증명: 가역성은 f(x)=y 의 해가 유일함을 의미합니다.

함수 f가 있습니다 집합 X에서 집합 Y로 사상하는 함수입니다 그리고 논의를 위해서 f가 가역 함수라고 합시다 이러한 가역성이 위의 방정식에서 어떤 역할을 지닐까요? 방정식 f(x)=y입니다 공역 Y에 속하는 모든 원소 y에 대해 공역 Y에 속하는 모든 원소 y에 대해 공역 Y에 속하는 모든 원소 y에 대해 유일한, 강조해서 쓰겠습니다, 유일한 해 x가 존재합니다. 정의역의 원소 중에서 말입니다 다음을 만족하는 경우에 말인데, 한 번 적어 보겠습니다 수학 기호로 쓰려 했지만 글자로 써도 괜찮겠지요 f(x)=y를 만족하는 경우에 말입니다 한 번 그림으로 나타내 보죠 여기 우리의 집합 X가 있습니다 이 집합이 X입니다 이건 공역 Y입니다 함수 f에 대해서 여기 X의 원소 a를 취해 봅시다 함수 f에 원소 a를 대입하면 집합 Y의 한 원소로 사상합니다 여기 이건 f(a)이겠네요 여기까지가 이 왼쪽 위의 식이 다룬 내용이지요 이제는 이 방정식을 볼 건데요 이 집합 Y에서 아무 원소 y를 골라서 여기서 무언가를 골랐다고 합시다 b를 골랐다고 합시다 방정식 f(x)=b를 만족하는 유일한 해가 있는지 알고 싶습니다 유일한 해가 존재할까요? 먼저 해가 있는지를 생각해 보아야겠지요 만일 해가 있는 경우, 집합 X의 어떤 원소 x가 변환 f에 의해 b가 될 수 있겠네요 해가 유일한지에 대해서도 알아봐야 합니다 예를 들어 이 한 점만 b가 된다면 유일한 해겠지만 여러 점들이 b가 될 수 있으면 유일한 해가 아니겠지요 X의 다른 점에 변환 f를 가해서 b가 된다고 하면 고유하지 않은 해가 되겠네요 이 동영상에서는 가역성이 공역의 아무 원소 y가 f(x)=y에서 유일한 해를 갖는지와 관련되었다는 것을 다루려 합니다 먼저 가역성에 대한 정의를 살펴보고 여기서 나아갈 수 있는지 살펴보겠습니다 정의에 따르면 f가 가역적이라는 것은 이 세 갈래 부호는 ~이 존재한다는 뜻인데요 가끔 수학적 기호를 써도 좋겠지요 한 번 적어보겠습니다 즉 어떤 함수가 존재한다는 뜻인데 f의 역함수라고 합시다 Y에서 X로 사상하는 함수인데요 쌍점은 조건을 제시할 때 쓰는 부호인데요 그냥 적도록 하겠습니다 f의 역함수를 f와 합성하면 X의 항등원과 같아지는 경우에 말입니다 f를 X의 어떤 원소에 적용한 뒤 f의 역함수를 적용하게 되면 같은 처음 점으로 돌아오게 됩니다 같을 뿐만 아니라 X에 항등함수를 가하는 것과도 같은 결과이므로 Ix로 쓸 수 있습니다 그래서 처음 대입한 것을 얻게 되겠네요 이 역함수에 대해서도 어떤 함수의 역함수와 그 함수의 합성은 항등함수와 같습니다 그리고 어떤 함수와 그 함수의 역함수와의 합성도 Y에 대한 항등함수와 같습니다 Y에서 시작해서 역함수를 적용한 뒤 함수를 적용해도 처음 지점으로 되돌아옵니다 이는 Y에 항등함수를 가하는 것과 같습니다 가역성은 이러한 성질을 보이며 저번 동영상에서 가역성을 정의한 방법이기도 합니다 이젠 위에 있는 이 방정식을 다루고 싶습니다 분홍색으로 적도록 하겠습니다 f(x)=y 집합 Y의 모든 원소 y에 대해 유일한 해 x가 존재하는지에 대해 알고 싶습니다 f가 가역적이라는 것은 알고 있습니다 동영상 시작 때부터 말씀드렸죠 그래서 f가 가역적이라면, 우리는 f가 역함수가 있다는 것을 알고 이 f 역함수를 적용할 수 있습니다 이는 Y를 X로 사상합니다 이를 Y의 어떤 원소에도 적용할 수 있습니다 어떤 y에 대해 여기 있는 y라고 합시다 f 역함수를 이 y에 적용할 수 있습니다 여기로 가겠네요 물론 y=f(x)입니다 이들은 정확히 같은 지점입니다 여기 f의 역함수를 적용해 보겠습니다 f의 역함수를 양변에 적용하면 이쪽은 Y의 원소이고 이쪽도 Y의 같은 원소입니다 맞나요? 