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이전 강의들에서 행열의 열공간은 생각보다 구하기 단순하다는 것을 볼 수 있었습니다 보이는것처럼 A의 열공간이 A의 열벡터들의 선형결합식과 같죠 선형결합을 다르게 표현하자면 열벡터들의 생성이라고 할 수 있습니다 그래서 우선 열벡터들을 각각 a1, a2, a3, a4, a5로 불러봅시다 그러면 A의 열공간은 a1, a2, a3, a4, a5의 생성과 같다고 할 수 있죠 하지만 더 중요한 문제는 이 열 벡터들이 열공간의 기반이 되는지 아닌지를 알아보는 것입니다 조금 더 중요한 문제는 그러면 A의 열공간의 기반은 무엇인가요? 이 영상에서 저는 기반을 구하는 방법을 알아볼 예정입니다 그리고 그 과정에서 어떻게 이 방법이 가능한지 알아볼게요 자 그럼 우리는 A의 열벡터의 기반을 찾고자 합니다 기반이 C(A)를 생성하는 벡터들을 나타낸다는 것을 기억하세요 여기 이 벡터들은 당연히 이 열공간을 생성합니다 이 벡터들의 생성이 열공간과 같다는 말이지요 하지만 기반이 되려면 이 벡터들은 모두 선형독립이여야 합니다 하지만 이 벡터들 또는 이 벡터들의 부분집합의 선형독립한지는 아직 모릅니다 그래서 우선은 먼저 이 행열을 기약행사다리꼴로 만들어야합니다 해봅시다 우선 첫째줄은 그대로 두죠 1, 0 오른쪽에 적어볼게요 첫째줄은 그대로 둡니다 1, 0, -1, 0, 4 그리고 두번째줄은 두번째줄 빼기 첫째줄의 두배가 됩니다 두번째줄을 적어보면 2 빼기 2 곱하기 1은 0 1 빼기 2 곱하기 0은 1 0 빼기 2 곱하기 -1, 0 더하기 2가 되죠 0 빼기 2 곱하기 0은 0 그리고 9 빼기 2 곱하기 4는 1을 해줍니다 이제 여기 -1을 0으로 만들어주려고 합니다 방법은 단순하죠 세번째줄을 세번째줄 더하기 첫번째줄로 만들어주면 됩니다 -1 더하기 1은 0 2 더하기 0 은 0 5 빼기 1은 4 1 더하기 0은 1 -5 더하기 4는 -1 그리고 마지막으로 이번에는 다섯번째줄을 다섯번째줄 빼기 첫번째줄로 바꿔줍니다 1 빼기 1은 0 -1 빼기 0은 -1 -3 빼기 -1은 -3 더하기 1이 되고 -2가 값이죠 -2 빼기 0은 -2 9 빼기 4는 5 이제 첫번째과정을 끝냈습니다 그러면 첫번째 피보트 열을 만듭시다 열 연산을 다시 해야겠죠 여기 두번째줄의 요소들을 0으로 만들어야 합니다 이미 0이 하나 있네요 그러면 우선 첫째 두번째줄은 건드리지 않아도 됩니다 1, 0, -1, 0, 4는 그대로 두고 두번째줄에 0, 1, 2, 0, 1 도 그대로 둡니다 여기 2를 없앨 수 있는지 봅시다 이 파란색 줄과 세번째 줄 바꿔봅시다 두번째줄은 세번째줄에서 두번째줄의 두배를 뺀 값으로 바꿔줍니다 0 빼기 2 곱하기 0은 0 2 빼기 2 곱하기 1은 0 4 빼기 2 곱하기 2는 0 1 빼기 2 곱하기 0은 1 -1 빼기 2 곱하기 1은 -3이 됩니다 이제 마지막줄의 -1만 0으로 만들어주면 되겠죠 네번째줄을 네번째줄 더하기 두번째줄로 바꿔줍시다 0 더하기 0은 0 -1 더하기 -1은 0 -2 더하기 2는 0 -2 더하기 0은 -2 그리고 5 더하기 1은 6이 되죠 거의 다 했습니다 이제 피보트 성분을 확인해볼게요 첫번째줄에 존재하고 두번째줄에도 존재합니다 하지만 세번째줄에는 존재하지 않죠 왜냐하면 다음 열에 존재하니까요 여기 1이 피보트성분이 됩니다 네번째줄의 -2를 0으로 만들어주세요 우선 첫째줄을 그대로 적어주고 1 위에는 모두 0이 있네요 첫째줄은 1, 0, -1, 0, 4 두번째줄은 0, 1, 2, 0, 1 세번째줄은 0, 0, 0, 1, -3 그리고 마지막줄은 조금 변형이 필요합니다 마지막줄에 두번째줄의 두배를 더해줍시다 0 더하기 2 곱하기 0, 0 더하기 2 곱하기 0, 0 더하기 2 곱하기 0 -2 더하기 2 곱하기 1은 0 6 더하기 2 곱하기 -3은 6 빼기 6으로 0이 됩니다 이제 기약행사다리꼴을 구했습니다 행열 표시를 그려주세요 굳이 기약행사다리꼴을 찾지 않고도 계산할 수는 있습니다 기약행사다리꼴을 찾는 것이 보통은 매우 복잡하긴 하지만 이번 경우에는 꽤 단순하게 구해졌죠 자 그럼 여기 A의 기약행사다리꼴이 있습니다 이것을 이제부터 행열 R이라고 부를게요 행열 R이 여기 있습니다 행열 R에 무엇이 존재하나요? 