행공간과 좌영공간

여기 행렬 A가 있습니다 2x3 행렬입니다 복습의 의미로 영공간과 열공간을 찾아봅시다 A의 영공간은 R3 안의 벡터 x이면서 A과 곱해졌을 때 영벡터가 되는 벡터들의 집합입니다 우선 R3 안의 모든 벡터 x를 찾아봅시다 자 다시 행렬 A를 적어주면 2, -1, -3, -4, 2, 6 이 행렬을 어떤 임의의 R3벡터 x1, x2, x3과 곱해줍니다 그리고 영벡터와 같다고 둡니다 이 영벡터는 R2안에 있겠죠 왜냐하면 행이 2개만 존재하니까요 2x3 행렬과 R3 벡터를 곱해주면 2x1 벡터 또는 2x1 행렬이 됩니다 그러므로 R2 안의 영벡터가 됩니다 이제 연립방정식을 풀어주게 되면 2 x1 빼기 x2 빼기 3 x3은 0이 되죠 행렬 인자들을 모두 적어주었습니다 2 -1 -3 -4 2 6 행렬이 있습니다 그리고 변수로 만들어주어 연립방정식으로 만듭니다 그리고 행연산을 통해 기약행사다리꼴로 바꿔줍니다 변수행렬의 오른쪽 원소들은 변하지 않아야합니다 그리고 이 변수들이 A의 기약행사다리꼴의 영공간이 A의 영공간이 된다는 것을 보여줍니다 그러면 우선 행연산을 해봅시다 우선 첫번째 행을 2로 나눠줍니다 그러면 1, -1/2 -3/2가 되죠 그리고 0은 당연히 그대로 0이 됩니다 그리고 두번째 행을 4로 나눠줍니다 간단하죠 4로 나눠주면 -1, 1/2, 3/2가 되고 0은 그대로 0이 됩니다 이제 첫번째 행은 그대로 두고 1, -1/2, 3/2, 0 을 그대로 옮겨적습니다 그리고 두번째 행을 두번째행과 첫번째 행의 합으로 둡니다 선형 연산이죠 -1 더하기 1은 0 1/2 더하기 -1/2는 0 3/2 더하기 -3/2는 0 0 더하기 0은 0이 됩니다 무엇이 남나요? 이제 행렬이 이렇게 되었습니다 이것은 바로 이제 이 A의 기약행사다리꼴을 곱해준다고 생각해봅시다 1, -1/2, -3/2 그리고 모두 0이 오죠 곱하기 x1, x2, x3가 R2의 영벡터가 됩니다 다르게 이 행렬연산을 표현하는 방법이죠 쓸모있지는 않습니다 0 곱하기 x1 더하기 0 곱하기 x2 더하기 0 곱하기 x3은 0이 되니까요 중요한 사실을 알려주지는 않습니다 하지만 첫번째 행은 다르죠 1 곱하기 x1 빼기 1/2 곱하기 x2 빼기 3/2 곱하기 x3은 0이 됩니다 이것을 만족하는 벡터는 모두 영공간 안에 존재합니다 다른식으로 적어보면 x1은 1/2 x2 더하기 3/2 x3이 됩니다 또는 벡터형식으로 적으면 영공간이 이 조건을 만족하는 모든 x1, x2, x3 벡터들의 집합이 됩니다 그러면 이것이 무엇과 같을까요? x2와 x3은 자유변수입니다 피보트 변수가 아닌것들과 연관되어있죠 또는 기약행사다리꼴의 피보트가 아닌 열과 관련이 있습니다 자 여기 피보트 열이 있습니다 이렇게 적어볼게요 이것이 x2와 어떤것의 곱이 되고 더하기 x3과 어떤 것의 곱이 됩니다 이 두개는 모두 자유변수이죠 그리고 여기 x1은 1/2 곱하기x2 더하기 3/2 곱하기 x3이 됩니다 x2는 x2 곱하기 1 더하기 0 곱하기 x3이고 x3은 0 곱하기 x2 더하기 1 곱하기 x3으로 표현됩니다 그러므로 영공간은 여기에 어떤 수가 들어와도 되죠 자유변수니까요 영공간은 이 두개의 모든 선형결합이 됩니다 또는 A의 영공간은 생성과 같다 즉 1/2, 1, 0의 생성의 모든 선형결합입니다 이 벡터들은 모두 