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행열 B가 있습니다 그리고 이 행열 B의 영공간을 구하려고 합니다 영공간 찾는 계산은 여러번 해보았지만 복습으로 x들을 성분으로 이루어진 B의 영공간을 구해봅시다 여기 이 벡터 x는 어떤것의 성분인가요? 1, 2, 3, 4, 5 는 R의 5승 안에 있고 행열 B와 벡터 x를 곱하면 0이 됩니다 영공간의 정의가 바로 이것입니다 여기 이 식에 대한 해를 찾아보고자 합니다 이미 본적이 있지요 B의 기약행사다리꼴의 공집합은 B의 공집합과 같습니다 그러면 B의 기약행사다리꼴은 무엇인가요? 매우 간단하게 구해집니다 몇몇 과정을 거쳐봅시다 우선 두번째줄을 두번째줄 빼기 첫번째줄로 바꾸어줍니다 어떤 답이 나오나요? 두번째줄 빼기 첫번째줄을 하면 첫째줄은 그대로 두고 1, 1, 2, 3, 2가 되죠 그리고 두번째줄에서 첫번째줄을 뺍니다 1 빼기 1은 0 1 빼기 1은 0 3 빼기 2는 1 1 뺴기 3은 -2 4 빼기 2는 2 거의 다 구했네요 여기 이 성분은 자유변수입니다 그리고 이 성분은 피보트 변수가 되죠 1이 있습니다 여기 1을 없애봅시다 첫번째줄을 첫번째줄에서 두번째줄의 두배를 빼준 것으로 바꿉니다 그러면 우선 두번째줄은 그대로 두고 0, 0, 1, -2, 2가 되죠 첫번째줄을 첫째줄 빼기 두번째줄의 두배로 바꾸어봅시다 1 빼기 2 곱하기 0은 1 1 빼기 2 곱하기 0은 1 2 빼기 2 곱하기 1은 0 3 빼기 2 곱하기 -2 3에다 더하기 4를 해서 7 맞죠? 이 성분의 두배, -4가 되죠 2 빼기 2 곱하기 2는 2 빼기 4와 같으므로 2입니다 자 이제 B의 기약행사다리꼴을 구했습니다 이제 이것의 영공간을 구하려면 x1, x2, x3, x4, x5벡터를 적어줍니다 여기에 0이 두개가 있겠죠 이제 연립방정식으로 적어봅시다 제가 해볼게요 x1을 이용해야겠죠 피보트 변수를 초록펜으로 적어볼게요 x1 더하기 1 곱하기 x2, 더하기 x2 더하기 0곱하기 x3 더하기 7 x4가 되죠 -2 곱하기 x5는 0이 됩니다 그러면 x3도 구해지겠죠 0 곱하기 x1 더하기 0 곱햐기 x2 더하기 1 곱하기 x3이 됩니다 그래서 x3 빼기 2 곱하기 x4 더하기 2곱하기 x5가 0과 같다는 식이 하나 더 나옵니다 만약 피보트 변수에 대해 풀면 이것들은 자유변수가 됩니다 자유변수에는 어떤 값도 들어갈 수 있죠 만약 피보트변수에 대해 해를 구하면 결과가 어떻게 될까요? 초록색 글씨 x1을 보세요 x1은 -x2 빼기 7 곱하기 4 더하기 2 곱하기 5가 됩니다 그리고 식의 양 변에 이 변수를 빼주세요 그리고 x3은 2 x4 빼기 2 x5가 되죠 그리고 벡터 형태로 해의 집합을 구하려면 x들로 이루어진 영공간 또는 집합을 적어볼 수 있습니다 x1, x2, x3, x4, x5와 같이요 R5안의 벡터 x가 있습니다 그리고 이 벡터는 선형결합식으로 표현이 가능합니다 자유변수들은 x2 곱하기 어떤 벡터 더하기 x4 곱하기 어떤 벡터 더하기 x5 곱하기 어떤 벡터가 되죠 이 비어있는 벡터들은 어떤 벡터들일까요? 