전치행렬의 합과 역

전치의 흥미로운 특성들을 증명해보도록 하겠습니다 여기 행렬 C가 있습니다 C는 행렬 A와 B의 합과 같은 행렬입니다 그러므로 C의 모든 원소들, cij는 i행과 j열을 뜻하죠 각각의 원소는 A와 B의 각 원소들의 합이 됩니다 C의 ij원소는 A 와 B의 ij 원소의 합이라는 것이죠 이것이 바로 행렬덧셈의 정의입니다 같은 행과 열에 대응하는 원소들을 서로 더해주면 같은 행과 열에 대응하는 하나의 행렬이 됩니다 그러면 이 행렬의 전치행렬을 알아봅시다 A는 이러한 모양입니다 원소들을 그려볼게요 모든 원소들은 ij번째로 나타낼 수 있습니다 A의 전치행렬은 이런 모습이죠 각각의 원소는 a프라임 ij로 나타낼 수 있습니다 이 두 원소들은 당연히 다르겠죠 어떠한 변화가 있었기때문에 같을수가 없습니다 하지만 모두 ij 를 가집니다 i번째 행, j번째 행 A의 전치행렬. 이제 치환행렬이라는 것이 각각의 행과 열이 열이 행으로 서로 바뀌고 행이 열로 바뀐다는 것이죠 그러면 이 a프라임 ij를 aji로 나타낼 수 있습니다 aji말입니다 이 원소가 A의 저 원소와 같은 위치에 있습니다 그리고 행과 열이 바뀌었다면 같은 원소일 것입니다 이해하실겁니다 그리고 B에 대해서 이제 계산해볼게요 B를 그려봅시다 B의 전치행렬을 구하면 i번째행과 j번째 열의 위치에 b프라임 ij원소들이 있습니다 이런식으로요 A에 했던거와 마찬가지이죠 b프라임 ij는 j번째 행과 i번째 열을 가진 원소들입니다 이것이 바로 전치행렬의 정의이죠 이제 세번째 행의 두번째 열에 있다고 하면 여기서는 두번째 행과 세번째 열과 같습니다 그러니 cij가 무엇과 같은지 이제 바로 알 수 있습니다 cij의 전치행렬은 어떻게 될까요? C의 전치행렬을 적어보면 C의 전치행렬은 이렇게 표기할게요 여기서 프라임은 전치를 뜻합니다 C의 전치행렬은 cij원소들이 있겠죠 그리고 프라임을 붙여 전치행렬임을 표시합니다 그리고 c 프라임 ij는 cji와 같습니다 새롭지 않죠 이제 우리는 이 행렬들의 전치행렬들을 모두 나타내주었습니다 이제 cji가 무엇이 되나요? cji는 cij는 aij 더하기 bij였습니다 그러니 i와 j의 위치가 바뀌면 a ji 더하기 b ji가 되겠죠 이 위의 식을 가지고 우리는 이 아래식을 유추해냈습니다 만약 여기 x와 y 가 있었다면 나머지도 x와 y 가 오고 j와 i가 있으니 여기에도 i와 j가 오게 되었습니다 그럼 이것은 무엇인가요? 어떤 값을 가지게 되나요? 여기 이 값은 a프라임 ij와 같습니다 그리고 이 값은 b 프라임 ij와 같죠 이것이 무엇을 의미하나요? C의 전치행렬은 A 더하기 B는, A와 B의 전치행렬의 합은, C의 전치행렬이 되는 것입니다 여기에 적어볼게요 C의 전치행렬은 A와 B의 전치행렬의 합과 같습니다 그러므로 A 와 B 전치행렬의 각 원소는 이렇게 되죠 그러면 이것은 무엇인가요? 무엇을 나타낼까요? 이 행렬의 원소들입니다 여기 등부호를 하나 적어주세요 이제 어떻게 되나요? A와 B의 전치행렬의 합이 되죠 맞나요? 이것은 A의 전치행렬의 원소들입니다 그리고 B의 전치행렬의 원소들이죠 이제 이두 원소들을 더하면 대응하는 원소들이 됩니다 이 두 행렬의 합을 구한 후 전치행렬을 구하면 각각의 전치행렬의 합과 같습니다 이해하기 쉽죠 전치행렬의 다른 특성을 하나 더 알아봅시다 여기 A의 역행렬이 있습니다 이번에도 전치행렬을 다룰 것입니다 만약 이것이 A의 역행렬이라면 A 곱하기 A의 역행렬이 단위행렬이 되죠 그리고 모두 n x n 행렬입니다 단위행렬 또한 n차원 행렬이죠 그리고 A의 역행렬과 행렬 A의 곱이 단위행렬이 됩니다 그러면 등식의 쪽 모두 전치를 취해봅시다 동시에 계산해볼게요 만약 이 등식의 양쪽에서 전치행렬을 구하면 A와 A의 역행렬의 곱의 전치행렬은 단위행렬의 전치행렬이 됩니다 그러면 단위행렬의 전치행렬은 무엇인가요? 제가 적어보겠습니다 단위행렬은 이런 모습의 행렬입니다 대각선 위에는 1만 존재하고 나머지는 모두 0입니다 이 행렬의 원소들을 i11, i22부터 inn까지라고 생각하셔도 됩니다 그리고 나머지는 모두 0이죠 전치행렬을 찾으려면 여기 이 0들을 서로 바꿔주면 됩니다 대각선 위의 원소들은 변하지 않죠 대각선이 변하지 않기 때문에 단위행렬의 전치행렬은 그대로 단위행렬이 됩니다 비슷한 것을 여기 적용시킬 수 있습니다 이것의 전치행렬을 구해봅시다 A와 A역함수의 전치행렬의 곱은 단위행렬의 전치행렬과 같다고 합니다 즉, 단위행렬이 되죠 그리고 전치행렬의 곱을 구하면 어떻게 되는지도 알고있습니다 순서가 바뀐 전치행렬의 곱이 되죠 그러므로 A의 역행렬의 전치행렬 곱하기 A의 전치행렬은 단위행렬이라고 식을 적을 수 있습니다 A의 전치행렬과 A의 역행렬의 전치행렬은 단위행렬이라는 뜻이죠 만약 이 부분과 A의 전치행렬을 곱하면 단위행렬이 됩니다 그리고 A의 전치행렬과 이 부분을 곱해도 단위행렬이 되죠. 이것은 A 역행렬의 전치행렬이 A 전치행렬의 역수와 같음을 의미합니다 또는 A의 전치행렬을 구하고 그것의 역행렬을 구한 것과 이것이 같다는 의미이기도 합니다 이것은 A의 역행렬의 전치행렬과 같습니다 이것도 새로운 사실이죠 어떤 행렬의 역행렬의 전치행렬은 그 행렬의 전치행렬의 역행렬과 같습니다