이들은 같은 원소입니다 양쪽에 사상, 즉 역사상을 적용하게 되면 X의 어느 원소에 도달합니다 한번 해보겠습니다 역함수를 이 방정식의 양쪽에 취하고 Y의 원소 y를 지닌 방정식입니다 양쪽에 역함수를 취하면 X의 어떤 원소 x에 도달하게 되는데 어떤 값이 나올까요? 우변 같은 경우 y의 f 역함수로 쓸 수 있겠지요 X의 어느 원소가 나오게 되는데요 그렇다면 이 좌변은 어떻게 될까요? 역함수의 정의는 f와 합성할 때 항등함수가 된다는 것입니다 이는 어떻게 되나면 한번 적어 보겠습니다 이는 f의 역함수를 f(x)와 합성한 것과 같은데 이는 항등함수가 x에 가해진 것과 같습니다 x에 항등함수를 가하면 어떻게 되나요? x가 나오게 됩니다 이 변 전체가 x가 됩니다 그래서 우리는 f가 가역적이라는 데에서 시작해서 가역성의 정의를 이용했습니다 역함수가 존재한다는 정의 말입니다 그리고는 양변에 역함수를 적용해서 모든 y에 대해 집합 Y의 모든 원소 y에 대해 각각 유일한 해 x가 존재한다는 것을 보였습니다 이는 방정식을 만족시키는 유일한 x입니다 x가 유일한지는 어떻게 알 수 있었나요? 가능한 단 하나의 역함수가 이 함수이기 때문입니다 역함수는 단 하나만 존재합니다 저번 동영상에서 이를 증명했습니다 f가 가역적이라면 단 하나의 역함수를 지니고 있다는 것을요 어쩌면 두 개의 역함수를 지닐 수 있는지 찾아보았지만 역함수는 서로 같아야만 한다는 것을 보았습니다 역함수가 한 개가 있으며 집합 Y의 모든 원소에 적용되기 때문에 해가 있다는 것을 알 수 있습니다 그리고 역함수가 하나밖에 없기 때문에 그리고 하나의 값으로 사상시키기 때문에 이는 유일한 해라는 것을 알 수 있습니다 한번 적어보겠습니다 만일 f가 가역적이라면 만일 f가 가역적이라면 방정식 f(x)=y는 집합 Y의 모든 y에 대해 방정식 f(x)=y는 집합 Y의 모든 y에 대해 유일한 해를 갖는다 그리고 그 유일한 해는 역함수에 y를 대입한 값입니다 너무 단순해 보일지도 모르겠지만 원하는 목표까지 도달하려면 더 엄밀해질 필요가 있습니다 그 반대가 참인지 보겠습니다 다음과 같은 가정에서 시작해 보겠습니다 집합 Y의 원소인 모든 y에 대해 f(x)=y가 유일한 해를 지니고 있다는 가정입니다 이 가정이 다른 방향으로 이끌 수 있는지 살펴봅시다 이 가정으로부터 우리는 가역성을 증명할 수 있습니다 그럼 첫 번째 방법에 대해 생각해 보겠습니다 우리는 모든 y에 대해서 집합을 다시 그려보겠습니다 이건 집합 X고 이건 집합 Y입니다 다음과 같은 가정을 했었는데, Y에서 어떤 원소를 고르더라도 유일한 해를 지닌다는 가정입니다 유일한 해라고 합시다 이를 뭐라고 부를까요? 유일한 해 x라고 합시다. 여기서 아무 점이나 선택하고 앞서 사용한 가정에 의해, 이 점으로부터 집합 X 내에서 f(x)=y를 만족하는 점을 찾을 수 있습니다 이를 찾을 수 있을 뿐만 아니라 이는 유일한 해이기도 합니다 이로부터 새로운 함수를 정의하겠습니다 함수 S를 정의해보죠 함수 S는 Y에서 X로 사상합니다 이는 Y에서 X로 사상하는 함수이며 집합 Y에 속하는 원소 y에 대해 S(y)는 f(x)=y를 만족하는 유일해인 집합 X 내의 원소 x 와 같습니다 약간 복잡해 보일 수 있습니다 하지만 다시 생각해보면 이 또한 함수를 정의하는 한 가지 방법입니다 우리는 f(x)=y를 만족하는 모든 y 즉 집합 Y의 어떤 원소를 