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행렬곱의 전치행렬

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여기 몇 개의 행렬이 있습니다 행렬 A는 mxn 행렬입니다 n개의 열과 m개의 행이 있죠 한 성분을 넣어보도록 하죠 쓸만할 지도 몰라요 이것은 이것은 j번째 열입니다 따라서 m번째 행은 Amj가 됩니다 바로 이 성분이죠 그리고 비슷한 행렬 B가 있습니다 하지만 mxn 행렬이 아닌 nxm 행렬입니다 따라서 이 성분은 이렇게 해보도록 하죠 이것은 아마 유용할 것입니다 이것은 n번째 행이 되고 이것은 j번째 열이 됩니다 그리고 이에 대한 전치행렬이 있습니다 B의 전치행렬을 보면 B는 원래 nxm 행렬이었습니다 이제 그 전치행렬은 mxn 행렬이 됩니다 그리고 모든 열은 행이 되겠죠 A도 마찬가지로 해봅니다 이것이 전치행렬입니다 A는 mxn 행렬이였지만 전치행렬은 nxm 행렬이 됩니다 그리고 각 행은 열이 되겠죠 자, 좋습니다 이제 새로운 두 행렬을 정의해보죠 행렬 C를 정의합니다 행렬 C를 정의합니다 여기에 해 봅시다 여기에 해봅시다 공간이 부족하네요 다른 곳에 해봅시다 C = AB로 정의합니다 C = AB로 정의합니다 그러면 C는 몇차원일까요? mxn 행렬과 nxm 행렬의 곱은 정의되어야 하죠 정의되어야 하죠 그 결과는 mxm 행렬이 됩니다 따라서 mxm 행렬이 됩니다 이제 다른 행렬을 정의해보죠 D라고 합시다 이것은 B의 전치행렬과 A의 전치행렬의 곱이라고 할게요 이것은 C와 차원이 같을 것입니다 mxn행렬과 nxm행렬의 곱이기 때문이죠 따라서 이들은 같습니다 곱셈이 정의되기 위한 조건을 만족하였으므로 B의 차원은 mxm이 됩니다 이제 C의 성분에 대해 알아봅시다 여기에 행렬 C를 나타낼게요 여기에 행렬 C를 나타낼게요 수많은 성분이 있겠죠 수많은 성분이 있겠죠 C11, C22, C12, ... ,C1m C11, C22, C12, ... ,C1m mxm행렬이기 때문에 어떻게 될지 상상이 가죠 여기는 Cmm이 됩니다 이렇게 반복해서 진행합니다 하지만 궁금한 것은 일반항 Cij를 어떻게 알아내냐는 거에요 특정한 성분을 어떻게 구할까요? C = AB 이죠 C = AB 이죠 따라서 C의 특정 성분을 알아내기 위해 이것을 전에 본 적이 있죠 이것을 전에 본 적이 있죠 C의 특정한 성분에 대해서 Cij는 이렇게 됩니다 이렇게 생각할 수 있어요 A의 i번째 행과 A의 i번째 행과 B의 j번째 열의 곱에 대해서 B의 j번째 열의 곱에 대해서 B의 j번째 열의 곱에 대해서 그 값은 무엇일까요? 그 결과는 Ai1 × B1j Ai1 × B1j Ai1 × B1j 더하기 Ai2 × B2j 더하기 Ai2 × B2j 더하기 Ai2 × B2j 마지막 항이 나올때까지 계속해서 더해줍니다 Ain × Bnj Ain × Bnj Ain × Bnj 마지막 항입니다 좋아요 이제 행렬 D를 구해볼까요? D의 성분은 어떻게 생겼을까요? 비슷하게, D는 이렇게 됩니다 비슷하게, D는 이렇게 됩니다 D11, D12 미안합니다 D11, D12, ... , D1m까지 있고 결국 Dmm이 나오겠죠 여기에 계속 성분을 넣을 수 있습니다 하지만 저는 의문점이 있습니다 여기의 일반적인 성분 예를 들어 Dji를 구하려고 합니다 예를 들어 Dji를 구하려고 합니다 예를 들어 Dji를 구하려고 합니다 구해볼까요 D의 어떤 특정 성분을 구하는 일반적인 방법을 알아보고자 합니다 j번째 행과 i번째 열은 보통 사용하는 문자와 다르긴 하지만 보통 사용하는 문자와 다르긴 하지만 괜찮습니다 첫 번째 