R3에 있습니다 왜냐하면 영공간이 R3의 벡터들의 집합으로 이루어졌으니까요 이것의 생성입니다 그래서 3/2, 0, 1이 이렇게 옵니다 그러면 원래 행렬 A의 열공간은 무엇인가요? A의 열공간은 이것들로 이루어진 모든 선형결합이 만든 부분공간과 같습니다 또는 열벡터들의 생성과 같죠 2, -4, -1, 2, -3, 6의 생성을 말합니다 이것은 모두 다른 벡터입니다 이 세 벡터의 생성이죠 이제 이 벡터들은 선형독립하지 않을 수도 잇습니다 사실 이 행렬을 기약행사다리꼴로 바꾸면 이 기저벡터는 피보트 열과 결합된 벡터들이 됩니다 그래서 피보트 열이 있으면 첫번째 열입니다 이것을 기저벡터로 둘 수 있죠 왜냐하면 이 원소가 이 원소에서 두배를 빼준것과 같고 이 원소는 이 원소의 3/2배를 빼준 것과 같기 때문입니다 그러면 이 두개는 이것의 선형결합으로 나타낼 수 있습니다 벡터 2 ,-4의 생성과 같아지죠 이것은 이제 열공간의 기저가 됩니다 이제 계수를 찾으려면 A의 계수는 열공간의 기저 안의 벡터 개수가 됩니다 그러면 여기서는 1이 되겠죠 지금까지는 복습이였습니다 하지만 최근 영상에서는 전치행렬을 다루었기때문에 복습이 꽤 필요했습니다 이제 A의 전치행렬에 대해서도 방금 내용을 적용시켜봅시다 A의 전치행렬은 이렇게 생겼습니다 행렬 2, -1, -3이 첫째 열이 되고 두번째 열은 -4, 2, 6이 옵니다 이것이 전치행렬이죠 그럼 이제 영공간과 열공간을 찾아봅시다 우선 기약행사다리꼴로 바꾸어줍시다 그래야 영공간을 찾을 수 있으니까요 이것의 영공간을 먼저 찾아보면 A의 전치행렬의 영공간을 찾으면 이 행렬은 3 x 2 행렬입니다 R2안의 모든 벡터 x가 되죠 이제 더이상 R3안에 있지 않습니다 왜냐하면 전치벡터의 영공간을 구하고 있으니까요 A 전치벡터와 R벡터를 곱하면 R3의 영벡터가 됩니다 이제 전에 했던 방법과 같습니다 변수 행렬을 만듭니다 그리고 기약행사다리꼴로 바꾼 후 0으로 둡니다 우선 기약행사다리꼴로 바꿔보겠습니다 첫번째 행을 2로 나눠주세요 첫번째행을 2로 나누면 1, -2가 됩니다 그리고 두번째행은 그대로 두면 -1, 2가 오죠 마지막 행은 3으로 나눠줍니다 -1, 2가 오게 됩니다 이제 첫번째 행은 그대로 둡니다 1, -2 그리고 두번째행은 두번째행과 첫번째 행의 합으로 바꿉니다 -1 더하기 1은 0 2 더하기 -2는 0 그러면 0들만 남게되죠 그리고 세번째 행도 똑같이 바꿔줍니다 첫번째 행과의 합으로요 다시 이번에도 0이 오게됩니다 이제 A전치행렬의 기약행사다리꼴을 구하였습니다 그리고 영공간은 A의 전치행렬의 영공간과 같습니다 영공간을 찾으려면 이 식의 모든 해와 벡터 x1, x2를 곱해서 0, 0, 0이 되는 해를 찾아야합니다 이것들은 벡터는 아닙니다 원소들이죠 0, 0, 0 이 두 행은 어떤 정보를 주지는 않지만 첫번째 행은 정보를 줍니다 1과 x1을 곱합니다, 여기 피보트 열이 있죠 결합되어있습니다 x1은 피보트 변수이죠 x2는 자유변수입니다 그리고 첫번째 열은 피보트 열입니다 다시 A의 전치행렬로 돌아가서 첫번째 열은 피보트 열과 결합되어있습니다 우리가 열공간에 대해 다룰 때 이것은 열공간을 스스로 생성하죠 이미 우리가 배운 내용들입니다 단지 전치행렬에 적용시키는것 뿐이죠 그러면 영공간으로 돌아갑시다 1 곱하기 x1 즉, x1에서 x2의 두배를 빼면 0이 됩니다 또는 x1이 2 x2와 같다고 할수도 있죠 이러한 조건을 만족시키는 R2의 모든 벡터들은 A 전치행렬의 영공간에 있습니다 이렇게 적어볼게요 A의 영공간은 R2의 모든 x1, x2 벡터의 집합입니다 그리고 x1, x2는 x2 를 자유변수로 두고 x1은 2 곱하기 x2가 됩니다 그러면 x2는 그대로 x2가 되겠죠 그러면 이것은 결국 무엇이 될까요? 