영공간 3 : 선형 독립과의 관계

여기 매트릭스 A가 있어요 A는 m개의 행과 n개의 열로 이루어져 있습니다 이것을 m×n 매트릭스라고 부르겠습니다 이번 강의에서는 A의 열벡터의 선형독립과 선형종속을 A의 영공간과 연관지어 보겠습니다 그럼 먼저 열벡터는 무엇을 의미할까요? 보이는 것과 같이 n개의 열이 있고 이를 각각 m차원의 벡터라고 볼 수 있습니다 이렇게 해봅시다 이 부분을 v1이라고 하겠습니다 그 다음 열은 v2 v2가 되겠네요 n개의 열이 있으므로 이와 같은 벡터가 n개 존재합니다 마지막 열은 vn이 되겠네요 그렇다면 m×n인 매트릭스 A를 이렇게 다시 쓸 수 있겠죠 매트릭스라는 것을 표현하기 위해 볼드체로 쓰는 것입니다 같은 형태로 써야하므로 괄호도 잊지말고요 열벡터로 바꿔 쓸 수 있겠죠 이 열을 v1 v1 이 열을 v2 n개의 열이 있으므로 n번째 열은 vn으로 정의했기 때문이죠 각각의 벡터는 m개의 항을 가질 것입니다 m개의 항목이라고 해야 더 맞겠네요 이 벡터는 m차원의 열벡터입니다 이 벡터의 선형독립을 A의 영공간과 연관시켜본다고 했었죠 A의 영공간이 무엇인지부터 다시 짚어봅시다 A의 영공간 A의 영공간 N(A)는 다음과 같이 정의할 수 있습니다 n차원 공간의 원소인 모든 벡터 x의 집합입니다 왜 n차원인지는 잠시 후에 설명하도록 하죠 매트릭스 A와 매트릭스 A와 곱할 때 곱할 때 0이 나오는 벡터 x의 집합인 것이죠 그렇다면 왜 x는 n차원 공간의 원소여야 할까요? 매트릭스의 곱셈이 가능하려면 매트릭스가 m×n일 경우 쓰도록 할게요 매트릭스의 곱셈이 가능하려면 그러니까 매트릭스와 벡터의 곱이 가능하려면 이 벡터는 n×1 n×1이어야 하기 때문이죠 그러니까 n개의 항목을 가질테고 n차원 공간의 원소여야 하는 것입니다 이 매트릭스가 m×A였다면 다른 레터를 사용하도록 하죠 m×7이었다면 R^7이 되겠죠 이것이 영공간의 정의입니다 다른 방식으로 생각하면 매트릭스 A를 이 공간의 원소인 어떠한 벡터 x와 곱하면 0의 벡터가 나올 것입니다 그러므로 여기에 열벡터로 표현한 매트릭스 A를 어떠한 벡터 x와 곱하고 어떠한 벡터 x와 곱하고 길이가 똑같을 필요는 없다는 것을 확실히 하고 넘어갈게요 어떠한 벡터 x는 다른 괄호도 마저 그려주고요 어떠한 벡터 x는 Rn의 원소이므로 n개의 항목을 가질 것입니다 첫 번째 성분은 x1일 것이고 다음은 x2 이렇게 xn까지 쓸 수 있습니다 곱하게 된다면, 그러니까 x가 A의 영공간의 원소라면 x가 A의 영공간의 원소라면 이 식은 0의 벡터와 같을 것입니다 이 식은 0의 벡터와 같을 것입니다 그리고 이 0의 벡터는 m×1의 벡터가 되겠죠 다음과 같이 쓸 수 있겠네요 A와 같은 개수의 행을 가질 것이므로 괄호를 나름 비슷한 길이로 그려보도록 하겠습니다 괄호를 잘 그려주고 0이 m개 있을 것이므로 m번째 0까지 써줄게요 매트릭스 곱셈을 사용해서 곱셈을 실제로 해봅시다 매트릭스 곱셈의 정의에 의해서 이렇게 매트릭스 A와 벡터 x를 곱하게 된다면 첫 번째 열벡터 v1 v1 곱하기 첫 번째 성분인 x1 x1 더하기 두 번째 성분 곱하기 두 번째 열벡터이므로 x2v2 이렇게 n번 하면 x1v1+x2v2+... x1v1+x2v2+...+xvn x1v1+x2v2+...+xnvn 이걸 모두 더하면 0의 벡터와 같을 것입니다 그러므로 x1v1+x2v2+...+xnvn=0 이 되겠죠 이제 여러분은 뭔가 기억이 날 거에요 선형독립에 대하여 배웠을 때 이와 비슷한 걸 봤던 기억이 나나요? 이 벡터들, v1, v2, vn의 벡터들이 이 식의 해 그러니까 이 벡터에 곱해진 가중들이 0인 경우에 한해서만 선형독립한다고 배웠습니다 x1, x2, ... , xn이 모두 0일 경우에만요 써봅시다 v1 v1, v2 v1, v2, ... , vn은 선형독립합니다 이 식의 유일한 해가, 그러니까 벡터에 곱해진 가중이 즉 x1, x2, ... , xn이 모두 0일 경우에 한해서만 선형독립합니다 그러므로 이들이 모두 더해져 0의 벡터가 되는 유일한 방법은 x1, x2, ..., xn이 모두 0인 때입니다 그 말은 곧 벡터 v1, v2, ... , vn은 모두 선형독립한다는 것입니다 반대로, 벡터가 모두 선형독립하면 이 식의 유일한 해는 벡터의 곱해진 가중치를 구해본다면 x1, x2, ... , xn이 0인 때라는 뜻입니다 기억하세요, 선형독립은, 여전히 수학적이지만 조금은 쉬운 언어로 풀어 얘기하면 이 벡터들이 선형독립한다면 이 벡터들은 다른 벡터들의 선형결합에 의해서 만들어질 수 없습니다 다르게 보면 이 식은 벡터들의 선형결합으로 표현되었는데요, 이 선형결합이 0과 같으려면 x1, x2, ... , xn이 모두 0일 수밖에 없다는 겁니다 선형독립에 대해서는 다른 강의에서 증명했습니다 아무튼, 유일한 해가 x1부터 xn까지가 모두 0일 때 라는 것은 영공간, A의 영공간이, N(A)가 매트릭스라는 표시로 볼드체로 쓰도록 하죠, N(A)가 하나의 벡터만을 포함한다는 것입니다 바로 제로벡터이죠 x1, x2, ... , xn 이 친구들이 모두 0이라면 이 식의 유일한 해는 0의 벡터입니다 0의 벡터입니다 결과적으로 매트릭스의 열벡터가 선형독립한다면 그 매트릭스의 영공간은 제로벡터만 포함할 것입니다 혹은 반대로 어떤 매트릭스의 영공간이 제로벡터를 포함한다면 그 매트릭스의 열이 선형독립한다는 것입니다