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여러분이 앞으로 수많은 강의에서 여러 번 듣게 될 용어는 여러분이 앞으로 수많은 강의에서 여러 번 듣게 될 용어는 선형대수학 전반적으로 등장하는 선형결합입니다 선형결합입니다 벡터의 선형결합이라는 것은 말 그대로 선형결합인데 무슨 말인지 설명하겠습니다 여러 벡터가 있다고 합시다 v1, v2, ... , vn과 같이 말이죠 모두 R²상의 벡터일 수도 있고 Rⁿ상의 벡터일 수도 있습니다 Rⁿ상의 벡터라고 해보죠 이 벡터들은 특정한 차원의 실수공간 위에 있어요 하지만 그 개념은 꽤 단순합니다 이 벡터들의 선형결합이라는 건 단순히 다 더하라는 거예요 이건 벡터들의 합의 결합이므로 v1 + v2 + ... + vn까지 더하는데 임의의 상수배를 합니다 c1, c2, ... , cn로 상수배를 하는 것이죠 여기서 c1에서 cn까지는 모두 실수입니다 이것이 선형결합의 전부입니다 선형결합의 구체적인 예시를 보여드리죠 벡터 하나를 만들어 볼까요 벡터 a를 정의해봅시다 굵은 글씨로 하죠 여기 보라색 굵은 글씨의 벡터들이 있습니다 하지만 사실 매번 굵은 글씨로 쓰는 건 좀 귀찮아요 하지만 사실 매번 굵은 글씨로 쓰는 건 좀 귀찮아요 우선 a = (1, 2)라고 하겠습니다 b = (0, 3)라고 하고요 그러면 a와 b의 선형결합은 무엇일까요? 아마 a의 상수배 더하기 b의 상수배가 될거에요 따라서 0a + 0b가 될 수도 있어요 값은 당연히 뭐죠? 0 + 0 = 0이니까 (0, 0)이 되겠죠 즉, 영벡터 또한 선형결합입니다 즉, 영벡터 또한 선형결합입니다 0을 굵은 글씨로 써서 영벡터를 나타내죠 0을 굵은 글씨로 써서 영벡터를 나타내죠 0을 굵은 글씨로 써서 영벡터를 나타내죠 3a일 수도 있어요 무작위로 수를 고르는 중입니다 3a 에다가 그냥 재미로 음수로 해보죠 -2b를 더할게요 어떻게 되죠? 계산해 봅시다 써볼게요 3 - 2 × 0 즉 3 - 0 이고 3 × 2 = 6입니다 6 - 2 × 3, 즉 - 6 이므로 벡터 (3, 0)가 나오네요 이 또한 a와 b의 선형결합입니다 임의의 실수를 집어넣으면 a와 b의 또 다른 선형결합을 계속해서 얻을 수 있겠죠 만약에 세 번째 벡터 c = (7, 2)가 있다고 하면 기존 결합에 추가하여 8c를 더할 수도 있죠 이것도 다 선형결합입니다 근데 왜 그냥 결합이라고 안 부르나요? 선형이라는 말이 앞에 왜 꼭 붙어야 하죠? 여기서 상수배를 하고 있기 때문입니다 벡터끼리 곱하고 있는 게 아닙니다 벡터의 곱셈은 정의도 안 했고요 곱하는 몇 가지 방법이 있긴 하지만요 어쨌든 벡터를 제곱할 수도 없고 그게 무슨 말인지도 아직 모릅니다 하지만 어떤 결합에 대해서는 제곱하면 선형이 아니게 됩니다 결국 지금 하는 건 벡터를 다 더하는 거고 임의의 수로 상수배만 하는 것입니다 그래서 선형결합이라고 부릅니다 이쯤에서 여러분이 선형결합을 왜 설명하냐고 물을 수 있어요 이 개념을 소개하는 이유는 학생들이 처음 배울 때 많이 헷갈려 하는 개념이기 때문이에요 가르치는 방식 때문에 그런 것 같아요 여기서 제가 계속 다른 수를 넣었는데 a와 b의 선형결합에서요 그냥 c1, c2라고 불러도 무방할 것 같아요 c는 잠깐 잊어버립시다 여기에 다른 수를 아무거나 넣습니다 그럼 질문이 하나 떠오를 겁니다 이렇게 만들 수 있는 벡터를 다 모은 집합은 무엇일까요? 