A의 전치행렬 x A 의 가역성 확인하기

여기 행렬 A가 있습니다 여기 행렬 A가 있습니다 여기 행렬 A가 있습니다 nxk 행렬이에요 하지만 그냥 nxk 행렬이 아닙니다 행렬 A의 열은 모두 선형독립입니다 선형독립입니다 a1, a2, ... , ak까지 모두 선형독립입니다 이 열들은 선형독립입니다 적어볼게요 A의 열벡터 a1, a2, ... , ak는 모두 선형독립입니다 무슨 말일까요? x1 × a1 + x2 × a2 + ... + xk × ak x1 × a1 + x2 × a2 + ... + xk × ak 이 식의 유일한 해는 x가 모두 0인 경우죠 따라서, 모든 xi는 0이어야 합니다 이것이 바로 선형독립이 의미하는 바죠 다른 방식으로 표현해 볼까요? 이 방정식의 해는 다음과 같습니다 벡터 x1, x2, ... , xk는 영벡터입니다 이 모든 성분이 0인 경우가 이 방정식의 해입니다 이렇게 다른 방식으로 표현할 수도 있어요 여러 번 봤죠 이것이 바로 영벡터입니다 따라서 이 값 모두가 0이어야 한다면 Ax = 0 의 유일한 해는 영벡터입니다 다른 방식으로 해볼까요? 이 모든 것은 여기 모든 열이 선형독립이라는 사실로부터 비롯되죠 따라서 열들은 선형독립입니다 따라서 열들은 선형독립입니다 이를 바탕으로, 이렇게 애기할 수 있겠죠 Ax=0 의 유일한 해는 x=0 이므로 A의 영공간은 영벡터입니다 아니면 영벡터만 존재하는 집합이겠죠 살짝 복습해 보았습니다 자, n x k 이 행렬의 차원을 모르죠 정방행렬일지도 아닐지도 모릅니다 따라서, 이 행렬의 역행렬이 존재하는지 전혀 모르죠 하지만 아마 이 행렬로 역행렬을 만들 수 있을겁니다 그렇다면, A의 전치행렬과 A의 곱에 대하여 알아봅시다 A의 전치행렬과 A의 곱 A는 nxk 행렬입니다 A의 전치행렬은 kxn 행렬이 되겠죠 따라서 A의 전치행렬과 A의 곱은 kxk 행렬이 됩니다 정방행렬이 되겠네요 시작이 좋습니다 시작이 좋습니다 이제 실제로 역행렬이 존재하는지 확인해 봅시다 A에 대해 아는게 없어요 아는 것은 열벡터가 선형독립이라는 것밖에 없어요 아는 것은 열벡터가 선형독립이라는 것밖에 없어요 A의 전치행렬과 A의 곱이 역행렬이 존재하는지 볼까요 기본적으로, 역행렬이 존재함을 나타내기 위해 모든 열이 선형독립인 것을 보일 수 있다면 그것은 역행렬이 존재할 것입니다 이 부분은 강의 막바지에 다시 설명해 드리죠 이 부분은 강의 막바지에 다시 설명해 드리죠 하지만 열들이 선형독립인 정방행렬이 있다면 기억하세요 추축열을 기약행 사다리꼴로 나타낼 때 선형독립하는 열은 모두 추축열과 관련이 있습니다 따라서, kxk 행렬인 정방행렬에서는 따라서, kxk 행렬인 정방행렬에서는 기약행 사다리꼴에서 추축열이 k개가 될 것입니다 또한 kxk 정방행렬이 되고요 kxk 행렬에 추축열 k개가 있는 경우는 단 하나입니다 바로 단위행렬이죠 바로 단위행렬이죠 kxk 단위행렬입니다 또한 만약 기약행 사다리꼴에서 단위행렬을 구했다면 이는 역행렬이 존재한다는 뜻입니다 이는 역행렬이 존재한다는 뜻입니다 강의의 마지막에 보여드리려 했지만 지금 보여드리죠 이 행렬이 정방행렬이라면 A의 전치행렬과 A의 곱은 정방행렬입니다 A의 열들이 선형독립이라면 A의 전치행렬과 A의 곱의 열들은 선형독립입니다 그리고 주어진 열들이 선형독립이고 그 행렬이 정방행렬이라면 이 행렬에 기약행 사다리꼴을 적용하면 단위행렬이 나올 것입니다 또한 이 행렬은 역행렬이 존재한다는 것을 알려줍니다 이 모든 열들이 선형독립이라는 것을 증명할 수 있는지 알아봅시다 벡터 v가 있습니다 v는 A의 전치행렬과 A의 곱의 영공간의 원소라고 하죠 v는 A의 전치행렬과 A의 곱의 영공간의 원소라고 하죠 이 말은 A의 전치행렬과 v를 곱하면 영벡터가 나온다는 것입니다 이해가나요? 자, 이제 방정식의 양변에 전치행렬을 곱하면 어떻게 될까요? 그러면 v와 전치행렬의 곱이 나오죠 여기에 적을게요 v에 A의 전치행렬을 곱합니다 v에 A의 전치행렬을 곱합니다 행렬 벡터 곱셈이라고 봐도 됩니다 맞죠? 아니면, 일반적으로 행벡터와 열벡터의 곱은 내적값과 같습니다 따라서 방정식의 우변에서 어떤 것이든 영벡터와 내적합니다 어떤 것이든 영벡터와 내적합니다 이것은 영벡터가 되겠죠 그러면 좌변은 어떻게 될까요? 