고르더라도 방정식의 유일한 해가 있다는 것에서 시작했습니다 Y의 어떤 원소도 X의 유일한 해와 연관 지어지고 이 유일한 해는 여기 이 방정식을 만족한다는 뜻입니다 그러면 다음과 같은 함수를 정의할 수 있지 않을까요? Y의 모든 원소에 대해 f(x)=y를 만족하는 고유한 해로 보내는 함수입니다 함수 S(y)는 이러한 방법으로 정의되었습니다 이는 Y에서 X로 보내지는 유효한 사상입니다 함수 S(y)는 각 원소마다 하나의 값이 대응되는데 집합 Y의 모든 원소 y가 f(x)=y에 대해 고유한 해를 지니고 있기 때문입니다 그렇기 때문에 하나의 값만을 가지게 됩니다 따라서 이는 잘 정의된 함수입니다 이제는 여기에서 어떤 원소를 가지고 b라고 합시다 집합 Y의 원소 b입니다 새로 정의한 함수 S로 원소 b를 사상해 보겠습니다 b를 사상시키면 집합 X의 원소인 S(b)가 됩니다 정의에 의해 S(b)가 고유한 해라는 것을 알고 있습니다 약간 순환논증처럼 보일 수 있지만 그렇지 않습니다 우리는 S(b)가 해라는 것을 알고 있습니다 그래서 우리는 S(b)가 f(x)=b의 고유한 해라는 것을 알게 됩니다 만약 그렇다면 그게 이 함수가 하는 역할입니다 이 함수는 모든 y를 방정식의 고유한 해에 사상합니다 우리는 모든 y가 고유한 해를 가지고 있다고 했으므로 모든 y가 고유한 해를 지니는 경우 f(S(b))를 취하면 어떻게 될까요? 방금 S(b)가 f(x)=b의 고유한 해라고 했지요 S(b)를 여기 넣으면 어떻게 되나요? b를 얻게 되겠지요 이렇게 말할 수도 있습니다 f와 S의 합성을 b에 적용하면 b가 나온다고요 다르게 말하자면, S를 b에 적용하고 여기 다시 f를 적용하면 이를 합성이라 하는데 다시 b로 돌아오기 때문입니다 그게 여기서 일어난 일입니다 y에 대한 항등함수가 b에 적용된 것과 같습니다 그래서 b가 되겠네요 그래서 이러한 합성이 존재하고 이러한 함수가 존재한다는 것을 알거나 언제든지 만들 수 있습니다 이러한 함수가 존재한다는 것을 이미 알고 있습니다 이 정의를 이용해서 생겨난 함수지만 이러한 조건이 잘 정의되었다는 것을 보였습니다 이 식이 모든 y에 대해 각각 유일한 해 x를 지닌다는 가정에 기반을 뒀기 때문에 함수를 상당히 합리적으로 정의할 수 있었습니다 그래서 이러한 함수는 분명 존재합니다 존재할 뿐만 아니라 f를 이 함수와 합성하면 y의 항등함수가 된다는 것도 알고 있습니다 이번엔 다른 실험을 해보죠 집합을 다시 그려보겠습니다 이를 집합 X라고 합시다 집합 X의 원소를 하나 잡고 a라고 합시다 여기 집합 Y를 그려보겠습니다 a에 함수를 적용하여 집합 Y의 원소를 얻을 수 있습니다 이를 뭐라고 하냐면 이를 f(a)라고 합시다 이제 이쪽의 함수를 적용하면 집합 Y의 모든 원소에 대해 각각 집합 X 내의 유일한 해를 지니게 됩니다 한번 해보겠습니다 여기 S를 적용해보죠 여기 S를 적용하면 유일한 해를 갖게 됩니다 한번 적어 보겠습니다 여기 S를 가한다면 꼭 a로 돌아갈 필요는 없으니 다시 그리겠습니다 여기 S를 가한다면 이게 무얼 가리키게 될까요? 이 지점이 뭐가 될까요? 이 지점은 여기, f(a)를 S에 대입한 지점이고 유일한 해라는 것을 알고 있습니다 그래서 이는 유일한 해와 같습니다 방정식 f(x)가 이쪽의 y와 크기가 같게 되는 해입니다 이 y를 f(a)라고 불러도 되겠지요 맞나요? 