이거슨 여기 이 벡터의 모든 선형결합식입니다 그래서 우리는 벡터 2, 1의 생성과 같다고 할 수 있죠 이것이 영공간입니다 A 전치행렬의 영공간이죠 그러면 열공간은 무엇인가요? A 전치행렬의 영공간이요 A 전치행렬의 영공간은 A의 모든 열들의 생성 벡터들의 집합입니다 그러니 이 열벡터의 생성이라고 할 수 있습니다 하지만 우리가 기약행사다리꼴로 바꾸면 여기 열벡터만 피보트 열과 결합되어있었습니다 그러므로 이 열이 이 열의 선형결합식이 됩니다 만약 이 열에 -2를 곱해주면 이 열이 되겠죠 우리가 배운것들과 모두 일치합니다 그러니 이것은 이 열을 생성한 것입니다 벡터 2, -1, -3을 말하죠 이 생성은 R3안에 있습니다 R3 안의 직선이 되죠 아마 다음 영상에서 시각적으로 더욱 자세히 배울 것입니다 지금은 전치행렬의 영공간과 열공간을 보여드리기 위해 잠시 다루었습니다 전치행렬의 열공간을 생각해보세요 이 두 벡터들로 생성된 부분공간이죠 이 열은 이 열의 배수였습니다 하지만 원래 행렬 A의 행들은 여기에있죠 원래 행렬의 행벡터들의 생성으로 볼 수도 있습니다 이 행은 R 전치행렬의 열생성의 기저입니다 그리고 이 행은 이 행의 선형결합식이죠 전치행렬의 열생성을 이렇게 볼 수도 있습니다 이 행들로 생성된 부분공간으로요 또는 A의 행 공간이라고도 할 수 있습니다 적어볼게요 A 전치행렬의 열공간 그리고 이것은 일반적이죠 일반식으로 적어볼게요 이 예시에는 적용되지 않습니다 어떤 전치행렬의 열공간은 A의 행공간이라고 불립니다 A가 행들을 여러개 가지고 있다면 벡터들의 전치행렬이라고 부를수도있죠 자 첫번째 행입니다 그리고 두번째 행이 오죠 n번째 행까지 있습니다 이런식으로요 이것은 벡터의 전치입니다 행들의 집합이죠 이 벡터들로 생성된 이 행들로 생성된 공간을 상상해보면 전치행렬의 열공간이 됩니다 전치를 하게 되면 각각이 열이 되기 때문이죠 이것이 바로 행공간입니다 이제 전치행렬의 영공간을 봅시다 이 식을 만족하는 모든 벡터 x들의 집합이였습니다 그리고 영벡터와 같죠 이제 식의 양 변의 전치를 구하면 어떻게될까요? 우리는 이미 전치의 특성에 대해 알아보았습니다 이것은 각각의 전치행렬을 순서를 바꿔 곱해준것과 같습니다 그러면 이것은 벡터 x의 전치가 옵니다 만약 이것이 열벡터였다면 이제는 행벡터가 되겠죠 그리고 A의 전치의 전치를 곱합니다 그러면 이제 이것이 영벡터의 전치와 같아집니다 또는 이렇게 적을수도 있습니다 행렬이라고 생각하고 이런식으로요 어떤 열벡터 x가 있고 A 전치의 전치는 무엇일까요? 그냥 A가 됩니다 그러면 열벡터의 전치를 먼저 구합시다 이제는 행벡터가 되겠죠 행렬이라고 생각하셔도 됩니다 만약 이것이 Rn의 벡터였다면 이제는 1+n 행렬이 됩니다 원래 Rn에 있었다는 전제가 있다면요 이제 순서를 바꿔줍니다 그리고 전치의 전치를 곱해줍니다 행렬 A가 그대로 오겠죠 그리고 영벡터의 전치와 같다고 두세요 이제부터 흥미로워집니다 이제 원래 행렬 A에 대한 식이 되었습니다 그러면 A의 영공간은 어떻게될까요? 