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역변환이 선형임을 확인하기

동영상 대본

변환 T가 있습니다 변환 T를 정의역의 어떤 x에 가하는 것은 정의역의 x, 혹은 정의역의 벡터 x를 행렬 A와 곱하는 것과 같습니다 선형변환 T가 T의 변환 행렬을 기약행사다리꼴행렬로 나타내면 n x n 단위행렬이 된다고 합시다 이 정보만 가지고도 많은 것들을 알 수 있습니다 행렬 A를 기약행사다리꼴행렬로 나타내면 정사각형 단위행렬을 얻게 됩니다 행렬 A의 크기가 n x n 이라는 것을 알 수 있습니다 T가 Rn에서 Rn으로 사상하는 것도 알 수 있습니다 저번 동영상에서 이 모두는, 특히 이 식은 T가 가역성을 지니기 위한 조건이라는 것을 보았습니다 이러한 것들이 사실이라면 T가 선형 변환일 때 기약행사다리꼴행렬이 단위행렬이라면 T가 가역성을 지니고 있다는 것을 알고 있습니다 가역적이라는 것이 무슨 뜻인지 되짚어 보겠습니다 가역성을 지니기 위해서는 어떤 전에는 함수라는 단어를 썼지만 지금은 변환에 대해 다루고 있습니다 그러나 이들은 서로 같습니다 어떤 변환이 있을 때 T의 역변환 또는 T-1이라고 합시다 T-1과 T와의 합성이 정의역에서의 항등변환과 같고 T와 T-1과의 합성이 공역에서의 항등변환과 같다는 조건을 만족하는 변환입니다 이러한 변환이 어떻게 생겼는지 기억해보기 위해 정의역과 공역을 그려보도록 하겠습니다 정의역은 Rn이고, 공역 또한 Rn입니다 정의역에서 어떤 벡터를 취하고 변환 T를 가하면 공역으로 가게 되고 이게 T입니다 그러고 나서 변환 T-1을 가하면 원래의 x로 돌아오게 됩니다 이 식이 말하는 내용은, 먼저 T를 가한 뒤 T-1을 가합니다 처음 시작한 지점으로 되돌아옵니다 항등변환과 동일합니다 이 식은 공역에서 시작한 다음 역변환을 먼저 가하고 그 다음에 변환을 가하면 공역의 같은 지점으로 돌아오게 된다는 뜻입니다 공역에서의 항등변환과 동일합니다 이 경우에는 정의역과 공역이 같은 집합 Rn입니다 변환이 가역성을 지닌다는 것이 무슨 뜻인지 배웠습니다 가역성을 위한 조건도요 여기서 다음 질문이 나오는데요 이 변환이 선형 변환이라는 것을 알고 있습니다 변환을 행렬로 나타낼 수 있는 조건들 중 하나이기도 합니다 행렬 벡터 곱으로 표현될 수 있는 변환은 선형 변환이기도 합니다 그래서 이는 선형 변환입니다 그렇다면 T-1은 선형 변환일까요? 선형 변환이 되기 위한 두 가지 조건을 복습해봅시다 T가 선형 변환이라는 것을 알고 있습니다 변환 T에 두 벡터, x와 y라고 합시다 두 벡터의 합에 변환 T를 가하는 것은 첫 번째 벡터의 변환과 두 번째 벡터의 변환의 합과 같습니다 이는 선형 변환이 되기 위한 조건 중 하나이며 모든 선형 변환에 적용되는 성질이기도 합니다 모든 선형 변환에 적용되는 두 번째 성질은 정의역 내에 있는 어떤 벡터의 상수배에 변환을 가하는 것이 그 벡터에 변환을 가한 것의 상수배와 같다는 것입니다 선형 변환이 되기 위한 조건들입니다 이 두 조건이 T-1 여기에 적용되는지 살펴보겠습니다 이쪽에서 다뤄 보겠습니다 T와 T-1의 합성에 두 벡터, a와 b의 합을 가해 보겠습니다 T-1은 공역에서 정의역으로 사상하지만 이 경우에는 공의역과 정의역 모두 Rn입니다 T-1은 이 집합에서 이 집합으로 사상합니다 한번 적어 보겠습니다 T-1은 공역에서 정의역으로 사상하는 변환입니다 정의역과 공역이 같아 보이지만요 이는 무엇과 같을까요? 