단사변환에 대한 행렬의 조건

어떤 행렬 A가 있다고 합시다 A의 영공간을 구한다고 할 때 이는 본질적으로 Ax=0 방정식을 세우고 이를 만족하는 모든 x를 구하는 것과 같습니다 이 방정식을 만족하는 모든 x Ax=0과 같은 경우입니다 이 식을 만족해야 합니다 이를 풀기 위해서는, 여러 번 했던 내용인데 언젠가 동영상에서 이를 다루었는데 이로부터 붙임행렬을 만들어야 합니다 이렇게 생긴 붙임행렬이 나옵니다 오른쪽에 영벡터가 있습니다 그리고 기본행연산을 여러 번 진행해서 왼쪽이 기약행사다리꼴행렬이 되도록 합니다 연산을 여러 번 진행해야 합니다 왼쪽 항이 기약행사다리꼴행렬이 될 때까지요 이를 A의 기약행사다리꼴행렬이라고 합시다 우변은 계속 0입니다 같은 기본행연산을 진행하는데 0에 대해 기본행연산을 진행하더라도 영벡터를 얻게 되기 때문입니다 그리고 이를 분리하면 이 붙임행렬로부터 계를 만든다면 이 두 붙임행렬이 서로 동치이기 때문에 다음과 같은 해집합을 얻을 수 있습니다 다음과 같은 해집합을 얻게 되는데 한번 적어보겠습니다 해집합이 어떤 스칼라배 어떤 자유 변수의 자유 변수의 스칼라배가 됩니다 여러 번 했던 내용이므로 일반적인 경우를 다루겠습니다 어떤 벡터, 예를 들어 벡터 n1의 몇 배 더하기 다른 벡터 n2의 스칼라배 이 스칼라들이 자유변수가 되는데요 이를 계속 더합니다 c 곱하기 마지막 n번째 벡터까지요 일반적인 경우를 다루려 하고 있습니다 두 개나 세 개의 벡터를 넘어가는 경우는 다루지 않았지만 그러나 이는 영공간이 이들 벡터들에 의해 생성되는 경우입니다 방정식을 얻고, 이렇게 생긴 해집합을 얻어서 이를 영공간이라 부릅니다 여러 번 다룬 내용입니다 이것이 영공간이고 벡터의 일차결합 혹은 생성입니다 여기서 얻은 벡터들 말입니다 n1, n2, nn까지요 새로운 내용은 아닙니다 여러 번 다룬 내용을 다시 말하는 것뿐입니다 지난 동영상에서 이를 다루었습니다 단지 이런 식으로 적지 않았을 뿐입니다 그렇다면 비동질 방정식을 푸는 경우는 어떻게 될까요? 비동질 방정식은 이렇게 생겼는데요 Ax=b를 풀고 싶다면 여기와 비슷한 무언가를 하면 됩니다 붙임행렬을 만들 것입니다 왼쪽에 A가 있고 오른쪽에는 b를 둘 것입니다 그리고 A가 기약행사다리꼴행렬이 될 때까지 기본행연산을 여러 차례 진행할 것입니다 한번 해 보겠습니다 그래서 왼쪽에는 A의 기약행사다리꼴 형태의 행렬이 나오고 오른쪽에는 A에 대해 진행한 모든 기본행연산을 전체 행에 진행해야 하기 때문에 그래서 b에도 이를 진행하겠습니다 그래서 새로운 벡터가 생깁니다 이 벡터를 뭐라고 부르냐면 벡터 b'이라고 하겠습니다 이는 b와 다른 어떤 벡터가 되는데 이를 벡터 b'이라고 하겠습니다 그리고 다시 원래대로 돌아오면 붙임행렬에서 빠져나와 계 형태로 나타내어 계산하면 저번 동영상에서 했던 것처럼 해집합을 얻게 됩니다 이를 만족하는 해집합은 x=b', b'이 무엇을 나타내건 간에요 b'과 이렇게 생긴 무언가의 합입니다 이 무언가와 똑같이 생겼습니다 이대로 복사해 붙여 넣겠습니다 정확히 이렇게 생겼습니다 