이건 그런 집합의 원소 중 하나에 불과합니다 그러나 a와 b의 선형결합을 모두 취해서 얻을 수 있는 모든 벡터의 집합은 무엇일까요? a와 b를 여기에 그려보겠습니다 시각적으로 먼저 생각해보고 그 다음 수학적으로 생각해봐요 a와 b를 봅시다 a는 (1, 2) 입니다 (1, 2)는 이렇게 생겼죠 이게 a입니다 b는 다른 색으로 해볼까요 노란색으로 할 겁니다 b는 (0, 3)이죠 b는 이렇게 생겼어요 그럼 이 벡터들을 더하고 빼면서 얻을 수 있는 모든 벡터의 집합은 무엇일까요? 앞서 말했듯이 두 벡터에 0을 곱하고 더하면 이 점을 얻게 됩니다 3a는 a를 3배 하는 것과 같죠 1a, 2a, 3a 이게 3a죠 3a는 이렇게 생겼을 거예요 이 3a에 2b를 더했죠? 아, 2b를 뺐네요 -b는 이렇습니다 -b는 이렇습니다 -2b는 이렇게 생겼고요 이게 -2b입니다 전부 표준점을 기준으로 하였습니다 -2b 입니다 3a와 -2b를 더하면 이 벡터를 얻지요 이 벡터는 앞서 계산한 바와 정확히 일치하네요 (3, 0)을 얻습니다 (3, 0)을 얻습니다 그러나 이건 그저 a와 b의 선형결합 중 하나의 결합이에요 3을 곱하지 않고 1과 1/2에 곱했을 수도 있어요 1.5a - 2b도 비슷하게 구할 수 있어요 대략 이렇게 생겼을텐데 제대로 그려볼게요 아마 이렇게 생겼을 겁니다 따라서 구하고자 하는 벡터는 이렇게 생겼을 것입니다 그래서 이 벡터를 선형결합으로 표현할 수 있다는 것을 보인겁니다 그래서 이 벡터를 선형결합으로 표현할 수 있다는 것을 보인겁니다 선형결합으로 이 벡터를 얻었어요 사실 R² 위의 어떤 벡터든 이 두 벡터 a, b의 선형결합으로 나타낼 수 있습니다 이 두 벡터 a, b의 선형결합으로 나타낼 수 있습니다 머릿속으로 예시를 떠올려 봅시다 머릿속으로 예시를 떠올려 봅시다 어디로 가고 싶은지 상관없이 a에 임의의 상수배를 취할 수 있습니다 a에 임의의 상수배를 취하고 거기에 임의의 상수배를 취한 b를 더합니다 b는 오직 위아래로만 가고요 어떤 상수배를 취해줍니다 따라서 이 선 위의 어떤 점이든 다 갈 수 있어요 a를 조금 더 키우고요 b의 어떤 상수배를 더하면 이 선 위의 모든 점을 다 얻겠죠 a를 음수배해주고 b를 어떤 방향으로든 더하면 저 선 위의 모든 점을 얻을 거예요 계속해서 할 수 있습니다 이 a를 임의의 수로 상수배해서 여기 빈 공간을 채우지 못할 이유가 없어요 이 점을 얻고 싶다면 a를 조금 줄인 뒤에 이 선을 전부 채우게끔 b 전부를 더하면 되죠 이 선을 전부 채우게끔 b 전부를 더하면 되죠 따라서 R² 위의 모든 점을 a와 b의 선형결합으로 얻습니다 결론은 이 생성이 직접 쓸게요 a와 b의 생성이 R² 