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영공간에 대해 배우는데 꽤 많은 시간을 썼죠 이번 강의에서는 매트릭스에 관련된 새로운 공간 열공간에 대하여 소개해보도록 하겠습니다 이름만 보고 무엇인지 유추할 수는 있을 거에요 일단 매트릭스 A를 정의해봅시다 m×n의 매트릭스라고 하죠 이미 여러 번 썼듯이, 매트릭스 A를 열벡터의 모음으로 써보도록 합시다 [v1 v2 ... vn] 이렇게 쓸 수 있겠죠? n까지 있는지는 어떻게 알죠? n개의 열이 있기 때문이죠 각각의 열벡터는 몇 개의 성분을 가질까요? v1, v2, ... , vn 이 매트릭스는 m개의 행이 있습니다 그러므로 이들 벡터는 각각 m개의 성분을 가지겠죠 이들은 모두 m차원 공간의 원소입니다 그러므로 열공간은, 이 열벡터들의 모든 가능한 선형결합으로 정의할 수 있습니다 A의열공간은, 이 열벡터의 모든 가능한 선형결합의 공간이라고 할 수 있습니다 벡터 세트의 모든 가능한 선형결합이라는 것은 뭘 의미하죠? 이 벡터들의 생성입니다 그러므로 v1, v2, ... , vn의 생성이 되겠네요 생성과 부분공간에 대하여 배울 때 다루었습니다 어떠한 벡터 집합의 생성이 진정한 부분공간임을 보이는 것은 꽤 쉽습니다 0의 벡터를 확실히 포함합니다 이 벡터를 모두 0으로 곱하는 것 역시 유효한 선형결합입니다 그렇게 되면 0의 벡터를 포함하겠죠? A의 열공간의 원소인 어떠한 벡터 a가 있다고 가정해봅시다 그 말은 곧 선형결합으로 표현할 수 있다는 것이겠죠 그러므로 a=c1v1+c2v2+...+cnvn a=c1v1+c2v2+...+cnvn 라고 쓸 수 있습니다 그렇다면 이 집합은 곱셈 후에도 닫혀있을까요? a에 어떠한 스칼라를 곱하면 s라고 쓸게요 s×a는 생성에 포함될까요? s×a는 다음과 같이 쓸 수 있을 거에요 sa=sc1v1+sc2v2+...+ sa=sc1v1+sc2v2+...+scnvn 이것 역시 열벡터의 선형결합이라고 볼 수 있겠죠 이 sa는 A의 열공간의 원소일까요? 이 sa는 A의 열공간의 원소일까요? 그리고 유효한 부분공간임을 확인하기 위해서 열공간에만 해당되는 거이 아니라 어떠한 생성에도 적용될 것입니다 예전에도 이미 배웠던 것입니다 더한 후에도 집합이 닫혀있는지 확인해야 하죠 a가 열공간의 원소라고 가정해봅시다 b 역시 열공간의 원소라고, 열벡터의 생성의 원소라고 가정해봅시다 그렇다면 b를 이렇게 쓸 수 있겠죠 b=b1v1+b2v2+...+bnvn b=b1v1+b2v2+...+bnvn 여기서 질문은, a+b도 벡터의 생성의 원소, 그러니까 열공간의 원소일까요? a+b가 뭐죠? a+b=(c1+b1)v1+(c2+b2)v2+... a+b=(c1+b1)v1+(c2+b2)v2+... 단순히 이 항을 서로 더하고 있는 것입니다 이 항과 이 항, 이 항과 이항끼리요 a+b=(c1+b1)v1+(c2+b2)v2+...+(cn+bn)vn 다음과 같이 쓸 수 있고, 이는 분명히 벡터들의 또 다른 선형결합입니다 그러므로 a+b는 확실히 생성의 원소입니다 매트릭스에만 제한될 필요는 없습니다 매트릭스는 단지 열벡터의 집합을 표현하는 방법 중 하나일 뿐이니까요 매트릭스는 단지 열벡터의 집합을 표현하는 방법 중 하나일 뿐이니까요 그러므로 방금의 과정은 어떤 생성에나 적용될 수 있습니다 A는, 그러므로, 유효한 부분공간입니다 A의 열공간이 유효한 부분공간입니다 열공간임을 해석할 수 있는 다른 방법을 생각해봅시다 다음에 대하여 생각해보죠, 색깔을 바꾸어 쓸게요 어떠한 집합에 대해서 생각해봅시다 m×n의 매트릭스 A를 n차원의 공간에 속한 벡터 x와 곱한다고 해봅시다 이 곱셈이 가능하려면 벡터 x는 n개의 성분이 있어야 합니다 벡터 x는 n개의 성분이 있어야 합니다 n차원 공간의 원소라고 할 수 있죠 이것이 무슨 의미일까요? 