선형독립 더 알아보기

지금쯤이면 선형독립이 무엇인지 어느 정도 이해하셨을 겁니다 그러면 이제 조금 더 공식적인 정의를 내립시다 자 그러면 벡터들의 집합을 정의해봅시다 벡터의 집합 S의 원소가 v1, v2, 이런식으로 해서 vn까지 있을 때 이 집합을 선형종속으로 부르겠습니다 선형종속입니다 필요충분조건으로서 어떤 때에는 "필요충분"을 "iff"라고 어떤 때에는 "if and only if" 라고 쓰기도 합니다 가끔은 양방향 화살표로 나타냅니다 필요충분조건으로서 다음 방정식을 만족시킨다면 상수 c1, c2, ... 에 대한 집합이 존재합니다 이 상수들은 선형결합에 의해 c1·v1+...+cn·vn = 0 을 만족시킵니다 이렇게 굵은 0으로 쓰기도 하고 이렇게 쓰기도 합니다. 이 벡터가 몇 차원인지 모르므로 이렇게 0들의 묶음으로 나타냅니다 실제 원소의 수는 몰라도 이해할 수는 있습니다 이 벡터의 집합이 선형종속인 것은 기억하세요, 독립이 아니라 종속입니다 선형종속인 것은 다음 방정식을 만족하는 것과 동치입니다 어떤 ci가 모두 0이 아닐 때 말이죠 모두 0은 아니라는 것이 핵심입니다 또는 다르게 말해 적어도 하나는 0이 아니라는 뜻입니다 그렇다면 이것이 지난 영상에서 이야기 한 것과 어떻게 상충될 수 있을까요? 즉, 주어진 집합에서 한 벡터가 다른 벡터와의 결합으로 나타낼 수 있다면 이는 선형종속일까요? 여기에 써보자면 한 벡터는 이렇게 써봅시다 다른 벡터들의 합으로 표현되는 한 벡터는 이렇게 쓸 수 있습니다 좀 더 수학적으로 써보죠 저번 시간에 선형종속이면 임의의 벡터 v1이 있을때 이 임의의 벡터 v1이 다른 벡터들의 선형결합으로 표현된다는 것을 배웠습니다 v1이 a2·v2+a3·a3+... an·vn 이라고 합시다 이것은 저번 시간에 배운것입니다 만약 이것이 선형종속이면 이 중 하나는 다른 것의 결합으로 표현할 수 있습니다 이것은 무엇을 의미하나요? 이것이 필요충분조건임을 보이려면 둘의 의미가 서로 같음을 보여야 합니다 이것은 간단히 증명할 수 있습니다 v1을 양변에서 빼면 0=-v1+a2·v2+a3·v3...an·vn 이와 같이 되는 것을 알 수 있습니다 그리고 방금 말했던 것처럼 이것은 선형종속입니다 즉 이 벡터가 다른 벡터의 합으로서 (-1)·v1에 다른 벡터들의 결합을 더한 것이 0인 방정식을 만족합니다 그리고 적어도 한 상수는 0이 아닙니다 따라서 다른 벡터의 합으로 한 벡터를 표현한다면 이 조건이 참임을 보였습니다 이제 반대로 해봅시다 한 벡터를 다른 벡터들의 합으로 나타낼 수 있는지 확인해 봅시다 따라서 이것을 참이라고 가정합니다 이 중 한 상수에 대해서 단 여기서 적어도 하나는 0이 아닙니다 간단하게 하기 위해 임시로 색을 바꾸어서 자홍색으로 써보겠습니다 c1은 0이 아니라고 가정하면 c1은 0이 아니라고 가정하면 방정식의 양변을 c1으로 나눌 수 있습니다 뭐가 나오나요? v1부터 이어지는 이 식이 0임을 알 수 있습니다 그리고 이제 방정식의 양변에 -v1을 더하거나 v1을 뺄 수 있습니다 그러므로 이러한 식을 얻을 수 있습니다 이 식은 -v1과 같습니다 양변을 -1로 곱하면 이렇게 부호가 바뀌고 -v1은 v1이 됩니다 이제 