좌영공간과 행공간의 시각화

지난 강의에서 2×3 행렬을 다루었고 이 행렬에 관련된 모든 부분공간을 구했습니다 이 행렬의 영공간, 열공간 우리가 좌영공간이라고 부를 수 있는 전치의 영공간과 열공간 그리고 A의 행들에 의해 생성된 행공간을 모두 구했습니다 낱낱이 흩어져 있는 것들을 한 공간에 모두 모아서 써볼게요 그리고 이들을 시각화 할 수 있는지 특별히 서로에게 관련하여 살펴보도록 하겠습니다 우선 본래의 행렬을 복사해서 붙여넣을게요 복사해서 이곳에 붙여넣기 하겠습니다 지난 강의에서 가져올 만한 중요한 정보가 있는지 볼게요 A의 열공간은 이것이었죠 이걸 다시 사용하겠습니다 이것이 우리의 열공간이었죠 R2 벡터인 2, 4의 생성이었습니다 이걸 복사하도록 하겠습니다 복사해서 붙여넣기 할게요 이것이 바로 우리의 열공간이었습니다 그렇게 쓰도록 하죠 A의 열공간 C(A)는 이것과 같습니다 우리가 알아야 할 것이 또 뭐가 있죠? 우리는 좌영공간이 2, 1의 생성이었다는 것을 압니다 이것도 쓸게요 우리의 좌영공간, 즉 전치의 영공간은 R2 벡터인 2, 1의 생성과 같습니다 이렇게 쓸 수 있죠 그렇다면 우리의 영공간은 무엇이었죠? 지난 강의에서 영공간을 구했습니다 여기있네요 이 두 개의 R3 벡터의 생성입니다 이것도 복사해서 붙여넣기 하도록 하죠 아래로 내려가서 붙여넣기 하겠습니다 이것이 바로 우리의 영공간이었죠 마지막으로 우리의 행공간은 무엇이었죠? 전치의 행공간이나 열공간이 무엇이었죠? 전치의 열공간은 여기 R3 벡터의 생성이었으니까, 이것이죠 이 부분을 복사해서 붙여넣도록 하겠습니다 아래 공간에 이렇게 옮기겠습니다 자 이제 이 정보들을 한 곳에 모았으니까 시각화 할 수 있는지 봅시다 먼저 첫 번째로, 변환을 생각해보면, A 곱하기 x와 같을 것이므로 어떤 사상과 같죠? x는 R3의 원소이므로 R3가 우리의 정의역이 되겠네요 R3으로부터의 사상이고 R2로 향하는 사상일 것입니다, 왜냐하면 여기 두 개의 행이 있잖아요? 2×3의 행렬을 3×1 벡터로 곱하면 2×1 벡터가 나오죠 그러므로 R2로의 사상이 되곘군요 이것이 바로 우리의 공역입니다 정의역과 공역을 그려봅시다 여기에 매우 보편적으로 써볼게요 그러니까 R3를 정의역이라고 생각할 수 있겠죠 공역은 R2이겠구요, 이렇게요 그리고 T는 사상입니다 A를 정의역 함수와 공역 함수를 곱할 때, 그들 각각의 벡터 사이의 사상이라고 보아도 괜찮습니다 자 그럼 A의 열공간은 무엇일까요? A의 열공간은 백터 2, -4의 생성입니다 R2 벡터입니다 이것은 R2의 부분공간입니다 써볼 수 있겠죠 이렇게 쓰겠습니다 A의 열공간은, 이것에 의해 생성된 모든 벡터라고 볼 수 있습니다 여기 이 행들이 이것의 배수라는 것을 이미 알아냈어요 반대로 얘기할 수도 있죠 이 부분이 각각 이것의 배수라고 할 수도 있습니다 하지만 기저는 이 벡터 중 단 한 개일 뿐입니다 이들 중 하나이므로 이것과 같다고 보았습니다 그러므로 열공간은 R2의 부분공간입니다 또 어떤 것이 R2의 부분공간일까요? 좌영공간이죠 좌영공간 또한 R2의 부분공간입니다 이들을 실제로 그려봅시다 지나치게 정확하지는 않아도 어느 정도 상상할 수 있을겁니다 벡터 2, -4를 그리면, 여기 축들을 잊지 말고요 화면을 좀 내릴게요 그러니까 임의의 벡터가 있다면 최대한 깔끔하게 그려보도록 하겠습니다 이것이 세로축이고 이것이 가로축이 되겠죠 열공간의 생성은 어떻게 생겼을까요? 