이 말은, n개의 성분을 가진 어떠한 벡터를 a와 곱하기 위해 Rn에서 벡터 x를 고를 때, 모든 가능한 Ax의 값을 고려해야한다는 것입니다 무슨 의미인지 더 생각해봅시다 a를 이렇게 쓰고 x를 이렇게 쓸 때, [x1; x2; ...; xn] [x1; x2; ...; xn] Ax는 어떻게 쓸 수 있을까요? Ax는 다음과 같이 쓸 수 있겠죠 Ax=x1v1+x2v2+...+xnvn Ax=x1v1+x2v2+...+xnvn 이러한 형태는 여러 번 접했습니다 매트릭스와 벡터의 곱셈의 정의로부터 나온 형태이죠 Ax가 다음과 같다면, Rn에서 임의의 벡터 x를 고를 수 있다는 말이 됩니다 이 항목들과, 이 항목들로 만들 수 있는 모든 가능한 결합에서 고를 수 있습니다 이걸 어떻게 쓸 수 있을까요? 모든 가능한 결합의 집합을 어떻게 표현할 수 있을까요? 여기 집합 Ax를 {x1v1+x2v2+...+xnvn | ... } 이렇게 써볼 수 있겠습니다 이 때의 x1, x2, ...xn은 실수의 원소이므로 이와 같이 쓸 수 있겠네요 이게 전부입니다 위의 식이 이 식과 같습니다 x가 Rn의 원소라는 것은 x의 성분들이 어떤 실수도 될 수 있다는 말입니다 그러므로 계수들이 모두 실수인 이 열벡터의 가능한 모든 임의의 결합의 집합을 구한다면, 이것은 A의 열벡터의 모든 가능한 선형결합이라는 것이죠 이것은 A의 열벡터의 모든 가능한 선형결합이라는 것이죠 이 식은 v1, v2, ... , vn의 생성과 같을 것이며 이는 A의 열공간과도 같습니다 이 벡터들의 선형결합으로 만들 수 있는 벡터 집합, 혹은 이들의 생성인 열공간 A가 그래서 뭘까요? 다른 말로, Rn의 원소인 x일 때 가능한 Ax의 값은 무엇입니까? 이렇게 생각해봅시다 다음과 같은 식을 풀어야 한다고 해봅시다 Ax=b1 b라고 쓰는 게 일반적이지만 b1이라고 쓰도록 할게요 Ax=b1 이 식을 풀어야한다고 해봅시다 Ax=b1 A의 열공간을 구해야하며 b1은 A의 열공간의 원소가 아니라는 것이 주어졌을 때, 이것은 무엇을 의미합니까? 그 말은 곧 Ax는 b1의 값을 절대 가질 수 없다는 것을 의미합니다 왜냐하면 Ax는 A의 열공간의 모든 값들을 가지니까요 b1이 열공간에 속하지 않으므로 Ax는 b1의 값을 가질 수 없습니다 그러므로 우리의 식 Ax=b1에는 해가 존재하지 않겠네요 해가 존재한다면, 적어도 하나의 해가 있는 Ax=b2라는 식을 다시 세워봅시다 이것은 무엇을 의미하죠? 특정한 x, 하나 혹은 여러 개가 될 수 있는, 특정한 x가 있다면 이 식을 만족시킬 수 있을 거라는 뜻입니다 A를 곱하는 어떤 x에 대하여 b2의 값을 얻을 수 있을 것입니다 이 말은 곧 b2가 A의 열공간의 원소라는 뜻이군요 너무 뻔히 보이지 않나요 이것은 바로 열공간의 정의였습니다 이것은 바로 열공간의 정의였습니다 열공간은 열벡터의 모든 선형결합이며 다르게 해석하면, Ax가 가질 수 있는 모든 값입니다 그러므로 Ax가 가질 수 없는 어떠한 값과 같다고 가정하면 해가 당연히 존재하지 않을 것입니다 해가 존재한다면 b2가 Ax가 가질 수 있는 값 중 하나 일 때 Ax=b2를 만족시키는 x를 구할 수 있습니다 이쯤에서 끝내도록 하죠 열공간에 대해서 추상적인 개념이라도 얻었길 바래요 다음 강의들에서는 열공간 영공간, 매트릭스, 그리고 매트릭스와 벡터의 곱에 대하여 배운 모든 개념을 합쳐보도록 하겠습니다