전치행렬의 행렬식

행렬의 전치가 행렬식에 어떤 변화를 가져오는지 알아봅시다 우선 2x2 행렬로 시작해봅시다 여기 행렬이 하나 있습니다 행렬식을 구해보면 행렬 a, b, c, d 이것의 행렬식은 ad 빼기 bc가 됩니다 이 행렬의 전치를 구한 후 행렬식을 구해봅시다 ac 열이 행이 되고 b d 행이 열이 됩니다 그러면 행렬식은 어떻게 되나요? ad 빼기 bc로 같은 값이 나옵니다 단지 여기 이 두 원소가 바뀌었을 뿐이죠 그리고 어차피 이 두 수가 곱해진것입니다 그러므로 두 행렬식은 같습니다 2x2 행렬의 경우 행렬식은 전치 이후의 행렬식과 같다는 것을 알게 되었습니다 하지만 이것은 2x2 행렬인 경우에 불과하죠 그러면 이제 귀납적 논증을 이용하여 n x n 행렬의 경우, 즉 모든 행렬에 적용이 가능한지 알아보겠습니다 그리고 귀납적 논증법에 있어서 n x n 행렬의 경우 모두 성립한다는 전제를 가지고 증명해보겠습니다 n x n 행렬이 있습니다 행렬 B라고 부르겠습니다 B의 행렬식은 B의 전치 행렬식과 같다고 둡니다 자 이제 귀납적 논증을 시작해 봅시다 만약 이것이 n에 대해 성립한다면 n+1 x n+1 에 대해서도 성립하는 것인가요? 귀납법에서 n x n 행렬의 경우가 성립한다면 n+1 x n+1 행렬의 경우 또한 성립합니다 왜냐하면 이미 2x2 행렬이 성립함을 증명했기 때문에 n이 2라고 생각하면 2x2 행렬의 성립은 곧, 3x3 행렬의 성립을 뜻하죠 그리고 3x3 행렬의 성립은 4x4 행렬의 성립도 의미합니다 그리고 4x4행렬의 성립은 5x5의 성립을, 이런식으로 모든 수에 대해 성립하게 됩니다 그러므로 귀납법을 이용해 증명할때는, 기초 사례를 잘 증명하고 n이 성립 할 때, 이 경우 n x n 행렬이 성립할 때, 이것은 바로 n+1 x n+1 행렬의 성립도 의미하게 되죠 그러면 모든 수에 대한 증명이 됩니다 그러면 이 경우에도 가능한지 살펴봅시다 우선 n+1 x n+1 행렬을 적어볼게요 그리고 A라고 부르겠습니다 여기 n+1 x n+1 행렬이 있습니다 조금 간단히 적기 위해 n+1 을 의미하는 m을 사용할게요 mxm 행렬입니다 어떤 모습인가요? 원소들을 적어보겠습니다 이 행렬의 첫째행에는 a11, a12부터 a1m까지 존재합니다 그리고 m개의 열이 있습니다, n+1개를 뜻하죠 그리고 두번째 행으로 갑시다 a21, a22, a23부터 a2m까지 있습니다 세번째 행에는 a31, a32, a33부터 a3m까지 있죠 쭉 내려가면 마지막에 m번째 행이 옵니다 n+1번째 행이기도 하죠 m번째 행에는 am1, am2, am3부터 amm까지 있습니다 그리고 이제 A의 전치행렬을 구해볼게요 전치행렬 또한 n+1 x n+1 행렬입니다 m x m 행렬이라고 적어도 되비다 전치행렬을 구해봅시다 그러면 이 행은 열이 되고 a11, a12가 이렇게 오죠 그리고 a1m까지 옵니다 이 분홍색 행은 분홍색 열이 되겠죠 a21, a22, a23부터 쭉 내려가서 a2m까지 있습니다 이제 초록색으로 된 행은 a31, a32, a33부터 a3m까지의 열이 됩니다 쭉 넘어가서 마지막 행이 있습니다 am1, am2이 열을 이루죠 이제 이 마지막 행이 마지막 열이 되는 것이죠 am3가 오고 amm까지 옵니다 이제 전치행렬도 찾았습니다 그러면 A의 행렬식을 찾아봅시다 보라색으로 써볼게요 A의 행렬식은 먼저 첫번째 행을 봅시다 a11 곱하기 부분행렬, 부분행렬의 행렬식이 됩니다 A11 부분행렬이라고 부를 수 있죠 이전에 본 적이 있는 표기법입니다 A11의 행렬식이 오고 a12 곱하기 부분행렬의 행렬식을 빼줍니다 A12 가 부분행렬을 나타내죠 하지만 어떤 부호가 오는지는 모릅니다 그러니 -1의 1+m승으로 두겠습니다 더하기 빼기 더하기 빼기 패턴을 나타내주죠 그리고 부분행렬의 행렬식을 곱해줍니다 여기 A1m 부분행렬이 옵니다 a1m이 속한 행과 열을 제외한 나머지로 이루어진 행렬이죠 자 그러면 이제 전치행렬의 행렬식을 찾아보도록 합시다 앞에서 배웠었죠 굳이 첫번째 행을 