영공간과 열공간의 기저

이 영상에서는 아마 다른 영상들에서도 자주 다뤄질 우리가 알고있는 행열, 영공간, 열공간 일차 독립에 대해 다룰 것입니다 여기 행열 A가 있습니다 우선 알아볼 것은 이 행열의 열공간과 영공간입니다. 사실 열공간을 구하는 것은 매우 쉽습니다. 바로 행열 A의 열벡터의 너비와 같기 때문이죠 그렇기에 바로 행열 A의 열공간을 구할 수 있습니다. 그러면 한번 구해보겠습니다 행열 A의 열공간이 벡터 1, 2, 3의 너비 1, 1, 4의 너비 1, 4, 1 1, 3, 2의 너비가 됩니다 이게 전부죠 굉장히 간단하고 영공간보다 훨씬 구하기 쉽습니다 이러한 방법의 계산방식에 아마도 많은 궁금증이 생길텐데요 공간이라는 개념이 존재할까요? 예를들어 일차 독립성을 가진 벡터가 존재하나요? 이 공간을 어떻게 시각화 할 수 있을까요? 저는 이러한 질문에 대해 아직 아무런 대답을 하지 않았습니다 하지만 누군가가 행열 A의 열공간에 대해 물어본다면 이것이 행열 A의 열공간이다고 대답하겠죠 그리고서 우리는 앞선 질문들에 대답을 할 수 있을 것입니다 만약 이 벡터들이 선형 독립성을 가진다면 이 벡터들이 열공간 A의 기반이 됩니다 그러나 우리는 아직 모릅니다 이 선형독립성의 존재여부를 모르죠 하지만 우리는 선형독립성의 존재여부를 행열 A의 영공간을 구하여 판별할 수 있습니다 기억하세요 만약 행열 A의 영공간이 0벡터를 가진다면 행열 A는 선형독립성을 가집니다 그렇다면 행열 A의 영공간을 구해봅시다 참고로 간단한 풀이과정은 조금 생략할게요 행열 A의 영공간은 각 열의 영공간과 같습니다 이때 각 열은 기약 행 사다리꼴의 형태입니다 제가 제일 처음에 벡터의 영공간을 구했을텐데요 왜냐하면 만약 행렬 A의 영공간을 구하려고 할때 확대행렬을 먼저 만들어 구할 수 있기 때문이죠 이 확대행렬을 기약 행 사다리꼴 형태로 만듭니다 단 0은 절때 바뀌지 않아요 행렬 A를 기약 행 사다리꼴로 만들면 됩니다 자 해보죠 첫번째 행은 1, 1, 1, 1 그대로 둡니다 그리고 두번째 행에서 첫번째 행을 뺀 것이 두번째 행이 됩니다 자 어떤답이 나올까요? 사실 저는 이 열을 0으로 만들고싶었습니다 두번째 행에서 첫뻔째 행의 두 배를 빼보세요 사실 이렇게 했을 때 1이 나오기 때문에 더욱 계산이 편합니다 자 그럼 두번째 행에서 첫번째행의 두배를 빼겠습니다 첫번째 행을 두배를 해줍니다 그리고 두번째 행을 빼주죠 2 곱하기 1 빼기 2 는 0 바로 제가 원했던 답입니다 2 곱하기 1 빼기 1은 1 여기서 1이 나오면 계산이 편해지죠 2 곱하기 1 빼기 4는 -2 2 곱하기 1 빼기 3은 -1 다음으로는 이 행을 0으로 만들 수 있는지 확인해야겠죠 어떻게 할 수 있을까요? 아무 조합이나 해볼 수 있습니다 0으로 만들 수 있는 조합이면 어떤 것이든 상관 없습니다 하지만 일단은 음수를 먼저 없애야합니다 이번에는 세번째 행을 봅시다 세번째행에서 첫째행의 세배를 빼볼게요 첫번째 행의 -3배를 첫번째 행에 더합니다 3 빼기 1의 세 배는 0 아마 3이 많이 보이겠네요 4 빼기 1의 세 배는 1 1 빼기 1의 세 배는 2 2 빼기 1의 세 배는 1 만약 기약 행 사다리꼴의 형태로 구하고자 하면 우리는 이 1 또는 저 1을 바꿔줘야합니다 어떻게 할 수 있을까요? 