방금 언급했듯이 역변환의 정의에 따라 이는 공역에 대한 항등변환과 같습니다. a와 b가 공역의 원소라고 할 때 이 경우에는 Rn이겠지요, 이는 a + b와 같습니다 이 식, T와 T-1의 합성은 정의에 따라 공역에 대한 항등변환이 됩니다 그래서 대입한 벡터가 그대로 우항에 나오게 됩니다 여기에 x를 넣으면 x가 나옵니다 여기에 사과를 넣으면 사과가 나오고요 항등변환이 될 것입니다 이 값은 무엇과 같은가요? 동일한 논리를 적용해서 우항의 a는 항등변환을 a에 적용한 것과 같다고 할 수 있습니다 그리고 항등변환 대신 이렇게 적을 것입니다 이렇게 적더라도 항등변환과 동일하다는 것을 알고 있습니다 그래서 T와 T-1의 합성을 a에 적용한 것과 같다고 할 수 있고 b도 b에 항등변환과 적용한 것과 같다고 할 수 있는데 이는 T와 T-1의 합성을 b에 가한 것과 같습니다 그래서 이를 다음과 같이 적을 수 있는데 이 둘의 합으로 나타낼 수 있습니다 사실 다시 쓸 필요도 없습니다 왼쪽의 변환이 이것과 같다고만 쓰면 됩니다 이해하기 더 쉽게 T(T-1(a+b))가 T(T-1(a)) 더하기 T(T-1(b))와 같다고 적을 수도 있습니다 그리고 어느 쪽이 더 이해하기 쉬울지는 모르겠지만 이 둘 모두에서 T와 T-1의 합성을 취하면 a+b만 남게 됩니다 T와 T-1의 합성을 취하면 a가 남게 되고 T와 T-1의 합성을 취해서 b가 남게 됩니다 두 경우 모두에서 a+b가 나오게 되는데 어느 항의 값을 구하더라도 벡터 a와 벡터 b의 합이 나오게 됩니다 이제 무엇을 할 수 있을까요? T가 선형 변환이라는 것을 알고 있습니다 그리고 T가 선형 변환이기 때문에 T를 두 벡터의 합에 가한 것은 T를 두 벡터에 가한 뒤 합한 것과 같다는 것을 알고 있습니다 반대 방향에서 보일 수도 있는데요 T를 서로 다른 두 벡터에 가하면 이쪽의 벡터와, 이쪽의 벡터 말입니다 이 경우 T를 어느 벡터에 가한 뒤 T를 다른 벡터에 가한 것과 합하게 됩니다 여기서 오른쪽에 해당합니다 그래서 T를 두 벡터의 합에 가하는 것과 같다는 것을 알고 있습니다 이는 T를 T-1(a)와 T-1(b)의 합에 가한 것과 같게 됩니다 복잡해 보일지 모르겠지만 이 항이 이것과 같다는 내용이 전부입니다 x가 T-1(a)와 같고 y가 T-1(b)와 같다고 하면 둘의 형태가 같게 됩니다 그래서 이는 변환 T가 이들 두 벡터의 합에 가한 것이 됩니다 그래서 이는 변환 T가 T-1(a)와 T-1(b)의 합에 가해진 것과 같게 됩니다 T가 선형이라는 내용만으로 도출해냈습니다 이제 무엇을 할 수 있을까요? 여기 적은 내용을 간단하게 정리해 보겠습니다 다시 적어 보겠습니다 여기 이 값은, 이것과 같은데 T와 T-1의 합성을 a와 b의 합에 가한 것은 T가 두 벡터, T-1(a)와 T-1(b)의 합에 가해진 것과 같습니다 지금까지 다룬 내용입니다 T-1이 이러한 성질들을 지닌다는 것을 증명하는 데에 거의 근접했습니다 이 T들만 제거할 수 있다면 말입니다 이러한 T들을 제거하는 가장 좋은 방법은 양쪽에 T의 역변환을 취하는 것입니다 방정식의 두 항에 T-1을 가하는 것입니다 한번 해 보겠습니다 왼쪽 항에 T-1을 가하는 것은 우측 항에 T-1을 가하는 것과 같아야 합니다 왜냐하면 이들 두 항은 서로 같기 때문입니다 그렇기 때문에 함수에 같은 값을 대입하면 양 쪽에서 같은 값을 얻어야 합니다 왼쪽 항의 이 부분은 어떻게 될까요? 이건 무엇인가요? 