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영공간 2 : 행렬의 영공간 계산하기

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지난 수업에서는 영공간의 이론적인 의미를 살펴보았고 영공간이 하나의 부분공간이라는 걸 배웠어요 이번 수업에서는 행렬의 영공간을 구해봅시다 이번 수업에서는 행렬의 영공간을 구해봅시다 여기 있는 행렬 A의 영공간을 구해볼 거예요 영공간은 어떤 벡터의 집합인데 행렬 A와 안에 있는 어떤 벡터와 곱해도 0이 나와야 해요 여기 벡터 x1, x2, x3, x4가 영공간에 속한 벡터라고 해봅시다 여기 벡터 x1, x2, x3, x4가 영공간에 속한 벡터라고 해봅시다 왼쪽의 행렬과 오른쪽의 벡터를 곱해서 영벡터가 나오면 이건 영공간이에요 영벡터가 나오면 이건 영공간이에요 여기서 잠시 짚고 넘어가자면 이 행렬은 4열까지 있어요 이건 3행 4열 행렬이에요 여기에 성분이 4 개인 벡터 즉 Rn에 속한 벡터가 4개 있으모로 이 행렬 곱셈은 올바르게 정의됐다고 할 수 있어요 이걸 x라고 합시다 벡터 x는 R4에 속해있습니다 x ∈ R4 벡터 x는 R4에 속해있습니다 x ∈ R4 성분이 4개죠 이 벡터를 곱하면 영벡터가 나와야 합니다 이 벡터를 곱하면 영벡터가 나와야 합니다 영공간은 행렬과 곱했을 때 영벡터가 나오는 모든 벡터의 집합입니다 영공간은 행렬과 곱했을 때 영벡터가 나오는 모든 벡터의 집합입니다 뭐가 나올까요? 1행과 영공간을 곱한 것은 첫 번째 성분이고 2행과 곱한 것은 두 번째 성분 마지막으로 3행 따라서 세 개의 0이 나옵니다 R3에서의 영벡터가 나옵니다 그렇다면 이 조건을 만족하는 x를 어떻게 구할까요? 또 다른 표기법으로 나타내 볼게요 A의 영공간은 Rn에 속한 벡터 x의 집합이다 보통 Rn이라고 하지만 3행 4열 행렬의 경우는 R4에요 따라서 x ∈ R4 이 때 Ax = 영벡터입니다 이 때 Ax = 영벡터입니다 이 경우에 R3의 영벡터입니다 어떻게 구할수 있을까요? 일차방정식 문제에요 그렇게 나타내서 풀 수 있죠 행렬의 곱을 해보면 1 × x1 1 × x1 1 × x1 1 × x1 + 1 × x2 + 1 × x3 + 1 × x4 1 × x1 + 1 × x2 + 1 × x3 + 1 × x4 = 0 행렬의 1행과 x를 곱하면 이렇게 돼요 2행과 x를 곱하면 두 번째 0이에요 1 × x1 + 2 × x2 + 3 × x3 + 4 × x4 1 × x1 + 2 × x2 + 3 × x3 + 4 × x4 = 0 마지막으로 3행과 x를 곱하면 세 번째 0이에요 3행과 이 열벡터를 곱하면 0이 나와야 되는군요 3행과 이 열벡터를 곱하면 0이 나와야 되는군요 4 × x1 + 3 × x2 + 2 × x3 + x4 4 × x1 + 3 × x2 + 2 × x3 + x4 4 × x1 + 3 × x2 + 2 × x3 + x4 = 0 이 식을 만족하는 해를 구해야 해요 이 해가 바로 영공간이에요 이 연립방정식의 해의 집합을 구했어요 이 연립방정식의 해의 집합을 구했어요 방정식 3개와 미지수 4개가 있어요 해를 구할 수 있어요 식을 첨가행렬꼴로 나타낸 다음 기약행사다리꼴로 바꾸면 돼요 식을 첨가행렬꼴로 나타낸 다음 기약행사다리꼴로 바꾸면 돼요 한 번 해봅시다 이 문제를 첨가행렬꼴로 나타내 봅시다 1, 1, 4 1, 2, 3 1, 2, 3 1, 3, 2 1, 4, 1 선을 긋고 옆에 영벡터를 붙여요 여기서 주목할 점은 처음에 행렬식을 일일이 곱해서 연립방정식으로 나타냈지만 연립방정식을 풀기 위해 다시 행렬식으로 나타냈어요 연립방정식을 풀기 위해 다시 행렬식으로 나타냈어요 이 첨가행렬은 어떤 모습을 하고 있나요? 