일단 가운데 행은 그대로 놔둡시다 가운데 행은 변하지 않을거에요 1, 1, -2, -1 그대로 두겠습니다 첫번째 행은 모두 지우고 첫번째 행을 첫번째행에서 두번째 행을 뺀 것으로 대체합니다 이렇게 해도 첫번째 1은 그대로이기 때문이죠 1에서 0을 빼도 1이니까요 1 빼기 1은 0이 됩니다 그리고 이게 바로 원하던 값이지요 1 빼기 -2는 3 1 더하기 2 1 빼기 -1 그러면 1 더하기 1과 같죠 2가 나옵니다 맞죠? 이번엔 세번째 행을 봅시다 세번째 행을 세번째행에서 첫째행을 뺀 것으로 대체합니다 그러면 앞서 첫째행에 한 방법과 같죠 만약에 세번째 행에서 두번째 행을 빼면 모두 0이 될것입니다 0 빼기 0은 0 1 빼기 1은 0 -2 빼기 -2는 0 -1 빼기 -1은 -1 더하기 1과 같으니 마찬가지로 0입니다 이제 이 행렬은 기약 행 사다리꼴의 형태이죠 자 그럼 이것이 바로 기약 행 사다리꼴 형태의 행렬 A입니다 매우 직관적이죠 우리가 지금까지 이런 복잡한 계산을 한 이유는 A의 영공간을 찾기 위해서였습니다 그리고 우리는 이미 A의 영공간이 기약 행 사다리꼴 형태인 A의 영공간과 같다는 것도 알고있습니다 그러므로 우리가 구한 기약 행 사다리꼴 행렬 A로 행렬 A의 영공간을 찾아봅시다 영공간은 4개의 벡터가 될 것입니다 왜냐하면 네개의 열이 존재하기 때문이죠 1, 2, 3, 4 영공간은 이 식을 만족하는 벡터들의 집합이 됩니다 이 세 식은 모두 0입니다 행이 세 개 존재하기 때문에 0벡터도 세 개가 존재하는 것입니다 이 두 수를 곱하면 0이 됩니다 이것의 내적을 구하면 0이 되겠죠 이 두개의 내적도 0이 됩니다 제가 행 벡터와 열 벡터의 내적을 아직 정의하지 않았습니다 열 벡터끼리의 내적만 정의했었죠 하지만 이전 영상들에서 아마도 행 벡터 변환을 다룬 영상에서 정의 한 적이 있을 것입니다 그러면 이 식들을 우선 이렇게 적어봅시다 1 곱하기 x1이 0이 되게 만들어야겠죠 1 곱하기 x1은 x1이 됩니다 더하기 0 곱하기 x2 제가 적어볼게요 더하기 3 곱하기 x3 더하기 2 곱하기 x4는 0입니다 다음으로 0 곱하기 x1 더하기 1 곱하기 x2 빼기 2 곱하기 x3 빼기 x4는 0이 되야합니다 이제 더이상 식이 없죠 0 곱하기 이 모든 것이 0입니다 그래서 이게 0이 되면 0입니다 그러면 피보트성분들을 찾을 수 있는지 봅시다 가변 피보트라고도 부르죠 여기서 피보트 성분은 무엇일까요? 바로 이것입니다 이것이 피보트 성분입니다 이게 바로 기약 행 사다리꼴에 관한 것이죠 1이면서 열의 유일한 0이 아닌 성분이 바로 피보트 성분입니다 모든 피보트 성분은 행이 내려갈수록 오른쪽에 존재합니다 그러면 피보트 성분이 존재하지 않는 열은 어떻게 할까요? 