공간이 부족하니 다시 적어볼게요 x3은 2 x4 빼기 2 x5입니다 여기 이 식을 지워서 빈 공간을 만들게요 다시 하던 계산식으로 돌아가면 x5 곱하기 벡터 하나가 여기에 옵니다 여기에 어떤 벡터들이 오게 되나요? 여기 있는 세 개의 식을 참고해야 합니다 x1은 -1 곱하기 x2 -1 곱하기 x2가 되죠 빼기 7 곱하기 x4 더하기 2 곱하기 x5 그러면 x3 값은 어떻게되나요? x3은 2 x4가 됩니다 맞죠? x2에 대해서는 할 필요가 없습니다 x2는 2 x4 빼기 2 x5가 됩니다 그리고 0 곱하기 x2가 되죠 x2에 대한 항은 존재하지 않으니까요 x2는 그러면 어떻게 표현될까요? x2는 그냥 1 곱하기 x2로 둡니다 그리고 나머지를 모두 0으로 둡니다 이 부분이 굉장히 중요한데 여기에 적어볼게요 x2는 자유변수입니다 그래서 x2는 자기 스스로와 같죠 1을 x2 옆에 쓰고 나머지는 0을 써줍니다 x4 또한 자유변수입니다 자유변수라는 개념이 정말 중요한데요 마찬가지로 x4도 자기 스스로와 같습니다 나머지는 모두 0으로 두면 되죠 그리고 x5도 자유변수입니다 1 곱하기 x5로 두고 나머지는 0이 곱해집니다 그래서 여기 Bx 벡터가 0이라는 것을 기억하시죠 B의 기약행사다리꼴에 벡터 x를 곱해주면 0 이 된다는 뜻입니다 또는 Bx가 여기 벡터들의 선형 결합식이라고 할 수도 있습니다 여기 벡터들을 v1, v2, v3이라고 불러봅시다 임의의 실수 1, 2, 3을 이용해서요 여기 이 벡터들의 어떤 선형결합식을 만들더라도 해를 구할 수 있습니다 또는 영공간을 만들 수 있다고도 할 수 있겠죠 그래서 A의 영공간, 혹은 A의 기약행사다리꼴의 영공간이라고도 하죠 이것이 이 세 개의 벡터들의 선형결합식과 같다고 할 수 있습니다 그리고 v1, v2, v3 벡터들의 생성과 같다고도 표현 가능하죠 이렇게요 이런 복잡한 계산을 한 이유는 이 벡터들이 선형 독립 집합을 만드는지 생각해보기 위해서였습니다 그러면 이 벡터들은 선형독립하나요? 선형독립성을 중요시 하는 이유는 만약 이 벡터들이 선형독립하다면 이 벡터들이 영공간의 기반을 만들기 때문입니다 이 벡터들이 영공간을 생성하는데 만약 이것들이 선형독립하다면 기반을 이룰 때의 두가지 조건을 충족시키게 됩니다 부분집합을 생성하고 선형독립해야하는 조건들 말입니다 그러면 여기 이 벡터들을 확인해봅시다 v1은 여기에 1을 가지고 있습니다 두번째 요소가 1인 이유는 x2가 자유변수이기 때문이죠 그리고 나머지는 0이 되죠 이러한 이유는 우리가 자유변수들을 항상 0과 곱해주는 것이 편하기 때문입니다 어떠한 영공간 관련 문제들에서도 똑같이 적용될것입니다 만약 두번째 요소를 나타내는 자유변수라면 두번째 요소에 1이 들어가겠죠 그리고 자유변수를 가진 다른 벡터의 두번째 요소들은 모두 0이 됩니다 그래서 자유변수들은 다른벡터들의 선형결합식으로 나타낼 수 있나요? 0과 곱할 수 있는 수는 없죠 그리고 0을 곱해서 1이 되는 것은 더더욱 없죠 0과 곱하면 무조건 0이 되니까요 그래서 자유변수들은 절대 다른 벡터들의 선형결합식으로 나타낼 수 없습니다 이와같이 여기 이 벡터가 네번째 요소에 1을 가지고 있죠 왜 네번째에 있나요? 