기준으로 둘 필요도 없고 행이 아닌 열을 기준으로 두어도 상관이 없다는 것을요 그러면 A의 행렬식을 구할 때, 이 행을 기준으로 삼았고 여기 이것이 부분행렬이 되었습니다 두번째 부분행렬도 이런식으로 나왔죠 그러면 두번째 행과 열을 지워주면 남게되는 것이 두번째 부분행렬이였고 나머지 부분행렬들도 이런식으로 구할 수 있었습니다 그러면 A의 전치행렬의 행렬식은 첫번째 열을 기준으로 부분행렬을 찾아줍니다 그러면 행렬식의 첫번째 항은 이런식으로 적을 수 있죠 a11 곱하기 부분행렬의 행렬식 이 부분행렬의 행렬식은 무엇인가요? a11이 속한 행과 열을 없애면 남아있는 원소들이 부분행렬이 됩니다 자 이제 어떻게 전치행렬의 행렬식 첫번째 항의 부분행렬이 A의 행렬식의 첫번째 항에 있는 부분행렬과 연관이 되어있나요? 자세히 보시면 여기 a22로 시작해서 a2m으로 끝나는 행이 오는데 이것이 여기서는 a22부터 a2m까지 열을 이룹니다 그리고 다음 행, a32부터 a3m까지 보면 여기서는 열을 이루고 있죠 마지막 행까지 살펴보면 마찬가지로 열이 되어있습니다 자 그럼 여기서의 부분행렬이 부분행렬의 전치행렬이 되는 것이지요 그러면 여기 A11의 전치행렬이 오면 되겠죠 그리고 a12를 빼주고 마찬가지로 부분행렬의 행렬식을 곱해줍니다 만약 이 열과 행을 제외하면 무엇이 남나요? 부분행렬이 남습니다 여기 이 두 부분이 부분행렬을 이루게 되죠 그러면 A12와 비교해봅시다 A12는 여기 이 행과 열을 지우고 남는 원소들로 이루어졌습니다 다시한번 말하자면, 이 행이 전치행렬의 열이 됩니다, 그리고 여기 이 행이 전치행렬의 열이 되죠 다시한번 언급하자면, 부분행렬은 이 부분행렬의 전치행렬이 됩니다 그러면 전치행렬 A12를 적습니다 여기 이 부분은 이 부분을 전치한 것입니다 그래서 이 열과 같죠 일반적으로, 모든 부분행렬들은 각각의 부분행렬의 전치행렬입니다 쭉 내려가면 -1의 1+m승 곱하기 이 행렬의 전치행렬의 행렬식이 됩니다 간단하죠 쭉 내려와서 열과 행을 지우면 남아있는 이 원소들이 여기 이 열과 행을 지우고 남은 행렬의 전치행렬이 됩니다 이 행이 여기서 열이 되고, 이 행이 열이 되는 것이죠 어떤식인지 이해하셨을 것입니다 이제 A1m의 전치행렬이 오죠 자 이제 다시 귀납적 증명으로 돌아가봅시다 방금 이 행렬은 n+1 x n+1 행렬이였죠 우선 n x n 행렬 B의 행렬식이 전치행렬의 행렬식과 같습니다 자 여기 이 행렬이 n x n 행렬 맞죠? 그리고 여기 이 행렬은 n+1 x n+1 행렬입니다 이 행렬도 마찬가지죠 하지만 여기 안의 부분행렬은 n x n 행렬입니다 이 부분행렬의 행렬식이 이것의 전치행렬의 행렬식과 같다고 할 수 있습니다 그러므로 A의 전치행렬의 행렬식은 a11 곱하기 n x n 부분행렬이 옵니다 우리가 지금 n+1 x n+1 행렬의 행렬식을 찾고 있다는것을 기억하세요 하지만 부분행렬은 하나 작은 n x n 행렬이겠죠 하나의 행과 열이 더 적습니다 그러면 이 두 식은 같습니다 자 그러면 A11의 행렬식을 바로 곱해줍니다 다른 항 모두 비슷하게 적을 수 있죠 빼기 a12 곱하기 행렬식 위 두 식은 완전히 같습니다 A12의 행렬식 더하기 쭉 내려가서 -1의 1+m승 곱하기 부분행렬의 행렬식을 해줍니다 그러면 위 두 식은 완전히 같죠 이것이 바로 우리의 귀납적 증명이였습니다 이 파란색 식이 초록색으로 적힌 식과 같죠 n+1 x n+1  행렬 A의 행렬식을 찾았습니다 A의 행렬식은 A의 치환행렬의 행렬식과 같습니다 우리가 n x n 행렬의 경우 성립하는 전제를 두고 이런 결과를 얻었습니다 그리고 이제 모든 n에 대해 성립함을 증명하였습니다 가장 처음 2x2 행렬을 이용해 증명한 후 n x n 행렬의 성립을 증명하였고 n+1의 경우도 성립함을 증명하였습니다 2일 때 성립한다는 것은 3일때도 성립한다는것이고 3일 때 성립한다는 것은 4일때도 성립하니 결국 모든 수에 대해 성립한다는 것입니다 결론적으로 전치행렬의 행렬식은 원래의 행렬식과 같다는 것을 잊지 마세요