이 열들은 자유변항들을 나타냅니다 그러므로 피보트 성분이 존재하지 않죠 그래서 내적을 구하면, 연립방정식의 나옵니다 그리고 여기서 x3 은 자유변수이기 때문에 그대로 둡니다 x3은 어떠한 숫자도 될 수 있습니다 마찬가지로 x4 또한 자유변수입니다 x1과 x2의 행은 기약 행 사다리꼴로 피보트 성분을 가지기때문에 x1과 x2는 피보트 변수입니다. 자 그러면 이 식을 약분해봅시다 이런 계산을 해본적이 있을텐데요 x1을 풀려는데 앞에 0이 존재하니 0을 무시해도 됩니다 그리고 x1은 3곱하기 3 빼기 2곱하기 4가 됩니다 다음으로 이 두 식을 서로 빼주면 x2는 2곱하기 3 더하기 x4의 값이 됩니다 이제 이 연립방정식의 답을 적으려면, 먼저 행열 A의 영공간을 먼저 찾아야합니다 이 영공간은 행열 A의 기약 행 사다리꼴의 영공간과도 같겠죠 그리도 갑은 여기 벡터들과 같게 나옵니다 그리고 답은 x1, x2, x3, x4 벡터가 됩니다 그럼 각각의 x는 어떤 수를 가질까요? x1의 값은 -3 곱하기 3 빼기 2 곱하기 4가 됩니다 명확하게 하자면, 몇몇의 자유변수들은 어떤 숫자든 될 수 있습니다 그리고 이 변수들은 피보트변수입니다 왜냐하면 어떤 숫자가 되어도 상관 없기 때문이지요 x3의 값과 x4의 값은 x1과 x2의 값을 정해줍니다 그래서 이 변수들을 피보트 변수라고 부르지요 이 변수들은 자유변수이기도 합니다 만약 x4의 값을 파이로 설정한다면 x3은 -2가 됩니다 x4에 아무 값이든 대입되어도 상관이 없습니다 그러면 x1 의 값을 x3 x4로 표현해 보겠습니다 그리고 다른 색으로 적어볼게요 그러면 x1은 x3과 어떤 벡터의 곱 더하기 x4와 어떤 다른 벡터의 곱으로 표현이 가능합니다 그러면 이 영공간의 답은 이 두 벡터의 일차결합식이 됩니다 우리는 이 두 벡터가 x3 와 x4에 의해 생성되는 것을 알 수 있습니다 자 그러면 x1은 -3 곱하기 x3 빼기 2 곱하기 x4가 됩니다 간단하죠 x2 는 2 곱하기 x3 더하기 x4가 됩니다 그러면 x3은 무엇이 될까요? x3은 자기 스스로와 같습니다 x3의 값이 무엇이 되든 상관이 없기 때문이죠 그래서 x3 은 1 곱하기 x3 더하기 0 곱하기 x4로 표현됩니다 x4는 가지고 있지 않죠 x3 은 독립변수라고 생각하시면 됩니다 어떤 값이든 가질 수 있습니다 그래서 벡터솔루션에서 x3은 그냥 x3으로 두면 됩니다 x4는 x3을 가지고 있지 않고 x3과 마찬가지로 자기자신, x4와 같습니다 영벡터는 결국 이 두 벡터의 일차결합이 되는 것이지요 x3은 어떤 실수든 될 수 있습니다 실수이기만 하면 됩니다 x4는 실공간의 한 요소이기만 하면 됩니다 Ax에 관한 모든 유효한 솔루션 벡터의 값은 0이 됩니다 제가 이전에 알려준 적이 있나요? 아마 없나봅니다 Ax의 집합은 모두 0입니다 여기 x는 이 이 두 벡터의 선형결합값이지요 그리고 우리는 선형결합이 무엇을 의미하는지 알고있습니다 바로 영공간이 이 두벡터의 span 값과 같다는 것입니다 여기에서는 -3, 2, 1, 0 벡터와 -2, 1, 0, 1의 벡터의 span값이죠 그러면 질문을 하나 드려볼게요 행열 A의 열들이 선형독립집합일까요? 만약 이 벡터들을 적어보면 A의 열벡터들을 적어보면 1, 3, 2 잘못적었네요 1, 2, 3입니다 1, 1, 4 1, 4, 1 1, 3, 2 이 벡터들이 A의 열벡터들입니다 그러면 이 벡터들은 선형독립 벡터들인가요? 