적어도 한 상수가 0이 아닐때 벡터 v1을 다른 벡터의 결합으로 표현할 수 있습니다 그러므로 이렇게도 할 수 있습니다 만약 이 조건이 맞다면 이 중 한 벡터는 다른 벡터의 결합으로 표현 가능합니다 이 중 한 벡터를 다른 벡터의 결합으로 표현 가능하다면 또한 이 조건은 참입니다 이제 이 두가지가 동치임을 증명했습니다 약간은 지나칠지 모르겠습니다 이제 정의를 적용해봅시다 왜 이러한 과정을 거쳤느냐 한다면 이러한 과정이 선형독립인지 아니면 종속인지 알아보는 유용한 방법이기 때문입니다 해봅시다 새로 발견한 도구를 써봅시다 벡터의 집합이 있을때 여기에 써보겠습니다 공간을 잘 활용합시다 벡터 (2,1), (3,2)의 집합이 있을때 이들이 선형독립인지 아니면 선형종속인지 생각해봅시다 선형종속이기 위해서는 어떤 상수 곱하기 (2,1)과 어떤 상수 곱하기 (3,2)를 더한 것이 0이 되어야 합니다 두 상수 모두 0일 필요는 없습니다 문제에 들어가기 앞서 우리가 구하고자 하는 것을 기억합시다 만약 둘 중 하나가 0이 아니면 이것은 곧 이 집합이 선형종속임을 말합니다 c1과 c2가 0인 것이 이 방정식을 만족하는 유일한 방법이라면 즉 모든 상수가 0이면 방정식이 성립합니다 하지만 모든 상수가 0인 방법 외에 방정식을 만족시킬 수 없다면 이것은 선형독립입니다 이제 계산해 봅시다 대수학에서 배웠던 내용입니다 이것이 참이라면 2·c1+3·c2=0 을 만족할 것이고 여기서 이것이 0벡터이므로 (0,0)으로 다시 써줍시다 그러므로 2·c1+3·c2=0임을 알 수 있고 1·c1+2·c2=0 임을 알 수 있습니다 미지수가 2개인 두 방정식입니다 이건 풀 수 있습니다 첫번째 식을 2로 나누면 c1+(3/2)·c2=0 이라는 식이 얻어집니다 이제 빨간색 식에서 초록색 식을 빼면 다음과 같습니다 2-(3/2)=(1/2)이므로 (1/2)c2=0입니다 이것은 간단히 풀립니다 c2=0입니다 그러면 c1은 c2=0을 대입하여보면 이것이 0이므로 c1+0=0이고 c1도 0임을 알 수 있습니다 위의 식으로 해도 똑같은 결과가 나옵니다 따라서 방정식을 만족하는 답은 c1와 c2가 0일 때 뿐입니다 따라서 둘 모두 0이 되야합니다 따라서 이것은 선형독립인 집합입니다 따라서 어느 한 가지도 다른 하나와 중복되지 않습니다 다른 벡터의 결합으로 표현 불가능합니다 두 벡터가 서로 선형독립이므로 span(S)=R²입니다 이 벡터들의 생성이 R²입니다 만약 한 벡터가 나머지 벡터에 수를 곱한 것이라면 집합의 생성은 직선으로 R²의 일부입니다 그러나 이 두 벡터의 결합으로 R²의 모든 벡터가 표현 가능합니다 다른 예제를 풀어봅시다 옆으로 옮겨서 설명하겠습니다 너무 아래로 가다보면 내용이 섞이니까 말이죠 이번 예제는 벡터 집합입니다 벡터 (2,1)과 (3,2), 그리고 (1,2)가 집합의 원소입니다 이것이 선형독립인지 종속인지 알고 싶습니다 똑같이 하면 됩니다 영상 초반에 증명한 작은 정리를 이용해봅시다 선형종속이려면 일단 어떤 상수들 c1, c2, c3에 대해서 이 벡터들에 상수를 차례로 곱한 것의 합이 0벡터가 되어야 합니다 이중 적어도 하나가 0이 아니면 선형종속입니다 그리고 모두 0이면 독립이죠 