전치벡터

Rn에 벡터 v가 있습니다 n개의 성분을 갖고있죠 v1, v2부터 vn까지 있습니다 이전에 전치행렬에 대해 다룰 때, 다룬적이 있는 내용입니다 이러한 경우의 벡터, 열 벡터 또한 전치가 가능합니다 v를 전치하면 어떻게될까요? n x 1 행렬이라고 생각하실 수 있습니다 n개의 행과 1개의 열로 이루어진 행렬이죠 그러면 전치행렬은 어떻게될까요? 1 x n 행렬이 됩니다 하나의 열이 하나의 행이 되고 그러면 v1, v2부터 vn까지 하나의 행을 이루겠죠 그리고 이것은 우리가 이미 많이 다루었던 내용입니다 여기 행렬 A가 있습니다 이 행렬의 행벡터를 열벡터의 전치벡터, a1전치벡터, a2 전치벡터부터 an 전치벡터를 가지게 되죠 사실 지난 영상들에서 이런 행벡터를 다룬 적이 있었고 열벡터의 전치벡터라고 얘기했어도 되었을것입니다 그리고 전치벡터로 생각하는것이 훨씬 편리합니다 열벡터들의 연산을 정의하였기때문에 먼저 전치행렬을 구해주고 연산을 해주면 됩니다 어쨌든 다시 원래 계산으로 돌아갑시다 여기 이 벡터 v를 다른 벡터와 연산해봅세다 자 여기 벡터 w가 있습니다 Rn 안의 벡터이죠 w1, w2부터 wn까지 존재합니다 이제 우리가 이미 아는 사실들을 적용시켜봅시다 v와 w의 내적은 어떻게되나요? v1곱하기 w1, 더하기 v2 w2 그리고 vn wn 까지 더해준 값이 됩니다 두 열벡터 내적의 정의이지요 이제 이것을 v의 전치행렬에 어떻게 적용할 수 있을까요? v의 전치행렬을 구합니다 그러면 이렇게 적을 수 있죠 v1, v2부터 vn으로 이루어진 행이 됩니다 이것이 바로 v의 전치벡터이죠 그리고 w와의 곱을 구해보겠습니다 자 여기 w1, w2부터 wn까지 옵니다 이제 이 벡터들을 행렬로 생각한다면 행렬과 행렬의 곱으로 나타낼 수 있나요? 여기 n x 1 행렬이 있습니다 첫번째는 1 x n 행렬이고 하나의 행과 n개의 열이 있죠 그리고 n x 1 행렬이 있습니다 n개의 행과 하나의 열로 이루어져있죠 그러므로 곱셈이 성립합니다 여기 같은 개수의 열과 행이 있기 때문이죠 결과값은 1x1 행렬이 될 것입니다 이제 어떻게 계산될까요? 결과값은 v1 곱하기 w1 v1 w1더하기 v2 w2 하나의 원소만 존재합니다 1x1 행렬처럼 적어볼게요 v1 w1 더하기 v2 w2부터 vn wm 까지의 합을 적어줍니다 이것이 결과값입니다 이런 1x1 행렬이 되었죠 그리고 이 두 결과가 같다는것을 알아채셨을 것입니다 그러면 이제 v와 w의 내적이 w 와 v의 내적이기도 하죠 이것이 v의 전치행렬과 w의 곱 행렬과 행렬의 곱과 같아집니다 그러니 벡터 v를 행렬로 생가각하면 v의 전치벡터를 구해 w와 곱해주면 v와 w의 내적값이 되는 것이죠 매우 흥미로운 사실입니다 어쩌면 쉽게 알아채셨을 수도 있습니다 이러한 행렬과 행렬의 곱을 각각의 행과 열의 내적이라고 정의했던 적이 있으니까요 그리고 실제로 각 행과 열의 전치행렬의 내적을 말합니다 그러면 더 나아가봅시다 여기 행렬 A가 있습니다 여기 이 행렬 A는 m x n 행렬입니다 이제 이 행렬에 벡터 x를 곱해줍니다 x 또한 Rn안에 있습니다 n개의 원소를 가지고있다는 뜻이죠 n x 1 행렬로 보셔도 됩니다 그러면 이제 이 곱은 어떻게 되나요? 벡터 Ax의 값이 어떻게되나요? 