혹은 R² 위의 모든 벡터와 같습니다 즉, 모든 2-튜플 말이죠 R²는 두 실수로 이루어진 2-튜플 즉 순서쌍들의 집합이죠 따라서 이는 R² 전체와 같습니다 R² 위의 모든 벡터를 a와 b의 선형결합으로 나타낼 수 있다는 뜻입니다 어떤 두 벡터만 있으면 가능하지 않냐고 할 수도 있습니다 만약에 a와 b를 설정한다면 a=(2, 2) b=(-2, -2)로 합시다 b=(-2, -2)로 합시다 그럼 이 둘로 모든 벡터를 나타낼 수 있나요? a의 크기를 마음대로 조절할 수 있으니 이 선 위의 어떤 점이든 a로 갈 수 있고 b를 더할 수도 있는데 사실 b는 본질적으로 같은 방향에 있죠 그저 방향이 반대일 뿐이지만 음수배하여 이 선 위 아무 데든 갈 수 있습니다 결국 a와 b의 선형결합은 표준점에 대해 나타냈을 때 항상 이 선 위에 놓이는 거죠 a나 b와 같은 기울기를 가진 벡터라는 거죠 기울기, 경사 여러가지 이름이 있겠지만요 a와 b로 선형결합을 어떻게 구했든 간에 c를 나타낼 수 있는 방법은 절대 없습니다 c를 나타낼 수 있는 방법은 절대 없습니다 불가능하죠 표준형태에서 더할 수도 있고 a와 b의 길이를 조정하여 시작점과 끝점을 연결해도 모두 이 선 위에 놓여요 여기로는 절대 갈 수가 없죠 결국 이 경우에는 이 생성이 정확하게 말하자면 이 파란색 a와 노란색 b의 생성에 대해서가 아닌 이 특정한 a와 b의 생성에 대해서 그 생성은 이 선이라는 겁니다 정확히 이 선이요 R² 전체가 아닙니다 저 예시를 들었을 때 질문을 했었죠 저 예시를 들었을 때 질문을 했었죠 벡터 두 개를 아무렇게나 잡아도 R² 전체를 생성하나요? 아닙니다 전체를 생성하지 못하는 두 벡터를 보여드렸잖아요 영벡터의 생성은 무엇일까요? 벡터 표시도 해주고 굵은 글씨로 할게요 영벡터는 그냥 (0, 0)이니까 어떤 상수배를 하든 똑같죠 영벡터는 그냥 (0, 0)이니까 어떤 상수배를 하든 똑같죠 생성은 이 선형결합을 다 모은 집합인데 어떤 실수를 여기다 붙여도 상관없지만 결국 결과는 (0, 0)이 되죠 즉 영벡터의 생성은 그저 영벡터 하나 뿐입니다 영벡터 자신의 선형결합으로 얻을 수 있는 유일한 벡터는 영벡터 자신뿐이라는 겁니다 비슷하게 한 벡터의 생성을 보면 여기에 예시를 들어볼게요 벡터 a가 이렇게 있습니다 더 좋은 색으로 써볼게요 벡터 a가 저렇게 생겼단 말이죠 만약 a의 생성이 무엇이냐고 묻는다면 a 자신의 선형결합으로 얻을 수 있는 벡터들은 무엇이냐고 묻는 것과 같습니다 그러니까 단순히 상수배합니다 결합이라 부르기도 어려워요 그냥 ca 꼴의 모든 벡터입니다 매개화시키거나 매개화된 직선의 표현을 그 영상에서 보았듯이 벡터 a의 생성은 a의 크기를 바꾸면서 얻는 직선입니다 a의 생성은 그냥 직선이에요 만약에 벡터 두 개의 생성이 R²가 된다면 두 벡터는 같은 직선상에 있으면 안 됩니다 그걸 증명하지는 않았지만 지금 이 예시에서 볼 수 있듯 이런 a와 b를 잡으면 이 두 벡터로 R² 전부를 나타낼 수 있습니다 R²를 생성하는 벡터 중에서 물리 수업을 조금 