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가역성과 전사함수, 단사함수의 관계

동영상 대본

언젠가 강의에서 집합 X에서 집합 Y로 사상하는 함수가 가역성을 지니기 위한 필요충분조건에 대해 다뤘습니다 노란색으로 적겠습니다 공역의 모든 원소 y에 대해 유일한 해 x가 정의역 X에 존재해야 한다는 조건입니다 f(x)=y를 만족하는 해 말입니다 여기 정의역 X를 두고 여기 공역 Y를 둘 때 함수 f가 가역적이라고 합시다 가역성이 무엇을 의미하는지도 배웠습니다 가역성이란 역함수라고 하는 다른 함수가 존재한다는 것인데 이 역함수를 f와 합성하면 x에 대한 항등원이 됩니다 f를 이 역함수와 합성하는 것은 y에 대한 항등원과 같고요 여러번 진행한 내용이니 다시 반복하지는 않겠습니다 가역성이 무엇인지는 배웠고 공역의 모든 y에 대해 f(x)=y를 만족하는 유일한 해 x가 존재하는 경우에 그리고 오직 그러한 경우에만 가역성이 존재한다고도 배웠습니다 한번 이렇게 적어보겠습니다 여기 어떤 원소 x。이 있다고 하면 f(x。)=y가 됩니다 그래서 이 y는 f(x。)가 됩니다 여기 함수를 적용하면 이쪽의 점으로 사상합니다 다음과 같은 조건에서는 가역성을 지니지 않는데요 X의 두 개의 원소가 이쪽 점으로 사상하는 경우입니다 가역성이 깨지게 되는데 유일해야 한다는 조건을 만족하지 못하기 때문입니다 이쪽으로 사상하는 유일한 해 x를 가져야 합니다 여기 분홍색으로 그린 점 때문에 두 개의 x가 이 y로 사상하게 되어 y로 사상하는 유일한 해 x를 갖지 못합니다 저번 동영상에서 다룬 내용인데 이는 무엇을 의미하나요? 각 y에 사상하는 유일한 해 x가 존재한다면요? 이는 일대일 사상을 가져야 한다는 뜻입니다 f가 일대일 함수여야 합니다 한번 적어 보겠습니다 함수 f가 일대일 함수나 단사 함수라고 할 수도 있습니다 여기의 두 점이 동일한 y에 사상하면 이러한 조건이 깨지게 됩니다 더이상 일대일이 아니게 되며 유일한 해 x가 이 방정식에 존재한다고 할 수 없게 됩니다 반대로 어떤 y를 고르더라도 y로 사상하는 유일한 해 x가 있어야 합니다 예를 들면 이런 y가 있으면 안되는데, 어떠한 x도 이 y로 사상하지 않는다고 해 봅시다 그러한 경우 가역성을 만족시키지 못합니다 이는 가역적이지 않게 됩니다 Y의 모든 것, Y의 모든 원소는 사상할 x가 있어야 합니다 이 모두가 어떤 x에 의해 사상해야 합니다 그리고 X의 단 하나의 원소에 대해 사상합니다 모든 원소들은 각각 유일한 x에 의해 사상해야 합니다 저번 동영상에서 공역의 모든 원소로 사상하는 함수를 뭐라고 불렀나요? 여기 이 조건을 다르게 표현하면 어떻게 될까요? 공역의 모든 원소로 사상하는 함수 말입니다 저번 동영상에서 이를 전사함수 혹은 위로의 함수로 부른다고 했습니다 이 동영상을 진행하는 이유는 저번 동영상에서 사용한 용어들을 이용해서 가역성에 관한 조건들을 나타내고 싶기 때문입니다 공역의 원소인 모든 y에 대해 y로 사상하는 원소 x가 존재한다고 할 때 함수 f가 전사함수라고 할 수 있습니다 함수 f가 전사함수라고 한다면 Y의 모든 것에 대응하는 x가 존재합니다 하지만 예를 들어 여기 이 점이 두 개 이상의 x에 의해 사상될 수 있습니다 전사함수 자체는 X의 원소가 Y의 원소로 유일한 대응을 이룬다는 조건을 만족시키지 못합니다 그래서 가역성을 가지기 위해서 함수 f는 단사함수이기도 해야 합니다 더 비공식적인 명칭이긴 하지만 전사함수를 위로의 함수 단사함수를 일대일 함수라고도 합니다 이러한 용어를 이용하여 가역성을 지니기 위한 조건을 표현할 수 있습니다 함수 f가 사상하는 범위가 정의역 X에서 공역 Y인 경우 가역성을 지니기 위한 조건은 f가 전사함수이고 단사함수라는 조건과 필요불충분조건입니다 혹은 f가 위로의 함수이면서 일대일 함수라는 조건을 만족하고 이를 만족하는 경우에만 가역성을 지닌다고 할 수 있습니다 더 복잡하게 표현한 것 뿐입니다 함수 f가 유일한 해 x를 공역의 모든 y에 사상한다고 하는 것을요 모든 y에 대해 각각 하나의 x가 대응됩니다