값은 D의 행입니다 두 번째 값은 D의 열입니다 이 성분의 열이죠 그러면 어떻게 풀까요? Dji는 이와 같습니다 D는 이 두 값의 곱과 같습니다 그래서 여기 j번째 행과 i번째 열의 성분을 구하기 위해서 j번째 행에서 내적을 취해야 합니다 j번째 행에서 내적을 취해야 합니다 따라서 j번째 행의 내적을 하겠습니다 아마 이것이 되겠죠 A의 i번째 열과 함께 하겠습니다 A의 i번째 열과 함께 하겠습니다 여기 있는것 말이죠 내적하겠습니다 여러분은 아마 여기서 재밌는 것을 보았을 거에요 여기 이 값은 저기 저 값과 같습니다 여기 이 값은 저기 저 값과 같습니다 그리고 여기 이것은 저기 저것과 같아요 전치행렬이기 때문이죠 한번 써볼까요 한번 써볼까요? 그러면 이 내적값은 무엇일까요? 그러면 이 내적값은 무엇일까요? 그 값은 Bij 이 방식으로 나타내보죠 이 값은 Ai1 Ai1 Ai1 아니면 이렇게 나타낼 수 있겠죠 Ai1 × B1j 그리고 이것은 B2j × Ai2 입니다 그리고 이것은 B2j × Ai2 입니다 즉, Ai2 × B2j와 같죠 즉, Ai2 × B2j와 같죠 Bnj × Ain이 나올 때까지 계속합니다 Bnj × Ain이 나올 때까지 계속합니다 혹은 Ain × Bnj로 나타낼 수 있습니다 혹은 Ain × Bnj로 나타낼 수 있습니다 혹은 Ain × Bnj로 나타낼 수 있습니다 이제, 한번 알아봅시다 이 둘은 같습니다 이 둘은 완전히 똑같아요 Dji와 Cij는 동일합니다 Dji와 Cij는 동일합니다 이렇게 나타내 보겠습니다 Cij는 Dji와 같습니다 Dji와 같습니다 혹은 또 다른 방법으로 이렇게 애기할 수도 있죠 C의 i번째 행과 j번째 열에 해당하는 모든 성분에 대해서 모든 성분에 대해서 D의 j번째 행과 i번째 열에 있습니다 모든 성분에 대해서 이는 성립합니다 모든 성분에 대해서 말이죠 가능한 일반적으로 접근하였습니다 이 말은 무슨 뜻일까요? 이것은 전치행렬의 정의입니다 그러면 C의 전치행렬이 D와 같다는 것을 알 수 있습니다 또는 C가 D의 전치행렬과 같다고 할 수 있습니다 또는 C가 D의 전치행렬과 같다고 할 수 있습니다 꽤 흥미롭지 않나요? 이 둘을 어떻게 정의했죠? 행렬 C는 행렬 A와 B의 곱과 같다고 했죠 행렬 A와 B의 곱과 같다고 했죠 그리고 D가 B의 전치행렬과 A의 전치행렬의 곱과 같다고 하였습니다 B의 전치행렬과 A의 전치행렬의 곱과 같다고 하였습니다 여기 정의가 있어요 여기 정의가 있어요 D가 C의 전치행렬과 같다는 것을 알아냈습니다 D가 C의 전치행렬과 같다는 것을 알아냈습니다 따라서 C의 전치행렬 즉, AB의 전치행렬을 D라고 할 수 있습니다 따라서 이 값은 D입니다 즉 B의 전치행렬과 A의 전치행렬의 곱이죠 깔끔하네요 깔끔하네요 두 행렬의 곱의 전치행렬은 두 행렬의 곱의 전치행렬은 순서를 바꾸어 전치시킨 후 바뀐 순서로 곱을 취한 값입니다 B의 전치행렬과 A의 전치행렬의 곱 깔끔하지 않나요 그리고 곱을 취할 행렬의 수를 임의로 늘릴 수 있습니다 임의로 늘릴 수 있습니다 여기서 증명하진 않겠지만 상당히 간단합니다 행렬이 있다고 합시다 다른 문자로 해보죠 행렬 X, Y, Z를 모두 곱하고 전치시킨다면 그 결과는 Z의 전치행렬과 Y의 전치행렬, 그리고 X의 전치행렬의 곱입니다 일반적인 경우에 대해서 증명하지 않았죠 4, 5, 혹은 n개의 행렬을 모두 곱할 수도 있습니다 일반적으로는 가능하죠 이 수업에서 증명한 것을 이용하여 증명할 수 있습니다 이 수업에서 증명한 것을 이용하여 증명할 수 있습니다 두 행렬의 곱의 전치행렬은 두 행렬의 곱의 전치행렬은 각 행렬의 전치행렬을 반대의 순서로 곱한 것과 같습니다