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가역성의 조건을 간단히하기

동영상 대본

저번 동영상들에서 다룬 전제는 어떤 변환 T가 Rn에서 Rm으로 사상하는 변환이 있다고 합시다 변환 T의 가역성 여부에 대한 질문이었습니다 몇 동영상 전에서 함수와 변환 변환은 사실 함수인데 함수가 가역적이기 위해서는 두 조건을 만족해야 한다는 것을 보였습니다 가역성 두 가지 조건이 있어야 합니다 전사함수이거나 혹은 공역의 모든 원소로 사상하면서 단사함수가 되어야 합니다 단사함수는 공역의 어느 원소로 사상하는 정의역의 원소가 최대 한 개라는 뜻입니다 여러 동영상에서 선형 변환이 행렬 A에 의해 정의된다면 그리고 행렬 A가 m x n 행렬이라면 전사함수가 되기 위해서는 계수가 A의 계수가 변환 행렬의 행의 개수 m과 같아야 합니다 저번 동영상에서 전사함수가 되기 위해서는 열벡터가 모두 선형 독립이거나 이들이 열공간의 기저이거나 행렬 A의 계수가 n과 같아야 한다고 보였습니다 가역성을 지니기 위해서는 변환이 가역성을 지니기 위해서는 이 두 가지를 모두 만족해야 합니다 A의 계수는 m과 같아야 하면서 n과 같아야 합니다 따라서 가역성을 지니려면 두 가지 무언가가 있어야 합니다 가역성을 지니기 위해서는 변환 행렬의 계수가 m이어야 하는데 이는 n과 같습니다 그래서 m이 n과 같아야 합니다 흥미로운 조건입니다 정사각행렬이어야 한다는 조건입니다 n x n 행렬이어야 합니다 이 두 조건이 의미하는 내용입니다 이 두 조건을 만족한다면 m은 n과 같고 정사각행렬을 다루게 되는 것입니다 각 열이 서로 선형 독립인 정사각행렬을 다루고 있기 때문에 이것이 행렬 A입니다 행렬 A는 이렇게 생겼습니다 a1, a2, ...an까지요 A의 계수가 n과 같기 때문입니다 물론 이 행렬은 n x n 행렬입니다 왜냐하면 계수가 행의 개수인 m과 같아야 하고 계수가 열의 계수인 n과 같아야 하기 때문에 행과 열의 수가 같아야 합니다 계수가 열의 수와 같다는 것은 열벡터가 모두 열공간의 기저라는 것을 의미하는데 기약행사다리꼴행렬을 취하면 어떻게 될까요? 이들이 모두 기저 벡터이므로 이들은 모두 추축 벡터 혹은 추축 열과 관련이 있습니다 여기는 1, 0, 0 여러 개가 되고 다음 열은 0, 1, 0 여러 개가 되는 식으로 되겠네요 이들은 모두 추축 열과 관련이 있습니다 기약행사다리꼴행렬을 만들게 되면요 이들 모두가 추축 열입니다 n x n 행렬이죠 n x n 행렬의 모든 열이 추축 열이면 어떤 형태가 될까요? n x n 행렬이란 무엇일까요? 한번 적어 보겠습니다 먼저 n이 있습니다 A의 기약행사다리꼴행렬은 n x n 행렬과 같아야 합니다 A가 n x n이기 때문입니다 어떤 행렬이냐 하면, 모든 열들이 선형 독립이면서 추축 열인 n x n 행렬입니다 그리고 기약행사다리꼴행렬의 정의에 의해 모든 열들이 선형 독립이라면 동일한 추축 열을 갖지 못합니다 좀 복잡해졌지만 무슨 뜻인지 아실 겁니다 n x n 행렬의 모든 열들이 선형 독립이면서 추축 열이면 어떤 형태일까요? 대각선상으로 1들이 있고 나머지는 전부 0인 행렬이겠네요 전에 이러한 행렬을 본 적이 있었죠 n x n 크기의 단위행렬 혹은 n 또는 Rn에 대한 단위행렬입니다 이 행렬에 Rn의 어떤 원소를 곱하더라도 같은 값을 얻게 됩니다 흥미롭습니다 가역성에 대한 상당히 유용한 조건을 얻었습니다 변환 T가 Rn에서 같은 차원 공간으로 사상해야 하기 때문에 Rn에서 Rn으로 사상하는 변환입니다 이는 어떤 n x n 정사각행렬 A와 정의역의 어떤 벡터 x를 곱한 것과 같습니다 가역성을 지니기 위해서는 변환 행렬의 기약행사다리꼴행렬 형태가 n에 대한 단위행렬과 같아야 합니다 여기서 m을 쓰고, 여기 m을 써서 이를 m x n 행렬이라 할 수 있지만 가역성 조건이 성립하기 위해서는 m이 n과 같아야 합니다 n과 같아야 합니다 한번 m들을 남겨 보겠습니다 m들을 남겨 보겠습니다 시사하는 바가 크기 때문입니다 여기서 시사하는 바는 변환 행렬이 가역성을 지니기 위한 유일한 방법이 변환 행렬의 기약행사다리꼴행렬이 n x n 단위행렬이 되어야 한다는 것입니다 단위행렬은 항상 n x n 형태입니다 중요한 내용입니다 앞으로는 이 내용을 이용해서 변환이나 역변환을 풀어 보겠습니다