이제 일차방정식을 풀어봅시다 2·c1 + 3·c2 + c3 는 0과 같아야합니다 아래 행에서도 똑같이 해줍시다 벡터와 각 항의 스칼라를 곱하므로 다음의 식이 나옵니다 1·c1 + 2·c2 + 2·c3 = 0 이 문제에는 몇 가지를 바로 알 수 있습니다 2차원 벡터가 3개라면 그중 하나는 없어도 됩니다 이는 만약 이 두 벡터가 선형독립이면 그 생성이 R²이기 때문입니다 다시 말해서 2차원 좌표상의 어떤 점도 이 둘의 결합으로 표현이 가능하다는 것입니다 이 경우도 벡터가 2차원상의 벡터이므로 표현이 가능합니다 따라서 이것은 선형종속일겁니다 만약 선형독립이 아니라면 이것은 서로의 스칼라곱에 불과하고 이 경우 이 집합이 선형종속임을 알 수 있습니다 세 벡터가 R²에 속하므로 즉 2차원 벡터이므로 이것은 곧바로 선형종속인 집합이 됩니다 하지만 이것을 우리의 작은 정리를 통해 종속임을 보이겠습니다 0이 아닌 c3, c2, c1을 구해서 이 식이 0임을 보이겠습니다 만약 이것이 모두 0이면 0이라 가정한다면 만약 0이여야만 한다면 이는 선형독립이 됩니다 이제 보여드리겠습니다 임의의 c3를 고를 수 있습니다 c3를 -1이라 했을 때 만약 이 두 방정식을 뺀다면 세 미지수와 두 식이 나와서 방정식을 풀기에는 조건이 부족합니다 그래서 c3를 임의로 잡았습니다 어느 수든지 상관없습니다 만약 c3가 -1이라면 당신은 이러한 식을 얻습니다 2·c1 + 3·c2 - 1 = 0 그리고 c1 + 2·c2 - 2 = 0 -2는 -1의 두배니까 말이죠 이제 방정식을 풀어봅시다 두번째 식에 2를 곱하고 나면 2·c1 + 4·c2 - 4 = 0 이고 윗 식에서 아래 식을 빼면 c1이 소거됩니다 3·c2 - 4·c2 = -c2 이고 -1 - (-4) 는 -1 + 4이므로 -c2+3=0이 됩니다 다시 검토해봅시다 -1 - (-4) 를 계산하면 -1 + 4 이므로 3입니다 그래서 -c2 + 3 = 0 입니다 -c2 = -3 이므로 c2 = 3 입니다 만약 c2가 3이고 c3가 -1이면 대입해서 계산해보면 c2 = 3이고 c3 = -1 이므로 c1 + 6 - 2 = 0입니다 c1 + 4 = 0이므로 c1 = -4입니다 이들의 결합이 0벡터이라고 했으므로 첫 벡터에 -4를 곱하고 두번째에 +3을 곱한뒤 -1을 세번째에 곱하여 더하면 0입니다 한번 검산해봅시다 -4 × 2 = -8이고 -8 + 9 - 1은 -9 + 9 이므로 0이고 또한 -4 + 6 - 2 = 0입니다 이제 이 벡터들의 선형결합에서 어느 상수도 0이 아닙니다 적어도 하나가 0이 아님을 보여야하지만 여기서는 셋 모두 0이 아님을 보였습니다 적어도 하나는 0이 아니여야 합니다 그리고 이 방정식을 만족해서 0벡터로 만들 수 있었습니다 그러므로 이 벡터들의 집합이 선형종속입니다 즉 이 벡터 중 하나는 필요없습니다 그러나 이것이 결합으로 나타나기 때문에 필요없다고만 말할 수는 없습니다 이 벡터를 불필요하다 한다면 이를 나머지 둘의 결합으로 표현 가능합니다 항상 필요없는 건 없습니다 이 중 어느 것도 다른 것의 결합으로 표현 가능합니다 이제 선형종속과 독립에 대해서 이해하셨기를 바랍니다 다음 시간에는 몇 가지 예를 더 살펴보겠습니다