들으셨다면 가장 친숙한 벡터는 아마 단위벡터 i와 j일 겁니다 단위벡터 i와 j일 겁니다 물리 시간에 배운 i는 벡터 (1, 0)일 겁니다 이게 벡터 i 이고 벡터 j는 (0, 1)이죠 물리 수업에서 이렇게 배웠을 거예요 다른 색으로 할게요 이게 j입니다 이게 j입니다 두 벡터가 직교한다는 걸 배웠을 테고 직교가 무엇인지 나중에 또 얘기하겠지만 고등학교 수준으로 말하자면 서로 90도로 만난다는 거죠 명백히 어떤 각이든 어떤 R² 위의 벡터이든 이 두 벡터로 나타낼 수 있죠 두 벡터가 직교한다는 사실이 이 벡터들이 더 좋아지는 이유인데요 아직 정의하지 않은 용어를 쓰자면 이 벡터들이 기저를 이룹니다 이 벡터들이 R²의 기저를 이뤄요 R²의 어떤 벡터든 이 두 벡터로 나타낼 수 있죠 R²의 어떤 벡터든 이 두 벡터로 나타낼 수 있죠 기저가 무엇인지는 아직 정의를 않겠습니다 나중에 나올 겁니다 하지만 일단 생성에 대해서는 수학적인 정의를 내릴게요 만약 벡터 v1, v2, ..., vn으로 이루어진 집합의 생성이라고 하면 그 집합의 생성은 벡터들을 모으는데 어떤 벡터들을 모으냐면 c1v1 + c2v2 + ... + cnvn으로 표현이 되는 그런 벡터들을 다 모읍니다 c1v1 + c2v2 + ... + cnvn으로 표현이 되는 그런 벡터들을 다 모읍니다 이게 벡터들의 집합이 되죠 모든 i에 대해 각 ci는 실수입니다 각 ci는 실수이고 여기 각각의 벡터를 임의의 실수만큼 상수배하고 여기 각각의 벡터를 임의의 실수만큼 상수배하고 다 더한다는 거예요 이런 선형결합을 다 모은 집합이 바로 이 벡터들의 생성입니다 이 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있는 공간 전체를 나타낸다고 생각할 수 있습니다 공간 전체를 나타낸다고 생각할 수 있습니다 이 생성이라는 용어가 나름 직관적이라고 생각합니다 예컨대 제 첫 번째 예시에서 이 두 벡터 a와 b가 R²를 생성한다는 걸 보였죠 여기에 썼었죠 R² 위의 어떤 벡터든지 a와 b의 선형결합으로 나타낼 수 있다는 거예요 이런 확실하지 않은 증명이 시각적으로 납득이 잘 안 되신다면 대수적으로 증명을 하겠습니다 무슨 소리를 하는 거냐면 결국 어떤 벡터를 아무렇게나 잡았을 때 벡터 a와 b를 다시 쓸게요 a=(1, 2)였고 b=(0, 3)이었죠 기억하세요 a=(1, 2), b=(0, 3)입니다 이를 이용하여 어떤 벡터든지 나타낼 수 있다고 하였습니다 R² 위의 어떤 점 x를 나타낸다고 해 봅시다 좌표는 (x1, x2)이고요 x1과 x2를 이 두 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있다는 걸 보이면 되겠죠 x1과 x2를 이 두 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있다는 걸 보이면 되겠죠 따라서 선형결합은 c1 × a + c2 × b가 x와 같아야 하죠 이제 어떤 x가 주어졌을 때 c1과 c2를 반드시 찾을 수 있다는 걸 보여드리죠 c1과 