3개의 피보트 성분과 3개의 피보트 열이 존재하죠 한번 표시해볼게요 첫번째 열, 두번째 열, 세번째 열이 피보트 열입니다 이전 강의에서 다루었었죠 여기서 두가지를 알 수 있습니다 이 피보트 열들이 선형독립한다는 것입니다 어떻게 알았을까요? 선형독립은 벡터들 서로의 관계를 말합니다 이 벡터들을 r1, r2라고 부르고 그러면 이 벡터는 r4가 되죠 r1, r2, r4 벡터가 서로 선형독립인 것은 매우 명확히 보입니다 어떻게 보일까요? 왜냐하면 모두 1을 가지고 있고 나머지는 모두 0이기 때문입니다 이게 바로 피보트 성분을 일컫습니다 피보트 성분 또는 피보트 열은 1 하나를 제외하고 나머지에는 0을 가지고 있습니다 어떤 피보트 열이든 다른 줄에 1을 가지고 있죠 1의 위치가 모두 달라야합니다 그래서 결론적으로 다른 벡터들의 어떤 결합식도 1을 만들 수 없습니다 0에 더떠한 수를 곱해도 모두 0이 나오죠 그래서 벡터의 어떠한 결합식도 다른 벡터를 표현할 수는 없습니다 같은 이유로, 벡터하나가 다른 벡터들의 어떠한 결합식과도 같지 않다는 것이죠 이것이 바로 피보트 성분의 정의입니다 행열을 기약행사다리꼴로 바꿔보면 피보트열은 모두 다른 위치에 1 을 가지고 있습니다 그래서 이 벡터들이 모두 선형독립인 것은 바로 알 수 있습니다 제가 직접 증명해드리지는 않았지만 A를 기약행사다리꼴로 만들기 전 처음 주어졌던 A의 열들 a1, a2, a4 또한 선형독립합니다 여기에도 표시해볼게요 a1, a2, a4라고 적을게요 여기 이 벡터들 또한 선형독립합니다 비록 제가 증명을 하지는 않았지만요 열들끼리의 연산을 했을지라도 각 열의 특성을 그대로 유지되는 것을 알 수 있겠죠 더 자세히 설명해드릴게요 하지만 열공간의 기반이 만들어지는 과정을 꼭 이해하시기 바랍니다 여기 벡터들은 선형독립하죠 그러면 이 벡터들이 열공간을 생성하나요? 이 벡터들이 생성하려면 이 다섯개의 벡터가 다 존재했을때 열공간을 생성할 것입니다 이것을 증명할 수는 있지만 이번 영상에서는 하지 않을게요 하지만 피보트가 아닌 열들은 피보트 열들의 선형 결합으로 표현이 가능하다는 점을 알아두세요 이전 영상에서 이미 알아본 적이 있죠 영공간의 해를 찾을 때에 본 적이 있을 것입니다 그래서 이 벡터들은 다른 벡터들의 선형 결합으로 나타낼 수 있습니다 증명해드리지는 않았지만 여기 세번째 열과 다섯번째 열로 생성할 필요는 없습니다 만약 그렇게 하려고 해도 할 필요가 없다는 것이죠 물론 저 열들이 생성의 일부이긴 하지만요 만약 이 다섯번째 열이 필요했다면 그냥 다른 벡터의 선형 결합으로 저 열을 표현 할 수 있었을 것입니다 만약 행열A의 열공간의 기반을 찾고자 할때 행열 A의 기약행사다리꼴을 구해주시면 됩니다 구한 기약행사다리꼴 A의 피보트 성분을 이용하시면 됩니다 여기에 세 개의 피보트 성분이 있죠 그리고 피보트 성분이 존재하는 열의 행열 A 열을 이용합니다 그리고 이 열들이 기반을 만들죠 왜냐하면 이 열들의 선형결합식으로 어떤한 피보트가 없는 열들을 만들 수 있고 그리고 이 열들은 선형독립합니다 하지만 이 경우에서는 만약 기반을 구하면 a1, a2와 a4가 됩니다 이제 다른 문제에 대답할 수 있죠 a1, a2, a4는 A의 열공간의 기반을 이룹니다 왜냐하면 나머지 두개는 이 벡터들의 선형결합식으로 표현이 가능하니까요 그리고 그들은 선형독립성을 지니고 있습니다 그러면 이 기반의 차원은 무엇인가요? 아니면 차원은 어떻게 될까요? A의 열공간의 차원은 무엇인가요? 차원이란 열공간의 기반 안에 있는 벡터의 개수를 말합니다 그리고 모든 기반은 같은 개수의 벡터를 가지고 있습니다 그러면 여기 1, 2, 3 벡터가 있습니다 열공간의 차원은 3입니다 열공간의 차원을 부르는 말은 사실 따로 있습니다, 랭크라고 하죠 A의 랭크는 열공간의 차원과 같고 여기서는 3이 됩니다 다른방법으로 생각하자면 A의 랭크는 모든 열공간을 생성하는 선형독립인 열 벡터들의 개수를 말하죠 또는 다른 벡터들을 나타낼 수 있는 선형 독립적인 열 벡터들의 개수를 말하기도 합니다 헷갈리시지 않기를 바래요 왜냐하면 방법 자체는 매우 간단하니까요 A를 기약행사다리꼴로 만들고 어떤 열이 피보트 열인지를 찾습니다 그리고 상응하는 열들이 열공간의 기반이 됩니다 만약 행열의 랭크를 구하려면 그 열의 개수를 세면 됩니다 개수를 직접 세기 싫다면 기약행사다리꼴에 존재하는 피보트 열의 개수를 구하세요 다음 강의에서는 이것이 어떻게 이렇게 되는 지 설명해 드릴게요 수고하겠습니다