전사함수와 단사함수

이번 시간에는 함수와 가역성에 관한 이야기를 하는데 유용한 용어를 배워봅시다 일반적으로 보이는 용어는 아마 수학을 공부하면서 보게 될 거에요 함수 f가 있고 이 함수는 집합 X를 집합 Y로 대응시킵니다 이 그림을 많이 그려봤죠 다시 그려도 나쁠 건 없어요 이게 집합 X이자 정의역이에요 그리고 이건 집합 Y이자 공역이죠 공역은 대응시키는 집합이라는 것을 기억하세요 집합의 모든 원소를 대응시킬 필요는 없어요 혹은 원소 전부를 대응시키지 않아도 되고요 이건 단지 모든 원소고 공역에 대응시킬 집합이에요 그럼 봅시다 여기에 원소가 있으면 f는 공역에 몇몇 원소를 대응시킬거에요 따라서 소개하고 싶은 첫번째 개념은 전사함수입니다 위로 보내는 함수로 불리기도 하죠 어떤 함수가 전사함수라는 것은 공역에 있는 모든 원소에 대하여 이런 식으로 적어볼게요 한 공역의 원소를 y라고 한다면 집합 X에 적어도 하나의 x가 존재한다는 뜻입니다 그리고 이렇게 나타낼 수 있습니다 그냥 단어로 쓸게요 f(x) = y 입니다 여기서 어떤 y든 고를 수 있어요 그리고 이곳의 모든 y는 여기 x중 적어도 하나와 대응해야 합니다 간단한 예를 들어보죠 간단한 예를 들어보죠 집합 Y가 있다고 하죠 이렇게 생겼어요 이걸 집합 Y라고 해요 그리고 Y는 4개의 원소 A, B, C, D가 있어요 이게 집합 Y이고 비슷하게 생긴 집합 X를 만들죠 이건 1, 2, 3, 4를 원소로 가져요 이제 함수 f가 전사함수이기 위해서는 여기 원소들이 모두 대응해야 합니다 여기 원소들이 모두 대응해야 합니다 그게 무슨 뜻이냐고요? 여기 모든 원소들에 대해 예를 들어보죠 1은 A에 대응되요 2는 B에 대응되고 3은 C에 대응되죠 다섯 번째 원소를 만듭시다 4와 5는 둘 다 D에 대응되요 즉 f(4) = d, f(5) = d인거죠 이게 전사함수의 예시에요 이건 f의 대응이고요 이런 함수를 전사함수 또는 위로의 함수라고 해요 왜죠? 모든 원소가 대응되기 떄문이죠 이제 전사함수가 아닌 함수의 예를 들어보죠 이제 전사함수가 아닌 함수의 예를 들어보죠 Y에 원소를 추가해봅시다 집합 Y에 E라는 원소가 있어요 이제 이건 전사함수가 아닙니다 왜 그렇죠? Y에 대응하지 않는 원소가 있기 때문이죠 Y에 대응하지 않는 원소가 있기 때문이죠 f가 전사함수이려면 필수적으로 모든 값을 대응시켜야 하는데 모든 값이 적어도 한 원소에는 대응되어야 해요 모든 값이 적어도 한 원소에는 대응되어야 해요 따라서 모든 원소는 일대일대응이 됩니다 따라서 모든 원소는 일대일대응이 됩니다 이건 좀 있다가 정의하도록 하죠 이렇게 말이죠 적어도 한 개가 대응해야 하기 때문에 여기로 두 개를 대응시킬 수도 있어요 그러나 중요한 점은 여기 모든 원소는 대응이 되어야 한다는 거에요 다른 방법은 상을 고려하는 거에요 여기에 써봅시다 f가 전사함수라면 즉, 위로 보내는 함수라면 f의 상을 뜻합니다 기억하세요 상은 f가 대응하는 모든 값을 뜻합니다 기억하세요 상은 f가 대응하는 모든 값을 뜻합니다 