c2를 반드시 찾을 수 있다는 걸 보여드리죠 여기서 벡터들을 열 형태로 정확히 나타낼게요 여기서 벡터들을 열 형태로 정확히 나타낼게요 c1에 이 벡터를 곱한 것에 c2 × b를 더하면 c2 × (0, 3)을 더하면 (x1, x2)가 나와야 합니다 이 때 x1과 x2는 임의의 수입니다 (x1, x2)가 나와야 합니다 이 때 x1과 x2는 임의의 수입니다 이것이 성립하는지 확인해 봅시다 만약 참이라면 다음 명제가 참이어야 합니다 c1 × 1 + c2 × 0 = x1 벡터의 스칼라곱과 덧셈 정의에서 나오는 결과죠 그리고 2 × c2와 아니죠 2 × c1 + 3 × c2 = x2 위 식이 성립해야 합니다 이제 x1과 x2가 주어졌을 때 이에 해당하는 c1과 c2를 항상 구할 수 있다면 R² 위의 모든 점을 이 두 벡터로 얻을 수 있다는 것이 증명되겠죠 가능한지 봅시다 미지수가 2개인 연립방정식이네요 이건 0이니까 무시할 수 있고요 이 방정식에 -2배를 한 뒤에 여기다 놓죠 -2 × c1이 되고 모든 항을 -2배 합니다 여긴 0이고 여긴 -2 × x1입니다 그다음 두 식을 더합니다 3 × c2를 얻죠 서로 지워지고요 다른 색으로 쓸게요 3 × c2 = x2 - 2 × x1가 됩니다 양변을 3으로 나누면 c2 = 1/3 (x2 - x1)이 되겠죠 이제 c1를 구해봅시다 첫 번째 방정식을 보면 c1 + 0 = x1입니다 즉, c1 = x1이네요 구했습니다 c1 = x1이에요 그러면 R² 위의 어떤 점을 잡든 간에 임의의 실수 두 개를 잡는 건데요 이대로 계산하여 그 점을 얻으려면 a와 b에 정확히 얼마만큼 상수배를 하는지 알 수 있죠 그 점을 얻으려면 a와 b에 정확히 얼마만큼 상수배를 하는지 알 수 있죠 a와 b의 선형결합을 어떻게 해야 저 점에 도달할 수 있는지 봅시다 다시 올라갈게요 저 위에 있네요 (2, 2)에 도달한다고 가정합시다 x1 = 2 입니다 직접 써보면 벡터 (2, 2)로 가고 싶다고 하면 a와 b의 어떤 선형결합이 이를 가능하게 하나요? c1 = x1이므로 c1 = 2이고 c2 = (1/3) × (2 - 2) 입니다 2 - 2 = 0이므로 c2 = 0 가 나오겠네요 따라서 (2, 2)를 얻고 싶다면 앗, 제가 실수했네요 뭔가 이상하다 싶었는데 말이죠 여기서 작은 실수를 했는데요 실제 수를 대입해서 해보길 잘했군요 3 × c2 = x2 - 2 × x1 인데 여기서 2를 지웠어요 여기 2가 있어야죠 3으로 양변을 나누니까 (1/3) × (x2 - 2x1) 가 되어야죠 어쩐지 이상하다 싶었어요 잠깐 멈추고요 c2를 정확하게 정의해 봅시다 c2는 1/3 에 x2 그러니까 2 - 2 × x1이니까 2 × 2를 빼는 거죠 즉, 1/3 × (2 - 4)니까 2 - 4 = -2고 -2/3 이 나오겠네요 따라서 2a - (2/3)b를 계산하면 (2, 2)를 얻는다는 거죠 직접 확인해 볼 수 있을 거예요 2a = 2(1, 2) 에서 (2/3)b = 2/3(0, 3) 을 빼면 (2, 2)이 나올 겁니다 (2, 2)이 나올 겁니다