복사되었는지 보겠습니다 복사해서 붙여 넣겠습니다 편집, 복사, 붙여넣기 정확히 이렇게 생긴 무언가가 나옵니다 그리고 지난 동영상에서 해집합이 비동질 방정식에 대한 해집합이 어떤 특수해의, xp라고 합시다 어떤 특수해와 영공간의 어떤 원소의 합이라고 했었습니다 여기에 어떤 동차해를 더하는 것입니다 a, b, c에 어떤 특정 값을 대입하면 영공간을 생성하는 벡터들의 서로 다른 배수를 취하면 어떤 특정한 동차해를 얻게 됩니다 저번 동영상에서 시사한 내용은 비록 엄밀하게 다루지는 않았지만 비동질 계에 모든 대한 해는 한번 적어 보겠습니다 모든 해는 모든 해는 비동질 계 Ax=b에 대한 모든 해는 어떤 형태를 취하냐면 어떤 특수해 여기 이 부분인데 녹색으로 적어 보겠습니다 여기 있는데요 기약행사다리꼴 형태를 가하면 b' 벡터가 됩니다 더하기 어떤 동차해 즉 영공간의 어떤 원소가 됩니다 아직 증명하지는 않았지만 이것이 사실임을 암시했습니다 그리고 이 동영상에서 하려는 것은 더 엄밀한 증명이지만 이는 사실 꽤 간단합니다 우선 이것이 해라는 것을 증명해봅시다 먼저 이것이 해라는 것을 증명해봅시다 이 해를 원래의 방정식에 대입해 보겠습니다 원래의 방정식은 Ax=b였습니다 한번 증명해봅시다 질문으로 적어 보겠습니다 이 특수해와 어떤 동차해의 합이 Ax=b의 해가 될까요? 이를 알아보기 위해서는 x의 자리에 대입하기만 하면 됩니다 한번 해 보죠 A 곱하기 이 항 어떤 특수해 더하기 어떤 동차해가 A 곱하기 어떤 특수해 더하기 A 곱하기 영공간의 어떤 원소와 같아야 합니다 이는 무엇과 같은가요? 이는 b와 같아야 합니다 맞나요? 이 xp가 방정식 Ax=b의 특수해라고 하였습니다 그건 b와 같을 것이고 이건 영벡터와 같은데 이는 동차방정식의 해가 되기 때문입니다 따라서 이는 b 더하기 0이 되며 b와 같습니다 따라서 A 곱하기 이 벡터는 b와 같습니다 따라서 이는 해입니다 해가 됩니다, 네 이제 다음 질문은 비동질 계의 모든 해가 이러한 형태를 취하는지에 관한 것입니다 모든 해 x가, Ax=b를 만족하는 x가 어떤 특수해와 영공간의 원소의 합 혹은 동차해의 합으로 이루어질까요? 이를 알아보기 위해 벡터 x를 A와 곱하면 어떻게 되는지 보겠습니다 다시 써 보겠습니다 x가 Ax=b의 어떤 해라고 합시다 여기서 시작해 보겠습니다 x에서 어떤 특수해를 뺀 것을 A와 곱하면 어떻게 되는지 보겠습니다 행렬 벡터 곱을 풀어 써보면 A 곱하기 어떤 해 x 빼기 A 곱하기 특수해가 됩니다 이 첫 항은 어떻게 되나요? 이 항이 Ax=b를 만족하는 해라고 할 수 있습니다 따라서 이는 b와 같습니다 그리고 이 특수해를 A와 곱해도 b가 됩니다 그래서 이는 b 빼기 b가 되어 영벡터가 됩니다 이를 다르게 생각해 볼 수도 있는데 벡터 x에서 특수해를 뺀 값이 Ax=0의 해라고 할 수도 있습니다 한 번 생각해봅시다 이 괄호 안의 값을 취해서 이 x에 대입하고, A와 곱하면 영벡터를 얻게 됩니다 방금 이를 다루었습니다 영벡터를 얻게 되는데 이 각각에 A를 곱하면 b가 나오기 때문에 b 빼기 b가 됩니다 그래서 영벡터를 얻게 됩니다 따라서 x에서, 어떤 해 x에서 x의 특수해를 뺀 것이 영공간의 원소가 됩니다 맞나요? 