이는 합성인데, 한번 이렇게 적어보겠습니다 이는 T-1과 T의 합성이 이 내부에 가해진 것입니다 결합법칙이 다르게 적용되도록 하는 것입니다 T-1(a+b)에 적용되도록 하였습니다 좌항이 의미하는 내용입니다 좌항에서는 T-1에 T를 대입한 이들 처음 두 단계를 T-1과 T의 합성에 이 안의 내용을 대입한 것으로 표기하였습니다 이 안의 내용은 이 아래의 내용과 같습니다 이를 나타내는 다른 방법이었습니다 그리고 이는 T-1과 T의 합성에 같은 색으로 적겠습니다 T-1과 T의 합성입니다 이 앞쪽 부분인데 여기 이 부분과 매우 비슷합니다 T-1(a)+T-1(b)를 대입하는 겁니다. T-1의 정의에 따르면 이는 무엇일까요? 정의역의 항등변환입니다 Rn 위의 항등변환입니다 이 역시 Rn의 항등변환입니다 무언가를 항등변환에 대입하면 동일한 무언가를 얻게 됩니다 그래서 이것은 방정식의 양 변 모두에서 진행하겠습니다 좌항 전체는 T-1(a+b)로 정리됩니다 그리고 우항은 이렇게 정리됩니다 이는 단지 항등변환이기 때문에 이 내부의 항과 같은데 T-1(a)+T-1(b)입니다 T-1이 선형 변환이라는 첫 번째 조건을 충족시켰습니다 이제 두 번째 조건을 충족시킬 수 있는지 보겠습니다 동일한 방식으로 진행해보죠 T와 T-1의 합성에 어떤 벡터 ca를 대입하겠습니다 이렇게요 이를 정리할 수 있는데 이 부분은 Rn의 항등변환과 같습니다 그래서 이는 ca가 됩니다 a는 무엇과 같은가요? 여기 이 값이 무엇과 같은가요? 색을 바꾸어 옆에 써 보겠습니다 a, 벡터 a가 변환 T와 T-1의 합성을 벡터 a에 가한 것으로 나타낼 수 있습니다 이는 단지 항등변환이기 때문입니다 그래서 이 표기를 c를 T와 T-1의 합성에 벡터 a를 가한 것과 곱한 것으로 다시 쓸 수 있습니다 합성 형태 대신 위의 이러한 형태로 다시 쓰는 게 낫겠네요 좌측 항은 T(T-1(ca))가 위 내용을 다시 쓴 것뿐입니다 이 초록색과 같다고 쓸 수 있습니다 비슷하게 적어 보겠습니다 우측 항은 c(T(T-1(a)))가 됩니다 합성의 정의에 따른 것입니다 T는 선형 변환입니다 T에 어떤 벡터를 대입한 것을 c배한 것은 T에 어떤 벡터의 c배를 대입한 것과 같다는 뜻입니다 변환의 조건들 중 하나입니다 T가 항상 만족하는 조건입니다 만약 이 안의 내용이 T에 대입하는 벡터이고 앞의 c는 스칼라입니다 T가 선형 변환이라는 것을 알기 때문에 이 안의 내용을 T(cT-1(a))로 쓸 수 있습니다 이제 무엇을 할 수 있을까요? T의 역변환을 양 변에 적용해 봅시다 한번 적어 보겠습니다 좌항에서 T(T-1(ca))가 T(cT-1(a))와 같습니다 지금까지 다룬 내용입니다 이 바깥쪽에 있는 T들을 없앨 수 있다면 좋겠습니다 그리고 이 T들을 없애는 가장 좋은 방법은 T-1 변환을 양 변에 가하는 것입니다 한번 해 보겠습니다 T-1 방정식의 양 변에 T-1을 가해 보겠습니다 다른 방법으로 나타낼 수도 있는데 좌변은 T-1과 T의 합성에 T-1(ca)를 가한 것입니다 이 안쪽 부분은 그대로 적었고 이 바깥쪽 부분을 합성 형태로 나타냈습니다 우항 부분도 비슷하게 진행할 수 있습니다 이것이 T-1과 T의 합성에 이 합성, 이 변환에 cT-1(a)를 대입한 것입니다 방금 한 내용을 정리해보겠습니다 이게 여기로 들어갑니다 이건 여기로 들어가고요 그리고 이 합성을 다르게 나타내었습니다 이렇게 나타낸 이유는 이 합성이 Rn의 항등변환임을 알고 있기 때문입니다 이것도 Rn의 항등변환이고요 그래서 항등변환에 무언가를 대입하면 동일한 무언가를 얻게 