If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

웹 필터가 올바르게 작동하지 않으면 도메인 *. kastatic.org*.kasandbox.org이 차단되어 있는지 확인하세요.

주요 내용
현재 시간:0:00전체 재생 길이:16:53

선형생성과 선형독립 예제

동영상 대본

함수의 선형독립과 선형종속 그리고 특히나 복잡한 벡터 집합의 생성에 대하여 배운 것을 다시 한 번 상기해보았으면 합니다 왜냐하면 이 문제를 파악하게 된다면 선형대수학의 기본적인 두 가지 개념을 잘 이해하고 있다고 볼 수 있기 때문이죠 첫 번째로 물어볼 것은 벡터 집합인 s에 관한 것입니다 벡터들은 모두 3D 벡터들이며 세 개씩의 원소를 가지고 있을 때 s의 생성은 R³과 같을까요? 아마 그럴 것 같기도 합니다 만약 각각의 벡터에게 새로운 정보를 추가한다면 이들 세 개의 백터의 조합에 의해서 R³의 임의의 벡터를 표현할 수 있을 것 같습니다 두 번째 질문은 이 벡터들은 모두 선형독립할까요? 두 가지 질문들에 대한 해답을 동시에 찾을 수도 있을 것 같네요 첫 번째 질문으로 가보죠 벡터들이 R³를 생성하나요? R³를 생성한다는 것은 세 벡터로 구성된 임의의 일차식이 R³의 임의의 벡터를 표현할 수 있다는 것입니다 그렇다면 세 벡터로 구성된 일차식을 세워보도록 하죠 c1 x 첫 번째 벡터 1, -1, 2 + 또다른 임의의 상수인 c2 x 두 번째 벡터 2, 1, 3 + c3 x 세 번째 벡터 -1, 0, 2 이렇게 임의의 상수를 이용하여 R³의 벡터가 되는 세 개 벡터의 어떠한 조합을 구해볼 수 있습니다 R³의 임의의 벡터를 실수 a, b, c를 이용하여 표현해보도록 합시다 어떠한 실수 a, b, c가 주어질 때 c3, 나아가 c2, c1에 대한 식을 세울 수 있겠죠 그 말은 즉 R³를 생성한다는 것을 의미합니다 왜냐하면 임의의 벡터가 주어지면 세 개의 상수를 이용하여 표현할 수 있기 때문이죠 한 번 해봅시다 스칼라 곱의 정의에 의하여 c1 x 이 벡터는 이렇게 다시 쓸 수 있을 것입니다 보통 이 과정을 건너뛰지만 이번에는 확실히 하고 싶네요 c1 x 첫 번째 벡터는 각각의 원소에 c1을 곱해서 다시 쓸 수 있어요 동일하게 c2 x 두 번째 벡터도 각각의 원소를 c2로 곱해서 표현할 수 있습니다 c3도 마찬가지로 각각에 곱하여서 쓸 수 있습니다 방금 한 부분은 단순히 벡터와 스칼라 상수를 곱하고 더하는 개념을 이용한 것입니다 첫 번째 항과 두 번째 항 그리고 세 번째의 항을 더하면 마지막 항과 같을 것입니다 식으로 써봅시다 c1 + 2c2 - c3 = a 다음 열도 같은 방식으로 식으로 쓸 수 있습니다 -c1 + c2 + 0xc3 = b -c1 + c2 + 0xc3 이 부분은 쓸 필요가 없겠죠? 그러므로 -c1 + c2 = b가 됩니다 마지막 열도 해봅시다. 2c1 + 3c2 + 2c3 = c 이 식들을 풀어봅시다 소거법으로 풀어볼게요 이 과정은 익숙하겠죠? 초기의 선형대수학 강좌에서 몇 번 보여드렸던 걸로 기억합니다. 앞으로의 강좌에서 복습할 계획이 있지만 이렇게 푸는 방식을 알고 있다고 생각할게요 우선 이 두 항을 소거한 후 이 항을 소거함으로써 상수들을 풀어보도록 하죠 이 항을 소거하고 싶을 때 이 식을 저 식과 더하면 되겠죠 아니면 이 식을 이 두 개 식을 더한 것으로 바꿀 수 있습니다 한번 해봅시다 이 두 식을 더하고 더한 것으로 이것을 대체해보도록 하겠습니다 -c1 + c1 이므로 이 부분은 0이 되므로 그냥 무시할 수 있습니다 c2 + 2c2 는 3c2 가 되겠죠 0 + -c3 는 -c3가 될 것입니다 -c3 는 그러므로 이 두 식을 합한 것으로 대체하면 b + a 가 될 것입니다 b + a 가 될 것입니다 여기 위에 첫 번째 식을 다시 써보도록 하죠 첫 번째 식을 그대로 씁니다 c1 + 2c2 - c3 = a 마지막 식에서 이 항을 소거해보도록 합시다 그러기 위해서 이 마지막 