명심하세요 사상 S는 어떤 원소에 대해 그 원소와 크기가 같은 f(x)를 만족하는 유일해로 사상합니다 그래서 f(a)가 유일한 해인 S(f(a))로 사상하는데 다시 하겠습니다 여기 이 점이 유일한 해가 됩니다 f(x)가 Y의 이 원소와 크기가 같아지게 하는 해입니다 Y의 이 원소를 뭐라고 불렀나요? f(a)라고 했습니다 더 복잡하게 말할 수도 있을 텐데요 선형대수학을 배우기 전이었다면 여기 f(x)=f(a)를 만족하는 방정식이 있습니다 이 방정식의 유일한 해는 무엇인가요? x는 뭐랑 같나요? x는 a와 같아야 합니다 f(x)=f(a)의 유일한 해는 a와 같아야 합니다 그리고 해가 단 하나인 이유는 우리가 이를 가정하고 시작했기 때문이죠 그래서 이는 a와 같습니다 혹은 S(f(a))=a라고 쓸 수도 있습니다 혹은 S와 f의 합성에 a를 대입한 것이 a와 같다고 하거나요 혹은 S와 f의 합성이 집합 X에 대한 항등함수라고 하거나요 맞나요? S를 f와 합성하면 x에 대한 항등원이 된다고 할 수 있습니다 지금까지 한 내용을 되짚어봅시다 먼저 집합 Y의 모든 원소 y가 방정식을 만족하는 유일한 해 x를 가진다는 데에서 출발했습니다 f(x)=y를 만족하는 해 말입니다 이 가정으로부터 출발했습니다 이 함수 S를 만들었는데, 여기 Y의 모든 원소 각각을 이 방정식의 유일한 해로 사상시키는 함수입니다 좋아요 이로부터 이러한 함수가 존재한다는 것을 알 수 있습니다 존재할 뿐만 아니라 f와 이 함수를 합성하면 집합 Y의 항등원이 된다는 것도 알게 되었습니다 또한, S와 f의 합성이 x에 대한 항등함수라는 것도 배웠습니다 한번 적어보겠습니다 그래서 이걸 배웠고 f와 S의 합성이 y에 대한 항등원이라는 것도 배웠습니다 우리가 만들었으니 S는 당연히 존재하고 모든 y에 대해 해가 존재하기 때문에 S가 잘 정의되었다는 것도 알고 있습니다 함수 f를 구할 수 있다는 전제하에 이들 두 가지는 참이 됩니다 이는 정의에 의한 것입니다 가역성에 대한 것입니다 기억해두세요, 이는 f가 가역성을 지닌다는 뜻입니다 f가 가역성을 지니기 위해서는 어떤 함수가 존재해야 하는데 f가 X를 Y로 사상한다면, 가역성이란 f의 역함수가 Y를 X로 사상하고 역함수와 f를 합성할 때 x의 항등원이 되는 함수 말입니다. 그리고 어떤 함수와 그 역함수의 합성이 y의 항등원이 되어야 합니다 우리는 이러한 함수를 찾았습니다 이러한 함수가 존재하며 이 함수는 S입니 이 두 가지 모두가 모두 사실이라면 S가 f의 역함수와 같다고 할 수 있습니다 따라서 f는 확실히 가역성을 지닙니다 여기 만족하셨으면 좋겠군요 이 증명은 아주 미묘한데 계속 집합 X 와 Y 사이에서 왔다 갔다 하기 때문입니다 하지만 동영상 앞부분에서 f가 가역성을 지닌다면 모든 y에 대해 f(x)=y를 만족하는 유일한 해가 존재한다는 것을 보였습니다 그리고 동영상의 두 번째 부분에서 우리는 다른 방법이 사실임을 보여주었습니다 집합 Y의 모든 원소 y에 대해 f(x)=y의 유일한 해가 존재한다면 f가 가역성을 지닌다는 것입니다 이 두 가정이 서로를 암시하기 때문에 동영상의 결론을 지어보겠습니다 X에서 Y로 사상하는 f가 가역적이라면 그리고 가역적인 경우에만 이걸 두 방향 화살표로 쓸 수 있는데요 if and only if를 나타내는 iff로 쓰기도 하는데 이 두 명제가 서로를 암시합니다 X에서 Y로 사상하는 f가 가역적이라면 그리고 가역적인 경우에만 집합 Y에 속하는 원소 y에 대해 이건 유일한 x가 존재한다는 기호입니다 다시 적어 보죠 f(x)=y를 만족하는 유일한 해가 존재한다 이것이 이 동영상에서 시사하는 내용인데요 함수의 가역성은 f(x)=y를 만족하는 유일한 해 x의 존재를 암시한다는 것입니다. 함수의 공역에 있는 모든 y 각각에 대해 말입니다.