이 부분은 행렬 A이고요 이 부분은 영벡터입니다 전에도 해본 것이지만 해를 구하기 위해 이 행렬을 기약행사다리꼴로 만들어야 합니다 기약행사다리꼴로 변형시켜도 오른편은 변하지 않습니다 식에 어떤 수를 곱해도 0이 되기 때문입니다 따라서 행렬 A만 기약행사다리꼴로 변합니다 그러면 이제 직접 해봅시다 우선 1행은 그대로 둬야겠군요 1행은 1, 1, 1, 1 | 0 다음은 2행 1열의 1을 0으로 만들어야 해요 2행에서 1행을 빼줍시다 1 - 1 =0 2 - 1= 1 3 - 1 = 2 4 - 1 = 3 0 - 0 = 0 보다시피 0은 바뀌지 않습니다 그리고 1행의 4배에서 4행을 뺍시다 4를 0으로 만들어야 하니까요 4 × 1 - 4 = 0 4 × 1 - 3 = 0 4 × 1 - 2 = 2 4 × 1 - 1 = 3 4 × 0 - 0 = 0 이제 이 행렬에서 0으로 만들어야 할 것은 위에 있는 1과 아래 있는 1입니다 2행을 그대로 놔둬야 겠군요 2행은 0, 1, 2, 3 이에요 2행은 그대로 두세요 옆에 붙인 0은 바뀌지 않지만 첨가행렬이라는걸 잊지 마세요 1행에서 2행을 빼서 1행에 넣어서 이 1을 0으로 만들어 봅시다 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 1 - 2 = -1 1 - 3 = -2 0 - 0 = 0 3행에는 3행-2행을 한 값을 넣을게요 0 - 0 = 0 1 - 1 = 0 2 - 2 = 0 어떻게 될지 뻔하죠? 3 - 3 = 0 0 - 0 = 0 입니다 이 연립방정식을 기약행사다리꼴행렬로 만들었어요 이 행렬을 다시 쓰면 이렇습니다 x1 x1 - x3 x1 - x3 - x4 0 · x2 = 0이니까 안 써도 돼요 두 번째 행을 보면 x1은 없으므로 x2 + 2·x3 x2 + 2·x3 + 3·x4 = 0 이렇게 놔두면 아무것도 알 수 없어요 이 방정식을 x1과 x2에 대해 풀면 무엇이 나올까요? x1 = x3 + x4 앞에서 실수했네요 위에 식에서 -2·x4로 고쳐야 해요 x1 = x3 + 2·x4 그러면 x2는 x2 = -2·x3 x2 = -2·x3 - 3·x2 이 두 방정식에 대한 해집합을 행렬로 나타낼 때는 이렇게 하면 돼요 [x1, x2, x3, x4] = x1은 무엇과 같나요? x1 = x3·1 + x4·2 이 방정식에서 구한 그대로예요 x1 = 1·x3 + 2·x4 위에 그대로 써있어요 x2 = x3·(-2) x2 = x3·(-2) + x4·(-3) 여기서 또 실수했네요 x2 + 2x3 + 3x4 = 0이 맞아요 그러면 x2 = -2·x3 - 3·x4네요 다른 곳에 집중하느라 잠깐 실수를 했어요 이제 잘 따라올 수 있겠죠? x3은 무엇과 같나요? x3 = 1·x3 + 0·x4 입니다 맞죠? x3 = x3이에요 x4는 뭘까요? x4 = 0·x3 + 1·x4 방정식 Ax = 0을 만족시키는 이 R4에 있는 모든 벡터는 이 두 열벡터의 일차결합으로 나타낼 수 있습니다 이 앞에 있는 x3와 x4는 무작위 스칼라값이에요 x3나 x4 자리에는 그 어떤 실수가 와도 돼요 따라서 해집합은 두 열벡터의 일차결합이에요 두 벡터의 일차결합을 어떻게 다르게 나타내나요? 여기 적어볼게요 A의 영공간 즉 N(A)는 방정식의 해집합이에요 방정식을 만족시키는 모든 x를 나타냅니다 이 영공간은 왼쪽 벡터와 오른쪽 벡터의 일차결합과 같습니다 두 벡터의 일차결합을 뭐라고 부르나요? 바로 span 입니다 span 괄호안에 두 벡터를 써줍시다 span([1, -2, 1, 0] [2, -3, 0, 1]) span([1, -2, 1, 0] [2, -3, 0, 1]) 이것이 바로 구하려고 했던 영공간입니다 수업을 끝내기 전에 한 가지 짚고 넘어갈게요 위에서 연립방정식을 행렬로 나타냈고 기약행사다리꼴행렬로 바꿨어요 이건 행렬 A고 이건 0이에요 이 행렬은 A의 기약행사다리꼴행렬이에요 rref(A) 이 행렬이 곧 문제를 풀때 필요한 방정식을 나타내요 rref(A) · x = 0 이 식에서 x가 될 수 있는 모든 해는 문제의 원래 해 즉, Ax = 0의 해예요 rref(A) · x = 0의 해는 무엇인가요? 이 식을 만족시키는 모든 x는 rref(A)의 영공간이에요 여기서 x는 N(rref(A)) 라고 나타낼 수 있어요 그런데 이 문제는 이 문제와 같다고 할 수 있어요 아래에 써보면 N(A) = N(rref(A))입니다 굳이 왜 이렇게 쓰는 건지 이해가 안 갈 수도 있어요 실제로 영공간을 계산할 때 이 식은 유용합니다 긴 첨가행렬을 사용하지 않고도 행렬 A를 기약행사다리꼴로 만든 다음 영공간을 구하면 되는 거예요 문제를 보고 바로 이렇게 했어도 돼요 동그라미 친 행렬이 A의 기약행사다리꼴행렬이고 방정식을 풀면 돼요 기약행사다리꼴행렬과 벡터를 곱해서 이 방정식을 구하고 방정식은 이렇게 행렬로 나타낼 수 있고요 그렇게 답을 구했습니다 도움이 됐길 바라며 수업을 마칩니다