바꿔야겠죠 bj를 b3으로 두고 b3을 bj라고 한 후 b3를 없애주세요 그러면 집합 B3은 a, a2, a3 그리고 b4부터 bm까지 포함할 것입니다 그리고 여전히 V를 생성하죠 계속 계산해보세요 그러면 어떻게될까요? 이러한 과정을 계속 거치다보면 어떠한 결과가 나올까요? 점차적으로 bm들이 모두 바뀌게 됩니다 n개의 워소들을 바꾸게 되고 집합은 이러한 모양을 띌 것입니다 여기 집합 Bm이 있습니다 이 집합은 모두 a로 구성되어있겠죠 그래서 a1, a2, a3 부터 am까지 이 집합의 원소가 됩니다 항상 이것을 적용할 수 있습니다 만약 초기 집합 B가 생성 집합이라면요 이 과정을 모두 지났다면 이 집합 또한 V를 생성한다는 결론을 낼 것입니다 제가 이렇게 한번 적어볼게요 이 결과는 m개의 원소를 가진 집합 B가 생성 가능하기 때문에 나온 결과입니다 이때 m은 n보다 작은 값이죠 항상 이러한 결과를 얻기에 충분한 원소들을 가지고 있습니다 왜냐하면 b원소보다 더 많은 a 원소들로 시작하기 때문이죠 그리고 결과는 이 집합이 V를 생성한다는 것입니다 그러나 집합 A가 a1, a2 부터 am +1 까지 원소로 가지는데 m과 n 사이에 얼마나 많은 원소가 존재하는지는 알 수 없습니다 하지만 an 까지도 원소로 가지고 있죠 기억하세요 n은 m보다 큽니다 집합 B를 정의할 때, m이 n보다 작다고 설정했었습니다 같은 것이죠 이 집합이 V를 생성하지만 이 집합은 기반이 됩니다 이것이 우리의 첫 조건들이였죠 V의 기반이 된다는것 말입니다 기반은 두가지를 의미합니다 V를 생성하는 것과 선형 독립을 의미하죠 V를 생성하는 집합 A보다 작은 집합 B가 있다고 가정하여 이러한 결과를 얻었습니다 a1 부터 am이 V를 생성할 수 있었기 때문이죠 결과적으로는 여기 이 원소들이 V를 생성한다는 것입니다 하지만 만약 A의 부분집합이 V를 생성하면 A는 선형독립성을 지니게 되겠죠 왜냐하면 A의 부분집합이 V를 생성한다는 것은 이 부분집합이 다른 원소들의 선형 결합식으로 표현이 가능하다는 것이니까요 그러면 이것은 선형종속을 의미합니다 그러면 집합 A가 V의 기반이라는 전제와 모순이 되겠죠 왜냐하면 이것은 선형 독립을 의미하니까요 만약에 이게 가능하다면, 이미 작은 생성 집합들이 이미 존재한 것이고 A가 선형종속한 결과를 갖게됩니다 선형독립이여야 함에도 불구하고요 이러한 모순이 있다는 걸 알고있는데요 이제 생성 B 집합은 집합 A보다 적은 원소를 가질 수 없습니다 깔끔한 결과죠 왜냐하면 V의 부분집합을 생성하는 집합 X를 찾았다는 것이니까요 그러면 집합 X는 다섯개의 원소를 가지고 있다는 것을 알 수 있습니다 V를 생성하는 집합은 5개보다 적은 원소를 가지고 있을 수 없습니다 만약 집합 X가 집합 V의 기반이라면 그리고 이것이 5개의 원소를 가진다면 Y는 V의 다른 기반이 됩니다 집합 Y또한 다섯개의 원소를 가지고 있습니다 어떻게 알았을까요? 만약 집합 Y가 기반이라면, 이것은 V를 생성한다는 것입니다 그러면 우리는 Y가 5개 이상의 원소를 가져야 한다는 것을 알고 있습니다 방금 증명했으니까요 집합 Y가 5개 또는 5개 이상의 원소를 가진다는 것을 알 수 있지만 만약 집합 Y가 V의 기반이고 X는 V를 생성하는 기반이 될 수도 있지요 그렇게 되면 X가 Y보다 적은 원소를 가져야합니다 집합 Y의 원소들은 집합 X의 원소들보다 많아야합니다 왜냐하면 생성 벡터가 더 많은 원소를 가지고 있어야 하기 때문이죠 적어도 기반벡터로서 많은 원소를 가지고 있어야 합니다 여기서 집합 X가 생성집합이므로 X가 Y보다 더 많은 원소를 가져야하죠 기반이니까요 그러나 만약 Y가 X보다 많은 원소를 가지면 혹은 원소의 개수가 같다면 집합 X의 원소 개수가 Y의 원소 개수와 같을 때를 뜻하죠 그리고 벡터공간의 어떤 기반 벡터는 다시 집합 A로 돌아가서 A가 a1, a2 부터 an까지를 원소로 가지고있죠 어떤 벡터의 어떤 기반벡터, V의 부분집합의 기반벡터는 모두 같은 원소 개수를 가집니다 그리고 여기서 새로운 용어가 나옵니다 V의 차원이라고 부르지요 V의 차원이라고 불리는 이것이 원소의 개수를 뜻하는데 V의 기반을 뜻하기도 합니다 지금까지 V의 기반들 모두 같은 개수의 원소를 가진다는 것을 설명했습니다 원소의 개수가 5개와 6개로 다른 기반이 존재할 수 없다는 것이죠 정의에 의하면 모두 원소를 5개 같거나 모두 6개를 가져야 합니다 그리고 마지막으로 차원이라는 용어도 새롭게 배워보았습니다 수고하셨습니다