벡터 2, -4를 그려보면 이 방향으로 2만큼 아래 방향으로 4만큼 벡터를 이렇게 그려볼 수 있겠죠 이 벡터의 생성이 기본적으로 이 벡터의 모든 배수, 정확히 하면 그들의 모든 선형결합들이지만 하나의 벡터의 결합이므로 이 벡터의 모든 배수라고 할 수 있겠네요 이것을 그려보면, 이 벡터의 모든 선형결합들로 나타내어지는 선이 될 것입니다 이것이 A의 열공간을 그래프로 표현한 것입니다 이제 A의 좌영공간을 살펴봅시다 전치의 영공간이라고도 할 수 있죠 똑같은 것입니다 왜 그런지는 지난 강의에서 확인했죠 이건 어떻게 생겼을까요? 좌영공간은 2, 1의 생성이니까 이 방향으로 2, 윗 방향으로 1을 그리면 이렇게 2, 1을 그래프로 나타낸 게 되겠죠 다른 색깔로 해보겠습니다 벡터는 이런 모양일 겁니다 벡터는 이렇게 생겼는데, 우리가 원하는 건 이 벡터의 생성이죠 그러니까 모든 선형결합이겠죠 그러니까 모든 선형결합이겠죠 하나의 벡터를 결합한다는 것은 여러 스칼라로 곱한다는 것입니다 그러므로 이 벡터의 모든 스칼라배이겠죠 이렇게 그려봅시다 이렇게 그려볼 수 있겠죠 첫 번째로 알 수 있는 것은, 한 번 써볼게요 이것이 A의 좌영공간, 혹은 전치의 영공간입니다 A의 좌영공간과 같죠 A의 전치로 표현할 수 있습니다 A의 전치로 표현할 수 있습니다 A의 전치의 영공간은 A의 좌영공간 입니다 A의 열공간 또한 A의 전치로 나타내봅시다 A의 전치의 행공간과 같겠죠? A의 열을 살펴보면, 이것의 생성은 A의 전치의 행과 같다는 것을 알 수 있습니다 첫 번째로 확인할 수 있는 것은, 이렇게 시각적으로 표현해보면 이 두 공간이 서로에게 직교한다는 것입니다 R2에서 그린 것 같죠 여기 90도의 직각이 있는 것처럼 보입니다 이걸 확인해보려면 내적시켜보면 되겠죠 열공간에 있는 임의의 벡터에 대해서, 이 벡터를 c곱하기 2, -4라고 표현해봅시다 적어볼게요 여기에 옮겨적어볼게요 화면을 좀 내리도록 하겠습니다 v1가 열공간의 원소라고 해보죠 그말은 v1이 열공간의 생성백터에 임의의 스칼라를 곱한 것과 같다는 것입니다 그러므로 이것의 스칼라배가 되겠죠 c1에 2, -4를 곱한 것과 같다고 할 수 있습니다 이것은 열공간의 임의의 원소이죠 이제 좌영공간의 임의의 원소를 표현해보면 이곳에 써보겠습니다 v2가 좌영공간의 임의의 원소라 할 때, 전치의 영공간의 임의의 원소라고도 할 수 있습니다 이 말은 무슨 뜻이죠? v2가 2, 1의 좌영공간을 생성하는 벡터의 스칼라배와 같다는 것입니다 그러므로 열공간에 있는 임의의 벡터는 이렇게 표현될 수 있는 것이죠 좌영공간의 임의의 벡터는 이렇게 표현될 수 있고요 자 그렇다면 이 둘을 내적하면 어떻게 될까요? 