아마 가장 먼저 어떤 것이 선형독립이라고 할 때 선형독립은 하나의 답을 암시한다는 것을 생각하실 겁니다 다른 영상들에서 배운적이 있을겁니다 선형독립은 답이 하나라는 것을 암시한다는 것을요 우리는 이미 Ax가 0과 같다는 것을 알고 있습니다 그러면 x 가 0벡터와 같다는 것을 알 수 있지요 다르게 얘기하면 단순하게 행열 A의 영공간은 0벡터와 같다고 할 수 있습니다 이게 바로 선형독립성이 알려주는 사실이지요 그리고 이 명제는 양방향으로 성립합니다 만약 영위공간이 0벡터라면 선형독립성이 존재한다고 반대로 성립도 가능하지요 만약 영공간이 다른 벡터를 포함한다면 선형독립성을 가지지 않는 것입니다 그러면 다시 우리가 구한 A의 영공간을 봅시다 무엇을 포함하나요? 0벡터만 포함하나요? 아닙니다, A의 영공간은 이 두 벡터의 모든 일차결합벡터를 포함합니다 무한한 개수의 벡터들 모두 답이 될 수 있습니다 하나의 답이 아닌 무한개의 답이 존재한다는 것이죠 명백히 0벡터도 포함됩니다 x3과 x4의 자리에 0을 넣게 되면 0벡터가 되기 때문이죠 하지만 위 식대로 두어야 모든 가능한 벡터 집합을 찾을 수 있습니다 행열 A의 영공간에는 0벡터만 존재하지는 않습니다 0보다 많은 벡터들이 포함되어있죠 이게 무엇을 뜻할까요? 이것이 의미하는 바는 하나 이상의 솔루션이 존재한다는 것입니다 그리고 하나 이상의 솔루션이 존재하기에 일차독립성을 지닌다고도 할 수 있습니다 이것이 의미하는 바는 무엇일까요? 이 영상의 첫 부분에서도 질문했듯이 행열 A의 열공간은 무엇일까요 이미 알려드렸듯이 행열 A의 열공간은 열벡터들의 생성과 같습니다 제가 이렇게 적어보았습니다 그리고 이것이 행열 A의 열공간의 유효한 기저인지는 명확하지 않습니다 그러면 기저란 무엇일까요? 기저는 부분공간을 생성하는 벡터집합을 일컫습니다 그리고 기저 또한 선형독립성을 지닙니다 그리고 우리는 이미 여기 이 열벡터들에 선형독립성이 존재하지 않다는 것을 알고있습니다 이것이 알려주는 바는 이 열벡터들이 A의 열공간의 기저가 아니라는 것입니다 이 열벡터들이 행열 A의 열공간을 생성하기는 하지만 이것들이 기저가 될수는 없습니다 기저로 구분되기 위해서는 우선 선형독립성을 필수적으로 지녀야 하기 때문이죠 그러면 열공간의 기저를 찾아봅시다 기저를 찾기 위해서는 우선 중복벡터를 없애야합니다 만약 벡터 하나가, 다른 두 벡터의 조합으로 나타내질 수 있다면, 이 벡터를 없앨 수 있습니다 왜냐하면 이 벡터가 어떠한 새로운 정보도 갖고있지 않기 때문이죠 그러면 한번 풀어봅시다 우리는 이미 x1이 x1 과 열벡터 1, 2, 3을 곱하고 x2와 열벡터 1, 1, 4를 곱해서 더하고 x3 과 열벡터 1, 4, 1을 곱해서 더하고 x4와 열벡터 1, 3, 2를 곱해서 더해주면 0이 된다는 사실을 알고있습니다 이제 x4를 자유변수들로 표현해봅시다 방법은 굉장히 간단합니다 x4를 푼다고 할 때, 이 식의 양 변에서 x4와 곱해져있는 벡터를 뺀다고 할 때 어떻게 될까요? 