이 식을 만족하는 모든 벡터 x의 집합이 0과 같아지는 것이 영공간이죠 x는 오른쪽에 옵니다 영공간은 이것을 만족하는 모든 x를 말하죠 전치행렬의 영공간은 이 식을 만족하는 모든 x들의 집합이 됩니다 이제 x의 집합을 A 전치행렬 곱하기 x는 0으로 둡니다 이것이 A전치행렬의 영공간이죠 또는 x의 전치행렬과 A의 곱이 영벡터와 같다는 식으로 둘 수도 있습니다 그리고 이것을 부르는 말이 있습니다 A의 좌영공간이라고 하죠 왜 좌영공간이라고 부를까요? 왜냐하면 이제 x가 왼쪽에 있기 때문입니다 보통의 영공간에서는 x가 오른쪽에 있습니다 하지만 전치행렬의 영공간을 구하면 전치행렬의 특성을 이용해 구하면 이 전치 벡터와 같아지기 때문입니다 여기의 전치벡터를 말합니다 이 전치벡터는 A의 왼쪽에서 곱해집니다 그러니 이것을 만족하는 모든 x는 좌영공간이 되죠 영공간과는 다릅니다 그리고 A 전치행렬의 영공간은 이것의 생성이였습니다 이것도 A의 좌영공간이라고 부릅니다 이제 A의 일반 영공간은 어떻게 구하나요? A의 일반적인 영공간은 R3에 있었습니다 A의 영공간이죠 A의 좌영공간은 R2의 직선이였으니 매우 다릅니다 만약 행공간을 살펴보면 A의 행공간은 무엇인가요? A의 행공간은 R3의 직선입니다 A의 행공간은 R3의 직선입니다 그러면 A의 열공간은 무엇인가요? A의 열공간은 선형독립 벡터였죠 R2의 직선입니다 마찬가지로 서로 매우 다르죠 이제 이것이 서로 연관되어있다는 것을 배워볼 것입니다 이 벡터의 계수를 찾았었죠 1이였습니다 기약행사다리꼴로 바꿨을 때 피보트 열이 하나만 존재했으니까요 그리고 기저벡터들은 피보트 열과 결합된 벡터들이였습니다 만약 기저 벡터를 세어보면 공간의 차원과 같죠 그러므로 이 행공간의 차원도 1입니다 계수와 같으니까요 그러면 A 전치행렬의 계수는 무엇인가요? 이 예시에서 A의 전치행렬의 계수는 기약행사다리꼴로 바꾸었을 때 선형독립한 열벡터가 하나였으므로 열벡터의 기저 또한 1이 됩니다 A의 계수가 열공간의 차원과 같고 A 전치행렬의 계수와도 같습니다 A의 계수를 찾으려면 피보트 열의 개수를 알아보거나 피보트 성분의 개수를 찾으면 됩니다 전치벡터의 계수를 찾으려면 조금 헷갈릴수도 있지만 전치벡터의 계수를 찾으려면 선형독립인 열의 개수를 찾으면 됩니다 또는 어떤 열이 선형독립하는지 보면 됩니다 그리고 같은 맥락에서 선형독립인 행은 몇개가 있나요? 전치행렬에서 몇개의 열이 선형독립하는지는 원래 행렬에서 몇개의 행이 선형독립하는지와 같습니다 그리고 행렬의 기약행사다리꼴을 구하면 모든 것이 행연산이 되죠 그러므로 이것들의 선형결합식들입니다 또는 반대일 수도 있죠 여기까지는 모두 기약행사다리꼴 행렬의 선형결합입니다 만약 하나의 피보트 성분만 있다면 이 스스로가 하나의 피보트 행이 됩니다 그리고 행공간의 기저를 나타내죠 또는 모든 행들이 이 피보트 행의 선형결합으로 나타내집니다 그러므로 이 개수만 세면 됩니다 자 여기에 하나가 있습니다 그러므로 이 행공간의 차원은 1입니다 그러면 전치행렬 열공간의 차원도 1이 되겠죠 나중에는 조금 헷갈릴 수도 있습니다 하지만 기억하세요 전치행렬의 계수는 원래 행렬의 계수와 같습니다