이렇게 곱을 구한다는 것은 새로운 다른 벡터를 구하는것과 같습니다 m x 1 벡터가 되죠 그러면 이제 Ax가 Rm 안에 있다고 할 수 있습니다 m개의 원소를 가지고있겠죠 만약 Ax가 m개의 원소를 가진 z와 같다고 두면 z1, z2부터 zm 까지 존재한다고 합시다 A에는 m개의 행이 있기 때문에 m x n 행렬이기 때문에 x는 n x 1 행렬이죠 그러니 이 두 행렬의 곱은 m x 1행렬, 백터가 됩니다 그리고 Rm 안에 있죠, 정확히 m개의 원소를 가집니다 그러면 이것이 Rm 안의 벡터라면 다른 Rm의 벡터와의 내적을 구할 수 있습니다 자 여기 Rm안의 다른 벡터가 있습니다 벡터 y라고 합시다 y 또한 Rm안에 존재합니다 벡터 Ax는 m개의 원소를 가집니다 그러니 내적을 구하는 방법을 이미 잘 알고 있죠 적어보겠습니다 그러면 Ax벡터를 가지고 이 벡터와 내적을 해줍니다 그러면 숫자가 나오겠죠 각각의 항을 대응하는 항과 곱해서 모두 더해주면 내적값이 됩니다 값이 어떻게 될까요? 우리가 이전 영상에서 구한 값을 이용할 수 있습니다 지난 영상의 결과는 두 벡터의 내적값이 첫번째 벡터의 전치행렬이라고 했습니다 이것을 Ax의 전치벡터로 보면 되죠 m x 1 벡터가 되고, m x 1 벡터가 됩니다 1x m 행렬이 오고 이 행렬을 y와 곱해줍니다 이런식으로요 그러면 이제 어떻게될까요? 지난 영상에서 보았듯이 두 행렬의 곱을 구해서 전치행렬을 구하면 각 행렬의 전치행렬을 반대로 곱한 값과 같게 됩니다 순서를 바꿔주고 각각의 전치행렬을 구합니다 이 보라색 부분이 이제 x 전치행렬 곱하기 A의 전치행렬 곱하기 y가 되죠 단순한 행렬의 곱입니다 벡터 연산일 필요는 없습니다 우리는 지금 모든 벡터를 행렬처럼 계산하고 있습니다 그리고 행렬들도 행렬처럼 계산하고있죠 이제 값이 어떻게되나요? 우리는 행렬의 곱셈에 결합법칙이 적용된다는 것을 알고있습니다 괄호를 사용합니다 결합법칙을 이용하는 것이죠 이것이 x의 전치행렬 곱하기 나머지 두 행렬의 곱이라고 할 수 있습니다 여기 이 벡터는 m x 1 행렬로 표현이 되죠 곱하기 A의 전치행렬 곱하기 y 이런식으로요 이제 A의 전치행렬과 y의 곱을 알아봅시다 A의 전치행렬은 어떻게되나요? n x m 행렬이 됩니다 맞죠? 이것이 m x n 행렬입니다 그러면 벡터 y는 어떻게되나요? m x 1 행렬이 됩니다 그러면 이 두 행렬의 곱은 n x 1 행렬이 되겠죠 또는 이것을 Rn 의 벡터로 볼 수도 있습니다 Rn위의 벡터이죠 그러면 곱의 결과 역시 Rn의 벡터가 됩니다 그 벡터는 1 x n 벡터이죠 그리고 이제 다시 단위행렬로 돌아가봅시다 우리는 어떤 벡터의 전치벡터와 다른 벡터를 곱했습니다 이 벡터는 가로 원소들을, 저 벡터는 세로 원소들로 이루어졌죠, 이렇게 그러면 무엇과 같게되나요? 단위행렬을 생각해봅시다 x의 전치행렬 대신 x를 둡시다 이것은 x와 A의 전치행렬의 내적에 y를 곱해준 것입니다 간단하죠 이 식이 성립하게 됩니다 비록 결합법칙을 조금 다르게 적용시켰지만 순서를 조금 바꾸고 행렬의 전치행렬을 구했죠 이제 다시 적어볼게요 이번 영상에서 크게 두가지를 배웠습니다 v 와 w의 내적은 v의 전치행렬과 w의 곱과 같습니다 그리고 만약 행렬이 하나 있을 때 행렬 벡터 곱이나 내적 연산이 잘 정의되어 있죠 만약 Ax와 y를 내적하면 x와 A의 전치행렬의 내적에 y를 곱한것과 같게 됩니다 매우 유용한 결과들이죠 이제 이 결과들을 바탕으로 더 많은 선형대수학을 배울 것입니다