im(f)가 Y와 같다는 것을 뜻하죠 이제 전에 배웠던 것을 봅시다 상은 공역과 같을 필요는 없습니다 그러나 전사함수라면 상은 공역과 같아야 해요 공역에 있는 모든 값은 대응되어야 하고요 사실, 상에 대한 또 다른 용어는 치역입니다 range(f)는 Y와 같다고 할 수 있죠 차이점을 기억하세요 이 차이점을 함수에 대해 말할 때 얘기했죠 공역과 치역의 차이는 공역은 여러분이 대응시킨 집합이에요 모든 값을 대응시킬 필요는 없어요 치역은 여러분이 대응시킨 공역의 부분집합이에요 실제로 대응이 된 부분집합이죠 여기서 모든 함수값을 구하고 싶으면 여러분이 대응시킨 부분이 치역이 되죠 상이라고 부르기도 해요 상이라는 단어는 선형대수학에서 더 많이 쓰여요 상이라는 단어는 선형대수학에서 더 많이 쓰여요 그러나 상, 혹은 치역이 공역과 같으면 공역의 모든 값은 대응된 것입니다 전사함수인거죠 전사함수인거죠 다음으로 소개할 개념은 단사함수입니다 이건 일대일함수로 불리기도 해요 다시 정의역과 공역을 그려봅시다 이게 정의역이고 이게 공역이에요 X와 Y고요 f가 단사함수, 혹은 일대일함수라면 모든 값은 대응됩니다 이렇게 써봅시다 모든 값은 대응됩니다 이렇게 써봅시다 두 가지 다른 방법으로 해보겠습니다 여기에는 대응하는 x가 많아야 한 개 있습니다 다른 방법으로 말하자면 이렇게 써보겠습니다 Y의 원소인 임의의 y에 대해 많아야 하나의 x가 f(x)=y를 만족합니다 대응시킬 x가 없을 수도 있어요 예를 들어 대응되지 않는 Y의 원소가 있습니다 예를 들어 대응되지 않는 Y의 원소가 있습니다 Y에 있는 다른 원소들은 대응되지만 이 원소는 대응되지 않아요 이것이 전사함수가 아닌 경우죠 이것이 전사함수가 아닌 경우죠 이건 전사함수가 아니죠 공역에는 속하지만 치역에는 속하지 않기 때문이에요 공역에는 속하지만 치역에는 속하지 않기 때문이에요 이건 대응되지 않죠 그러나 이건 단사함수에요 모든 x가 특정 y에 대응되기 때문이죠 단사함수가 아닌 함수는 어떻게 될까요? 일대일함수에서 아이디어를 얻을 수 있습니다 두 개 혹은 세 개의 x가 같은 y로 대응된다면 두 개 혹은 세 개의 x가 같은 y로 대응된다면 이건 단사함수나 일대일 함수가 아니라는 뜻입니다 그런 뜻입니다 다른 예를 들어보죠 이 예시로 다시 돌아가보죠 여기에 E를 추가하면 이건 더 이상 전사함수가 아니죠 E는 대응되지 않았기 때문이죠 E는 대응되지 않았기 때문이죠 이것은 단사함수일까요? f(5)와 f(4) 둘 다 D에 대응되기 때문에 단사함수가 아닙니다 따라서 단사함수가 될 수 없습니다 따라서 단사함수가 될 수 없습니다 또 전사함수가 될 수 없고요 전사함수와 단사함수를 만들고 싶다면 이 대응을 삭제하고 f(5)는 E에 대응시킵니다 이 대응을 삭제하고 f(5)는 E에 대응시킵니다 이제 모든 원소가 일대일이죠 더 이상 두 개의 x가 Y의 같은 원소에 대응되지 않습니다 더 이상 두 개의 x가 Y의 같은 원소에 대응되지 않습니다 이제 Y에 있는 모든 원소는 대응됬어요 그러므로 전사함수이자 단사함수입니다