여기 아래에 해봅시다 R3에서 다룰 것들을 위해 공간을 남겨두고 싶지만 이 둘의 내적을 먼저 구해보도록 합시다 v1와 v2를 내적한 것은 그러므로, 색깔을 바꾸어 쓸게요 c1 곱하기 2, -4 를 c2 곱하기 2, 1을 내적한 것이겠죠 스칼라끼리 곱할 수 있으므로 c1c2에 2, -4와 2, 1의 내적을 곱한 것과 같다고 할 수 있습니다 이것은 무엇과 같을까요? c1c2 곱하기, 2 곱하기 2는 4이니까 4 더하기 -4 곱하기 1은 -4 이렇게 쓸 수 있겠네요 이 부분이 0이므로 전체가 0이겠죠 이것은 열공간과 좌영공간의 임의의 두 벡터를 곱한 것이었습니다 그들은 서로에게 직교합니다 그러니까 열공간의 모든 원소는 좌영공간의 모든 원소, 즉 전치의 영공간의 모든 원소와 직교하고 이 경우를 통해 확인할 수 있었습니다 이 말은 곧 다음이 항상 참이라는 것입니다 행렬의 열공간의 여집합은 좌영공간이나 전치의 영공간과 같습니다 아마도 다음 강의나 그 다음 강의에서 증명해보도록 하겠지만 이 예시를 통해 시각적으로 확인할 수 있죠 우리가 다루고 있던 나머지 둘도 그려보도록 하죠 영공간은 R3의 이 두 벡터의 생성과 같습니다 R3의 이 두 벡터들은 그리기가 좀 더 까다롭습니다 R3에 존재하는 두 벡터의 생성은 무엇이죠? R3의 두 벡터의 모든 선형 결합은 R3에 존재하는 평면이 될 것입니다 여기에 대략적으로 그려볼게요 대략적으로 그려보면 R3에 존재하는 다음과 같은 평면일 수 있겠죠 여러분의 이해를 돕기 위해서 평면을 조금 칠하도록 할게요 이것이 A의 영공간입니다 이 두 벡터에 의해 생성되었죠 이제 이 두 벡터를 이렇게 생각해볼 수 있어요 대략적으로 그려볼건데요 이 두 벡터의 임의의 선형결합을 구해보면 여기 평면을 따라 무한한 방향으로 뻗어가는 벡터를 얻을 수 있습니다 물론 원점은 이 안에 존재하겠죠 이것들은 모두 유효한 부분공간입니다 그렇다면 A의 행공간은 어떻게 생겼을까요? A의 전치의 열공간이라고 할 수도 있죠 R3의 이 벡터의 생성이겠죠 R3에 존재하는 이 벡터에 관하여 흥미로운 점을 한 가지 살펴봅시다 이 두 벡터와 어떻게 연관될까요? 바로 눈치채지 못할 수 있겠지만 자세히 살펴보면 이 친구가 여기 두 벡터 모두에 직교한다는 것을 알 수 있습니다 보세요 2, -1, -3을 1/2, 1, 0과 내적하면 어떻게 되죠? 2 곱하기 1/2는 1, 더하기 -1 곱하기 1은 -1, 더하기 -3 곱하기 0인 0을 하면 되겠죠 여기 이 벡터와 이 벡터를 내적한 것이었죠 다음으로 옆의 벡터와 이 벡터를 내적하면 어떻게 될까요? 3/2, 0, 1을 다음과 내적하게 되겠죠 화면을 좀 내릴게요 너무 작게 쓰고 싶지는 않군요 2, -1, -3과 내적하는 것이죠 A의 행공간에서, 생성하는 벡터를 각각 여기에 썼습니다 순서를 바꾸지 않는 편이 좋았을 것 같네요 아무튼 여기에서는 이 벡터와 내적하고 다음 식에서는 이 벡터와 내적하고 있습니다 계산해보면, 3/2 곱하기 2는 3, 더하기 0 곱하기 -1은 0, 더하기 1 곱하기 -3은 -3이므로 0이 되겠네요 그러므로 이 벡터가 두 개의 생성벡터와 직교한다는 것은, 이 벡터의 임의의 선형결합과도 직교한다는 것입니다 시각적으로 보는 것이 더 도움이 될지도 모르겠네요 영공간의 임의의 원소를 먼저 구해봅시다 v3를 영공간의 임의의 원소라 해보겠습니다 이 벡터와 이 벡터의 선형결합이겠죠 이 둘은 생성벡터죠 위에 썼습니다 이 두 벡터는 생성벡터이죠 여기 공간이 필요하니까 화면을 좀 내리도록 할게요 이 둘은 생성벡터입니다 그 말은 곧, v3이 분홍색 네모칸을 친 두 벡터의 선형결합으로 쓸 수 있다는 것이죠 간단하게 a 곱하기 3/2, 0, 1 더하기 b 곱하기 1/2, 1, 0 으로 써보겠습니다 그럼 이 v3와 행공간의 임의의 원소를 내적하면 어떻게 될까요? 