식에서 첫 번째 식에 2를 곱한 것을 뺍니다 이것은 첫 번째 식에 -2를 곱하여 더한 것과 같다고 볼 수 있겠죠 이것은 첫 번째 식에 -2를 곱하여 더한 것과 같다고 볼 수 있겠죠 어차피 첫 번째 식은 한 번 그대로 옮겨썼으니 이곳에 -2를 직접 곱해서 써보도록 해요 그러면 이 식은 -2c1 - 4c2 + 2c3 -2c1 - 4c2 + 2c3 = -2a 가 되겠죠 각각의 항들을 곱한 것을 실수가 없도록 다시 한 번 확인해봅시다 -2c1 - 4c2 + 2c3 = -2a 그리고 이제 이 두 식을 더해봅니다 2c1 - 2c1 이므로 0이 됩니다 쓸 필요는 없겠죠 3c2 - 4c2 이므로 -c2 가 되겠네요 2c3에 또다른 2c3를 더하므로 4c3 를 모두 더한 것은 c-2a와 같을 것입니다 조금 전의 과정은 단순히 저 식에 -2를 곱하여 이 식에 더한 후 대체한 것입니다 이번에도 맨 위의 첫 번째 식은 그대로 두겠습니다 그냥 오른쪽으로 옮겨두기만 할게요 c1 + 2c2 - c3 = a 의 식이 되겠죠 두 번째 식도 그대로 옮기겠습니다 3c2 - c3 = b + a 가 되겠죠 화면을 조금 옮겨보도록 하죠 소거하고 싶은 마지막 식을 살펴봅시다 이 식에서 첫 번째 항을 소거하는 것이 목표가 되겠네요 그러기 위해서는 이 식에 3을 곱한 후 가운데 식에 더해보도록 할게요 이 마지막 식에 3을 곱하는 것을 복잡하면 헷갈리기 쉬우므로 그냥 암산으로 해보면 -3 + 3 이므로 이 항은 없어집니다 12 - 1 이므로 12c3- c3, 그러므로 11c3가 됩니다 이것은, 아 미안합니다 이미 했군요 이 식에 3을 곱하여 두 번째 식에 더하면 첫 번째 항은 사라집니다 여기에도 3을 곱하면 12c3 - c3 이므로 11c3가 되겠네요 이 항에도 3을 곱하여 위의 항과 더하면 3c - 6a 3c - 6a 에 더하는 것이므로 3c - 6a + b + a 가 되겠네요 이걸 다시 쓰면 어떻게 될까요? 여기서 분명히하고 넘어가야 할 것은 이 상수 c는 c1, c2 혹은 c3와는 다르다는 것입니다 여러분도 알고 있겠지만 어쩌다 보니 c를 두 번 쓰게 되어 혼란을 일으키지 않으려고 언급하는 것입니다 그러므로 첨자가 없는 이 c는 여기 있는 상수들과는 다릅니다 이 식을 정리해서 쓸 수 있는지 봅시다 a와 -6a가 있으므로 더하여 정리하면 -5a가 될 것입니다 이 식의 양쪽을 모두 11로 나눈다면 어떻게 될까요? c3 = 1/11 x ( 3c - 5a ) 가 되겠죠 a나 c 값을 알면 c3의 값을 구할 수 있을 것입니다 c2는 어떻게 표현할 수 있을까요? c2에 관한 식을 정리해 봅시다 이곳에 써볼게요 이 식의 양쪽 모두에 c3를 더하면 3c2 = b + a + c3 가 되겠습니다 양쪽을 모두 3으로 나누면 c2 = c2 = 1/3 x b + a + c3 가 될 것입니다 우선 이대로 놔두겠습니다 c1은 어떨까요? 이 위의 식의 양쪽에 2c2를 빼고 c3를 더하면 되므로 c1 = a - 2c2 + c3 c1 = a - 2c2 + c3 가 되겠습니다 좀 전의 과정을 다시 살펴보겠습니다 R³의 임의의 벡터를 구하려면 임의의 실수 a, b, c가 주어지면 됩니다 그러므로 임의의 실수 a, b, c가 주어진다면 세 벡터로 구성된 임의의 조합이 이 벡터와 같을 것입니다 이 세번째 벡터를 구하기 위해서 각각의 벡터에 상수를 곱하는 과정은 이미 보여드렸죠 그러므로 임의의 상수 a, b, c가 주어질 때 대입하여 풀어볼 수 있습니다 아, 미안합니다 b를 빠뜨렸네요 여기도 b가 있죠 어쩐지 b가 없는 게 이상하다 했어요 여기 b가 있죠 그러니까 3c - 5a + b 가 되겠군요 적어보겠습니다 b는 괄호 안에 포함됩니다 전반적인 접근 방법은 이해가 가죠? 