전에도 본적이 있죠 비록 한 벡터에 전치를 취하더라도 이렇게 볼 수 있습니다 행벡터이지만 행렬로 볼 수도 있어요 맞죠? v를 kx1 행렬이라 가정합시다 v의 전치행렬은 1xk 행렬이 될 것입니다 전에 본 적이 있죠 이것은 뒤집어서 곱하는 것과 같죠 전치행렬의 역곱셈입니다 혹은, 두 벡터의 곱을 전치시키면 두 행렬의 전치행렬을 역곱셈한 것이 됩니다 따라서 주어진 것을 이용하여 여기 이걸 Av의 전치행렬로 바꿀 수 있고 이 벡터와 Av를 곱합니다 그러면 그 값은 영벡터가 됩니다 그러면, 이것은 무엇일까요? 만약 한 벡터의 전치행렬을 구한다면 이것을 벡터라고 합시다 기억하세요 비록 행렬 벡터 곱셈이지만 한 행렬과 이 벡터를 곱할 때 또 다른 벡터가 나올 것입니다 따라서 이것은 벡터이고 여기 이것도 벡터입니다 그리고 어떤 벡터에 대해서 이에 대한 전치행렬과 저 벡터를 곱하면 전에 본 적이 있을거에요 그 결과는 y·y 입니다 이 둘은 같습니다 따라서 여기 이것은 Av·Av와 같습니다 따라서 여기 이것은 Av·Av와 같습니다 그러면 우변은 어떻게 될까요? 0이 되겠죠 여기 수정을 해야겠군요 v의 전치행렬과 영벡터를 곱할 때 v의 전치행렬은 성분이 k개 있을 것입니다 영벡터 또한 성분이 k개일 것입니다 그러므로 이 둘을 곱할 때 내적하는 것과 같습니다 v와 0을 내적하는 것이죠 따라서 이것은 v와 영벡터의 내적입니다 그 결과는 스칼라 0입니다 그러므로 이것은 스칼라 0입니다 확실히 하고 넘어가야겠네요 그렇지 않다면 말이 안됩니다 따라서 우변에서 영벡터와 v의 전치행렬을 곱할 때 숫자 0이 나오는 것입니다 벡터는 없어요 따라서 Av·Av = 0 입니다 아니면 크기, 혹은 길이의 관점에서 (Av)² = 0 으로도 나타낼 수 있습니다 이는 Av = 0 을 의미하죠 길이가 0인 벡터는 영벡터밖에 없습니다 색을 바꿔보죠 저 색을 너무 많이 썼네요 따라서 Av = 0 입니다 따라서 Av = 0 입니다 이것은 영벡터여야 합니다 길이가 0이기 때문이죠 자, 처음에 v를 A의 전치행렬의 영공간의 원소라고 했죠 v는 A의 전치행렬과 A의 곱의 영공간의 임의의 원소가 될 수 있습니다 하지만 그 가정으로부터 v가 A의 영공간의 원소일 수밖에 없다는 것이 밝혀집니다 Av = 0 이죠 적어볼게요 v가 A의 전치행렬과 A의 곱의 영공간의 원소라면 v는 A의 영공간의 원소입니다 자, A의 영공간은 A의 열이 선형독립이기 때문에 벡터 하나밖에 없습니다 영벡터 뿐이죠 따라서, 이것이 A의 전치행렬과 A의 곱의 영공간의 원소이고 A의 영공간의 원소여야 한다면 그런 벡터는 하나밖에 없습니다 오직 하나 뿐이에요 따라서 v는 영벡터일 수밖에 없습니다 다르게 말하자면 A의 전치행렬의 영공간에 있는 어떤 v는 영벡터여야 하죠 혹은 A의 전치행렬과 A의 곱의 영공간은 영벡터가 존재하는 A의 영공간입니다 영벡터가 존재하는 A의 영공간입니다 그러면, 이게 무슨 의미일까요? 이는 A의 전치행렬과 A의 곱과 어떤 벡터 x의 곱은 0이라는 식의 유일한 해는 영벡터라는 뜻입니다 맞죠? 왜냐하면 A의 전치행렬과 A의 곱의 영공간은 A의 영공간이기 때문입니다 그리고 그 공간에는 영벡터가 있죠 영공간은 이 식에 대한 해입니다 따라서 영공간의 유일한 해가 이것이라면 A의 전치행렬과 A의 곱의 열은 선형독립이라는 것이 됩니다 기본적으로 열들의 모든 선형결합은 x의 값을 통해 표현할 수 있습니다 초반에 실제로 했었죠 위에서 했던 것과 같은 논리입니다 따라서 모든 열이 선형독립이고 여기에서 말했듯이 A의 전치행렬과 A의 곱이 선형독립하는 열을 가지고 있고 그 행렬이 정방행렬이라면 그 정의에서 비롯된 것입니다 따라서 A의 전치행렬과 A의 곱을 이렇게 적어보겠습니다 A의 전치행렬과 A의 곱의 기약행 사다리꼴은 kxk 단위행렬이 됩니다 이것은 A의 전치행렬과 A의 곱에 역행렬이 존재한다는 의미입니다 이것은 A의 전치행렬과 A의 곱에 역행렬이 존재한다는 의미입니다 매우 깔끔한 결과이군요 선형독립인 열이 있는 행렬에서 시작했죠 선형독립인 열이 있는 행렬에서 시작했죠 그냥 행렬이 아니었어요 그냥 어떤 평범한 행렬이 아니었습니다 선형독립하는 열을 가지고 있었지만 그 차원은 알 수 없었죠 이것은 원래 정방행렬이 아니지만 정방행렬을 만들 수 있습니다 A의 전치행렬과 A의 곱으로 말이죠 또한 이 행렬은 선형독립하는 열을 가지고 있습니다 이것은 정방행렬입니다 따라서 역행렬이 존재합니다 따라서 역행렬이 존재합니다