행공간의 임의의 원소는 이 벡터의 배수일 것입니다 행공간의 생성벡터이니까요 이것도 식으로 써보도록 하죠 v4를 행공간의 원소라고 할 때, A의 전치의 열공간의 원소이기도 하겠죠 v4는 어떠한 스케일링벡터라고 할 수 있습니다 c를 많이 썼으니까 헷갈리지 않게 d를 사용해서 표현해볼게요 d 곱하기 생성벡터라고 해봅시다 d 곱하기 2, -1, 3이 되겠죠 그렇다면 영공간의 임의의 원소인 v3와 행공간의 임의의 원소인 v4을 내적하면 어떻게 되죠? 이건 무엇과 같을까요? 이렇게 될 것입니다 한번 써볼게요 a 곱하기 3/2, 0, 1 더하기 v 곱하기 1/2, 1, 0 을 d 곱하기 2, -1, 3 과 내적한 것이겠죠 이것은 어떤 값과 같을까요? 벡터의 내적에 관한 법칙들은 모두 알고 있죠 분배법칙을 사용해서 분배하고 스칼라 값을 뽑아냅니다 그렇게 되면 다음과 같겠죠 몇 개의 단계는 건너뛸게요, 이것은 ad 곱하기 3/2, 0, 1과 2, -1, 3의 내적, 계속해서 분배해보면 더하기 bd 곱하기 1/2, 1, 0과 2, -1, 3의 내적이 되겠네요 이것이 내적한 값이겠죠 이 항을 여기 두 항에 분배하여 계산한 것입니다 이 내적값이 무엇인지 우리는 이미 알고 있습니다 여기서 구했었죠 이 내적이 저기 내적과 같은 것입니다 순서만 바꾼 거에요, 그러므로 이것 역시 0이겠죠 이 내적도 저 내적과 같으므로 0이겠군요 그러므로 행공간의 임의의 원소를 영공간의 임의의 원소와 내적하면 0이 나옵니다 행공간의 임의의 원소가 영공간의 임의의 원소와 직교한다는 뜻이 되죠 방금 한 것은 우리의 시각화를 돕기 위함입니다 행공간의 임의의 원소, 즉 이 벡터의 생성은 영공간의 임의의 원소와 직교한다는 것을 확인했습니다 행공간은 벡터의 배수이므로 R3의 직선이겠네요 이렇게 생겼을 겁니다 직선이고 아마도 평면 뒤로도 쭉 뻗을 거에요 이 부분은 보이지는 않겠죠 직교한다는 것도 잊지마세요 그려보겠습니다 그러니까 R3의 이 분홍색 직선은 A의 행공간이라 할 수 있고 이것은 A의 전치의 열공간과 같다고 할 수 있어요 왜냐하면 A의 행은 A의 전치의 열과 같은 것이고 행공간은 이 행벡터가 생성한 공간이기 때문에요 그리고 이것은 A의 영공간입니다 단순한 평면이죠 R3의 두 벡터에 의해 생성되었구요 A의 전치의 좌영공간이라고도 부를 수 있습니다 지난 강의에서는 이 단어를 쓴 적이 없지만 대칭적이죠? A의 전치의 영공간이 A의 좌영공간일 때, A의 영공간은 A의 전치의 좌영공간입니다 꽤 흥미롭지요 A의 행공간이 A의 영공간과 직교한다는 점을 살펴봅시다 그리고 A의 전치의 행공간은 A의 전치의 영공간과 직교합니다 A의 좌영공간이 A의 열공간과 직교한다고도 할 수 있습니다 A의 전치의 좌영공간이 A의 전치의 열공간과 직교하기도 하죠 매우 흥미로운 이 사실들은 일반적으로 유추할 수 있죠 방금 말했듯이, 이들은 서로 직교합니다 이들도 서로 직교하죠 이것은 이상한 우연이 아닙니다 다음 강의에서 이 분홍색 공간이 이곳 영공간의 직교여공간이라는 것을 즉 영공간에 직교한 모든 벡터를 나타낸다는 것을 보여드리겠습니다 그리고 이 둘은 서로와 직교여공간의 관계에 있습니다 각각의 공간에서 서로에게 직교하는 모든 벡터를 나타냅니다