임의의 실수 그 어떤 것이라도 a, b, c의 값이 될 수 있는 것입니다 나누기의 과정은 없으므로 0으로 나누는 경우는 생각하지 않아도 되겠네요 임의의 실수의 선형결합이므로 또다른 실수가 나올 것입니다 a, b, c만 주어지면 c3의 값을 계산할 수 있습니다 a, b, c의 값을 알면 c3의 값을 알 수 있을거고 그 값은 어떠한 실수가 되겠죠 그 값을 a, b의 값과 함께 대입하면 c2의 값도 계산할 수 있습니다 c2와 c3를 이미 구했으므로 a값과 함께 대입하면 c1도 구할 수 있습니다 a, b, c의 값에 관계없이 c1, c2, c3을 구할 수 있다는 것이죠 a, b, c의 값은 이 식과는 아무 상관이 없어요 나누기를 하지 않으므로 0으로 나누어 식이 성립하지 않는 경우는 없을 것입니다 그러므로 세 개의 벡터로 이루어진 이 벡터 집합이 R³를 생성한다고 할 수 있겠네요 다른 질문으로 넘어가보죠 이미 물어본 질문입니다 이 벡터들은 선형독립할까요? 선형독립한다는 것은 그러니까, 다음의 식 c1 x 첫 번째 벡터 1, -1, 2 + c2 x 두 번째 벡터 2, 1, 3 + c3 x 세 번째 벡터 1, 0, 2 이 식이 선형독립하려면 벡터들의 조합이 0의 벡터가 되는 어떠한 조합을 찾아야 하는 것이라고 볼 수 있습니다 선형종속한다면 0이 아닌 해가 존재할 것입니다 그 말은 즉 이 상수들 중 적어도 하나는 0이 아니라는 것이죠 언제든 0으로 가정할 수는 있지만, 적어도 하나는 0이 아니어야만 합니다 반대로 선형독립한다면 이 식의 경우에서는 c1, c2, c3 모두가 0이어야 합니다 모든 계수가 0이어야만 합니다 선형독립한다는 것은 c1=c2=c3=0 이라는 의미이며 c1=c2=c3=0 일 때는 선형독립한다는 의미와 같습니다 방금 전에 했던 것과 비슷한데요 이 경우에는 a, b, c 의 값으로 0을 고른다고 생각하면 됩니다 이 값이 a, 이 값이 b, 그리고 이 값이 c가 되겠죠? a, b, c의 값으로 R³의 임의의 벡터를 고를 수 있으므로 0의 벡터를 고르는 것입니다 c1, c2, c3의 값은 어떻게 계산되는지 살펴봅시다 a=b=c=0 이라고 하면 이 벡터를 0으로 두는 것과 같습니다 이 세 벡터의 어떤 선형결합이 0의 벡터와 같을까요? a, b, c 모두가 0이므로 이 항도 0 이 항 또한 0, 그리고 이 항도 0일 것입니다 그렇다면 1/11 x ( 0 - 0 + 0 ) 이 되어 전체가 0이 되겠군요 그러므로 c3는 0입니다 c3가 0이고 a와 b 또한 0임을 알고 있으므로 c2 = 1/3 x 0 c2 또한 0이 됩니다 c1은 어떨까요? c3는 0 c2도 0이므로 2 x 0 = 0 그러므로 c1 = a 일텐데 a값은 0이라고 했었죠 그래서 이 식의 유일한 해는 즉 세 벡터 조합이 0의 벡터가 되려면 모든 계수가 0일 때 존재합니다 방금 c1, c2, c3 모두가 0임을 계산했습니다 모두 0이기 때문에 선형독립하는 벡터집합이 됩니다 이 중 어떠한 벡터도 다른 두 벡터의 결합으로 표현될 수 없다는 뜻도 됩니다 흥미롭지요? R³을 생성하는 정확히 세 벡터가 있고 그 벡터들은 선형독립합니다 이 말은 즉, 다른 두 벡터의 조합으로 표현되는 중복되는 벡터가 없다는 것이고 정확히 세 개의 벡터가 R³를 생성한다는 것입니다 그러므로 증명하지 않아도 일반적으로 R³를 생성하는 세 개의 벡터가 있다면 그 벡터들은 선형독립한다는 것입니다 선형독립하지 않는다면 그 중 하나는 중복되었거나 필요없다는 뜻이죠 이 벡터가 중복되는 벡터라고 가정해 봅시다 그렇게 가정하면, 이 말은 곧 나머지 두 벡터의 생성이 이 벡터와 같다는 뜻이 될 것입니다 왜냐하면 이 벡터는 나머지 두 벡터의 생성의 일부라고 볼 수 있기 때문이죠 하지만 나머지 두 벡터의 생성은 절대 R³를 생성하지 않습니다 다르게 생각해보면 세 개의 벡터가 세 개의 요소로 된 집합이며 모두 선형독립한다면 그 벡터들이 R³을 생성한다고 볼 수 있습니다 증명해보이진 않았지만 각각의 벡터가 방향성을 제시한다는 사실을 알면 좋겠네요 하나의 벡터는 이 방향입니다 벡터들이 서로 완전히 직교하지는 않지만 적당한 방향성을 가질 만큼의 크기를 가지고 있다고 볼 수 있죠 이 강의가 도움이 되었으면 합니다 다음 강의에서 만나요