일단 이렇게 해봅시다 x3이 0이라고 둡시다 x3이 자유변수라는 가정 하에 풀 수 있습니다 만약 x3이 0이면 이 식은 어떻게 될까요? x3 이 0이되면, 이 항은 모두 사라지겠죠 그리고 x4와 곱해져있는 벡터를 양 변에서 빼면 x1 곱하기 1, 2, 3 벡터 더하기 x2 곱하기 1, 1, 4 벡터 x3은 0으로 둡니다 자유변수이기 때문이니까요 x3을 0으로 놓게 되면 나머지는 자동으로 사라지겠죠 그리고 오른쪽 변에 x4 곱하기 1, 3, 2 벡터를 해줍니다 그리고 x3을 0으로 두죠 x4는 -1로 둡시다 x4를 -1로 둔다면 - x4는 무엇일까요? 그냥 1이 됩니다 그러면 x1 곱하기 1, 2, 3 벡터 더하기 x2 곱하기 1, 1, 4 벡터가 오른쪽 이 벡터와 같게되겠죠 항상 이런 방식으로 답을 찾을 수 있을까요? 자유변수 하나를 0으로 두면 항의 개수가 줄어들어 식을 쉽게 만들 수 있습니다 만약 x3이 0이고 x4가 -1이면 잠시만 내용을 옮겨 적어볼게요 우리가 이미 구한 영공간이 여기 있습니다 이 변수들이 자유변수라는 것을 기억하세요 x3은 0으로 두고 x4를 -1로 두었습니다 그러면 x1은 무엇일까요? 이것은 x1이 -3 곱하기 x3인 것을 암시하고 있습니다 그러면 x1은 0 빼기 2 곱하기 x4이 되죠 만약 x4가 -1이면, -2 곱하기 -1이 됩니다 이 때 x2은 2가 되겠죠 그러면 x2는 얼마일까요? x2는 2 곱하기 x3, 즉 0, 더하기 x4가 됩니다 그러면 x2는 1이 되겠죠 방금 제가 만약 x1을 2로 두고 x2를 -1로 두었을 때, 이 벡터들의 선형결합이 된다는 것을 보여드렸습니다 그리고 이것을 확인해 볼수도 있습니다 2 곱하기 1 빼기 1은 1 2 곱하기 2 빼기 1은 3 2 곱하기 3은 6이고 여기에 4를 빼면 2 한번 봐보세요 방금까지 자유변수와 피보트 변수의 개념을 통해 솔루션을 찾는 방법을 알아보았습니다 그리고 여기 세번째 네번째 벡터를 첫번째와 두번째 벡터로 표현하는 것도 해보았습니다 다시 돌아가서 보면 이 네번째 벡터는 사실 필요가 없습니다 어떤 벡터 생성에도 영향을 주지 않기 때문이죠 이 네번째 벡터는 어떠한 첫번째 벡터와 두번째 벡터의 조합으로도 표현이 가능합니다 그러면 이 세번째 벡터를 보고 네번째 벡터와 비슷한지 확인해봅시다 이 세번째 벡터 역시 자유변수입니다 첫번째 두번째 벡터로 나타낼 수 있는지 확인해보겠습니다 네번째 벡터와 같게 풀어주면 되겠죠 x3을 0, x4를 -1로 놓는 것 대신 x4를 0으로 만드세요 그리고 x3을 -1로 둡니다 x3이 -1이 되면 이 식은 어떻게 될까요? 식은 x1 곱하기 1, 2, 3 벡터 더하기 x2 곱하기 1, 1, 4 벡터 -1 곱하기 1, 4, 1 벡터가 됩니다 그리고 양 변에 1 곱하기 1, 4, 1 벡터를 더해줍니다 그리고 x1과 x2에 대해 풀어줍시다 만약 x4가 0 이고 x4이 -1이면 x1 x4는 당연히 0이 됩니다 그러면 x1은 -3 곱하기 x3이 됨으로 3이 되겠죠 -3 곱하기 -1은 3이기 때문이니까요 그러면 x2값은 무엇일까요? x4는 0이기 때문에 무시하시고 