정의상 영공간이란 이 방정식을 만족하는 모든 x들의 집합입니다 따라서 이 값이 영공간의 원소이기 때문에 어떤 해에서 특수해를 뺀 값이 영공간의 어떤 원소라고 할 수 있습니다 이 값이 동차해라고 할 수 있습니다 동차해가 둘 이상 있을 수도 있습니다 동차해 만약 특수해를 이 등식의 양쪽에 더한다면 그 어떤 해를 얻을 수 있습니다 우리는 x를 동차해와 특수해의 합으로 정의했습니다 그래서 이를 양 방향에서 모두 증명했습니다 xp+xh가 비동질 방정식의 해라는 것과 비동질 방정식의 모든 해는 xp+xh 형태를 지닌다는 것을요 왜 이를 계속 다루고 비동질 방정식에 계속 관심을 가졌을까요? 어떤 변환이 단사함수가 되기 위한 조건을 다루고 있었습니다 이는 어떤 변환이 가역적이기 위한 두 조건중 하나입니다 단사함수가 되기 위해서는 변환을 그려보도록 하겠습니다 이것을 정의역 X라고 하고 이를 공역 Y라고 하고 X에서 Y로 사상하는 변환이 있다고 해 봅시다 변환 T가 단사함수가 되기 위해서는 한번 적어 보겠습니다 T가 단사함수라는 것은 공역 Y의 어떤 b를 택했을 때 Ax=b를 만족하는 해 x가 최대 한 개 있다는 뜻입니다 A를 변환 행렬이라고 가정했기 때문에 변환 T를 어떤 행렬을 정의역 내의 벡터와 곱하는 것이라고 쓸 수 있습니다 이 점이 Ax가 되는데 만약 x가 여기 있다면요 그래서 T가 여기서 여기로 사상합니다 변형이 단사함수가 되기 위해서는 어떤 b를 잡더라도 Ax=b의 해가 최대 하나가 되어야 합니다 다르게 표현하자면 공역의 어떤 원소로 사상하는 원소가 최대 하나라는 뜻입니다 아예 없을 수도 있습니다 이를 만족하는 해가 없을 수도 있고 최대 하나가 있을 수 있습니다 조금 전에 비동질 방정식의 해가 어떤 형태를 취하는지를 다루었는데 만약 해가 있다면요 해가 없더라도 상관없습니다 여전히 단사함수라는 조건을 만족합니다 그러나 해가 존재하는 경우 특수해 xp와 영공간의 원소의 합의 형태를 지닙니다 이 오른쪽의 항이 영공간의 원소입니다 이 조건은 오른쪽의 항에만 적용됩니다 이렇게요 어떤 해라도 존재한다면 만약 해가 없더라도 상관없습니다 여전히 단사함수가 될 수 있습니다 그러나 해가 존재한다면 최대 하나의 값만이 그 해로 사상할 수 있습니다 그리고 모든 해가 이러한 형태를 지닙니다 좀 전에 이를 다루었습니다 단사함수가 되려면 해를 하나만 가져야 합니다 해집합에 하나의 해만 있어야 합니다 여기 하나의 해만 있어야 합니다 이는 무슨 뜻일까요? 