됩니다 그래서 이 방정식을 단순화시키면 T-1에 어떤 벡터의 c배를 대입한 값이 이 값과 같다고 쓸 수 있습니다 T-1에 어떤 벡터를 대입한 값을 c배 한 것입니다 그렇게 선형 변환을 위한 두 번째 조건을 구하였습니다 첫 번째 조건은 여기 위에서 구했습니다 이제 알게 되었습니다 두 경우 모두 T가 선형 변환이라는 사실로부터 T-1에 대한 결과를 얻어 내었습니다 그래서 T가 선형 변환이고 T가 가역성을 지닌다면 T-1 또한 선형 변환임을 알 수 있습니다 알면 좋다 정도의 사소한 내용으로 보일 수 있지만 실제로는 중요한 내용입니다 T의 역함수를 행렬 벡터 곱으로 표현할 수 있기 때문입니다 이는 T-1에 어떤 벡터 x를 대입한 것이 어떤 행렬과 x의 곱으로 표현할 수 있다는 뜻입니다 그리고 이를 만족하는 행렬을 행렬 A-1이라고 부르겠습니다 이러한 A-1 행렬을 구하는 법을 정의하지 않았지만 이러한 행렬이 존재한다는 사실을 알게 되었습니다 T가 선형 변환이기 때문에 이러한 행렬이 존재한다는 것을 알 수 있습니다 여기서 한 걸음 더 나아갈 수도 있는데요 가역성의 정의로부터 T-1과 T의 합성이 Rn의 항등변환과 같다는 것을 알 수 있습니다 합성이란 무엇인가요? 한번 이렇게 적어 보겠습니다 T(x)가 Ax와 같다는 것을 알고 있습니다 그래서 T-1과 T의 합성이 어떤 벡터 x에 가해진 것이 먼저 A에 x를 대입한 것인데 Ax입니다 이제 A-1x를 적용합니다 A-1을 여기 적용할 것입니다 그래서 이제 이 부분이 두 변환 행렬의 합성을 취하는 것이 행렬과 행렬의 곱과 같다는 것을 알 수 있습니다 오래 전에 이를 배웠습니다 사실 행렬과 행렬의 곱을 어떻게 정의하는지 알고자 하는 동기였습니다 여기서 흥미로운 점은, 이 합성은 우항과 같지만 또한 Rn 위의 항등변환이 벡터 x에 가해진 것과도 같다는 것인데 이는 단위행렬이 x에 가해진 것과 같습니다 맞나요? 이는 n x n 행렬이고 무언가를 대입하면 동일한 무언가를 얻게 됩니다 흥미로운 결론을 얻었습니다 A-과 A의 곱은 단위행렬과 같아야 합니다 A-1, 혹은 T-1에 대응하는 행렬을 T에 대응하는 행렬과 곱하면 단위행렬을 얻게 됩니다 이는 양쪽 모두에서 성립하는데요 이 좌항이 사실이라는 것을 알지만 가역성에 대한 또 다른 정의는 T와 T-1의 합성이 공역의 항등변환과 같다는 것을 보이는데 이 역시 Rn에 대한 항등변환입니다 IRn 그래서 동일한 논증에 의해 반대 방향에서 접근한다면 만일 T-1을 먼저 적용하고 T를 적용하는 것은 T-1에 대응하는 행렬을 먼저 적용한 뒤 T에 대응하는 행렬을 벡터 x에 적용하는 것과 같은데 이는 단위행렬과 x를 곱하는 것과 같습니다 n x n 단위행렬 말입니다 혹은 순서를 반대로 할 수도 있습니다 A 곱하기 A-1 역시 단위행렬과 같습니다 이는 흥미로운 내용입니다 일반적으로 행렬과 행렬의 곱에 대해 행렬의 순서를 바꾸면 값이 달라지기 때문입니다 그러나 가역행렬과 그 역행렬의 경우 순서는 중요하지 않습니다 A-1을 A와 곱해서 단위행렬을 얻을 수도 있고 A를 A-1과 곱해서 단위행렬을 얻을 수도 있습니다 여기까지 진행했기 때문에, 다음 단계는 이러한 행렬을 어떻게 얻는지에 관한 것입니다 이러한 행렬이 존재한다는 것은 알고 있습니다 역변환이 선형 변환이기 때문에 이에 대응하는 행렬도 존재합니다 역변환에 대한 행렬을 변환 행렬과 곱하면 단위행렬이 나온다는 멋진 성질을 다루었습니다 다음 단계는 이 행렬을 어떻게 구하는지에 관한 것입니다