네번째 요소가 자유변수 x4를 표현하기 때문입니다 그래서 여기 1이 오게 되죠 그리고 나머지는 당연하게도 0이 될것입니다 자유변수이기 때문에 마찬가지로 다른 벡터들의 선형결합식으로 표현이 불가능합니다 마지막으로 x5 역시 자유변수이기 때문에 여기에 1이 오겠죠 그리고 나머지에는 0이 옵니다 0들의 어떠한 선형결합식도 1이 나오게 만들 수 없죠 그래서 여기 모든 벡터들은 선형독립합니다 어떠한 벡터도 다른 벡터들의 선형결합식으로 표현이 불가능하죠 즉 모두 선형독립하다는 것입니다 그래서 v1, v2, v3는 모두 영공간의 기반이 됩니다 B의 영공간은 아까 정의했던 행열 B 기억하시죠 B의 영공간은 B의 기약행사다리꼴의 영공간과 같다고 알고있었습니다 이름을 헷갈리지 않게 조심하세요 여기 이 식이 이 벡터들의 생성과 같죠 여기 이 벡터들은 선형 독립한다고 방금 알아봤었죠 여기 벡터들은 다른 벡터들의 선형 결합식으로 표현이 불가능하다는 것을 이미 우리가 증명했기 때문입니다 이 벡터들은 B의 영공간의 기반을 이룹니다 그럼 여기서 흥미로운 질문이 생기죠 지난 영상에서, 제가 차원성을 정의했었죠 아마 짧게 다루고 지나쳐서 기억하지 못하실 수도 있습니다 그러면 제가 여기 차원을 다시 정의해볼게요 차원은 부분집합에 대한 기반에 있는 요소들의 개수를 말합니다 지난 영상에서 어떤 부분집합의 기반들은 모두 같은 개수의 요소를 지닌다고 배웠습니다 그래서 제 질문은 이것입니다 B의 영공간의 차원은 무엇일까요? B의 영공간의 차원을 구해봅시다 차원이란 B의 기반 집합안에 존재하는 벡터의 개수를 말합니다 여기 B의 기반 집합이 있죠 여기에 몇개의 벡터가 존재하나요? 1, 2, 3 벡터, 3개가 존재하죠 그래서 B의 영공간의 차원은 3입니다 다른방법으로 생각할 수도 있습니다 B의 영공간의 차원은 다른말로 B의 무효성이라고도 합니다 그리고 이것 역시 3이 되겠죠 방금 한것들을 잘 생각해보세요 그러면 어떠한 행열의 무효성은 어떻게 구할까요? 바로 영공간의 차원으로 구합니다 영공간의 차원은 자유변수의 개수와도 같겠죠 그래서 일반적으로 어떤 행열의 무효성은 행열 A가 있다고 해봅시다 이것의 무효성은 자유변수 열 또는 자유변수의 개수와 같게됩니다 아마 먼저 기약행사다리꼴을 찾아야겠죠 그렇게 되면 피보트 가 아닌 열의 개수와 같게됩니다 A의 기약행사다리꼴에 존재하는 피보트가 아닌 열의 개수말이지요 왜냐하면 자유변수의 개수는 다른 벡터들의 선형결합식으로 나타낼 수 없는 벡터들의 개수이니까요 그래서 변수의 개수는 영공간의 기반안의 벡터의 개수가 됩니다 그리고 자유변수의 개수는 기약행사다리꼴의 피보트 열이 아닌 것의 개수와 같게되죠 여기 이 열들은 모두 피보트 열이 아닙니다 그리고 이 열들은 자유변수 x2, x4, x5가 각각 곱해져있습니다 그래서 이 행열의 무효성은 이 행열의 기약행사다리꼴 안에 존재하는 피보트 열이 아닌 열의 개수와 같게된다는 것입니다 이 수업이 유용했기를 바랍니다