x2는 -2가 됩니다 정리하면 x1 은 3이고 x2는 -2 입니다 이 식이 맞는지 확인해봅시다 3 곱하기 1 빼기 2 는 1 3 곱하기 2 빼기 2는 4 3 곱하기 3 빼기 8은 1 확인해봅시다 벡터식으로 이렇게 표현할 수 있겠죠 자유변수를 포함한 두 벡터의 선형결합식이 됩니다 우선 이 벡터를 지울 수 있죠 왜냐하면 방금 이 벡터를 선형결합식으로 표현했기 때문입니다 이 벡터는 두 벡터의 선형결합식으로 나타낼 수 있습니다 이 벡터들을 생성하면 이렇게 써볼게요 A의 열공간이 됩니다 이 벡터들을 생성하기 전에 열벡터 v1, v2, v3 ,v4를 생성하면 앞서 계산했듯이 v3과 v4를 v1과 v2에 대해 표현할 수 있겠죠 그러면 v3과 v4변수를 없앨 수 있습니다 그러면 v1과 v2 의 생성으로 표현이 가능하겠죠 벡터 1, 2, 3 과 벡터 1, 1, 4로 말이지요 이 벡터들을 간소화 할 수 있나요? 벡터 하나를 다른 벡터의 선형 결합식으로 표현할 수 있을까요? 벡터의 선형 결합식은 그저 스칼라의 곱을 얘기합니다 생각해봅시다 여러가지 방법으로 유도가 가능하지만, 가장 쉬운 방법은 하나씩 곱해주는 것이죠 먼저 1을 곱해줍니다 하지만 모든 벡터 성분에 1을 곱해주면 여기서는 2 여기서는 3이 되겠죠 그러면 성립하지 않습니다 만약 이 벡터를 이 벡터의 스칼라 곱으로 나타낸다면 1, 2, 3 벡터의 스칼라 곱은 1c, 2c, 3c  벡터가 되겠죠 맞나요? 그리고 이 벡터는 이런식으로 상수 c와 함께 표현되어야 합니다 만약 이 벡터가 스칼라이고 이렇게 표현된다면 말이지요 자 이제 이 벡터가 1, 1, 4 벡터가 되어야합니다 그러면 벡터의 가장 위 성분을 살펴보면 c가 1이여야 한다는 것을 알 수 있습니다 하지만 두번째 성분을 보면 c는 1/2 가 되어야합니다 c값이 다르게 나오지요 마지막 성분을 보면 c가 4/3이 되어야합니다 여기서 c는 어떠한 값도 될 수 없겠죠 그러므로 c의 곱이 성립하지 않습니다 결론적으로 여기서 이 벡터를 다른 벡터의 선형 결합식으로 나타낼 수 없습니다 그리고 이것을 다양한 방법으로 증명할 수 있겠죠 그중 하나는 선형독립을 이용한 것입니다 만약 이 벡터가 선형독립이라면 1, 2, 3벡터와 1, 1, 4벡터 집합은 A의 행 생성을 위한 기반이 될 수 있겠죠 이제 강의가 끝날때가 되었네요 다음 강의들에서는 이제 우리가 A의 행 생성의 기반을 이제 배웠으니 이것을 어떻게 그려볼 수 있는지 배울 예정입니다 A의 행 생성이 이 두 벡터의 생성과 같은것을 우리가 배웠으니까요 이제는 이 두 벡터의 생성이 어떻게 되는지 생각해 볼 수 있습니다 이제 R3 평면을 다룰 것입니다 1, 1, 4의 생성과 같이요 여러번 얘기 했듯이 제가 기반을 얘기할 때는 이 벡터들을 말하는 것입니다 A의 행 공간을 생성하는 벡터들 말이지요 벡터 4개로도 A의 행공간을 생성할 수 있었습니다 하지만 이 벡터들이 선형독립성을 지니기 때문에 기반으로 만들수 있었습니다 지울 수 있는 벡터들은 기반에 의해 다른 벡터들로 표현될 수 있었죠 선형독립성을 지니고 있으니까요 이상으로 강의를 마치겠습니다