여기 이 값이 하나의 벡터 이상이 되면 안 된다는 겁니다 하나의 벡터가 되어야 합니다 오직 하나의 특수해가 존재합니다 하지만 이 두 번째 항은, 모든 해집합에 대해 어떻게 정의하느냐에 따라 특수해에는 오직 하나의 벡터가 존재합니다 그러나 이 두 번째 항이 하나의 해를 갖기 위해서는 영공간이 영벡터로 이루어져 있어야 합니다 영공간이 항상 최소한 영벡터는 포함하고 있어야 합니다 저번 동영상에서 영공간이 비어 있어야 한다고 잠시 이야기했던 것 같습니다 그러나 정의상 영공간은 부분공간이기 때문에 항상 영벡터를 포함하고 있어야 합니다 그래서 항상 A를 곱하여 0을 얻을 수 있습니다 그래서 영공간은 이를 항상 포함합니다 그러나 오직 하나의 해를 가지려면 영공간은 영벡터만 가지고 있어야 이 값이 0이 됩니다 그래서 유일한 해가 특수해가 되는데 어떻게 얻었는지에 따라 다르겠지만 특수해가 유일한 해가 될 것입니다 한번 이렇게 적어 보겠습니다 단사함수가 되기 위해서는 변환 행렬의 영공간이 영벡터로 이루어져 있어야 합니다 영벡터만 포함해야 합니다 오래 전에 이를 다루고 넘어갔습니다 영공간이 영벡터만 포함한다는 것은 무슨 뜻일까요? 확실히 해 보겠습니다 만약 변환 벡터가 이렇게 생겼다면 a1, a2, ...an 그리고 여기 x1, x2, ...xn을 곱한다고 해 봅시다 영공간이란 이 방정식을 만족하는 x들인데 우항에는 n개의 0들이 있습니다 그래서 영공간이 영벡터로만 이루어져 있다면 그리고 변환이 단사함수가 되기 위해 이러한 조건이 필요하다면 이 행렬이 나타내는 변환 말입니다 영공간이 영벡터로 이루어졌다는 것이 무슨 뜻일까요? 이는 유일한 해가 이를 다른 식으로 쓰면 x1 곱하기 a1, 더하기 x2 곱하기 a2, ... xn 곱하기 an이 영벡터와 같다는 것입니다 이들은 동일한 명제입니다 단지 각각의 항에 대응하는 열벡터를 곱했을 뿐입니다 이들은 서로 같습니다 영공간이 0과 같다고 하는 것은 이 방정식의 유일한 해가 이 방정식을 만족하는 유일한 스칼라가 스칼라를 벡터로 잘못 표기한 것을 수정하였습니다 그래서 여기 이 명제는 x1 곱하기 a1, 더하기 x2 곱하기 a2, ... xn 곱하기 an이 영벡터와 같다는 것과 동치입니다 x1부터 xn까지는 모두 스칼라입니다 영공간이 0을 만족하기 위해서는 x1부터 xn까지가 모두 0이 되어야 합니다 그리고 이는, 사실 이는 정의이기도 한데 선형 독립을 의미합니다 즉 a1이, 영공간이 0이라는 것은 a의 열벡터가, 이렇게 적어 보겠습니다 이는 a1, a2, ...an이 선형 독립이라는 것을 의미합니다 이는 무슨 뜻일까요? 만약 이들이 서로 선형 독립이라면 열공간의 기저는 어떻게 될까요? 열공간이 생성이라는 것을 기억합시다 A의 열공간은 a1, a2, ...an의 생성과 같습니다 방금 말한 내용, 단사함수가 되기 위한 조건은 혹은 단사함수가 되기 위한 조건들 중 하나는 영공간이 0이 되거나 영벡터만을 포함해야 한다는 것입니다 영공간이 영벡터를 포함하면 모든 열들이 서로 선형 독립입니다 만약 모든 열들이 열공간을 생성하고 서로 선형 독립이라면 이들은 기저를 만듭니다 즉 a1, a2, ...an이 열공간의 기저가 됩니다 그리고 이는 만약 모든 열벡터가 선형 독립일 때 정의상 이 열벡터들은 열공간을 생성하고 이들이 서로 선형 독립이므로 기저를 생성합니다 그래서 기저의 차원, 열공간의 차원은 기저를 형성하기 위해 필요한 벡터의 수와 동일하며 n이 됩니다 n개의 열이 있기 때문입니다 따라서 이는 n과 같은 값이 나옵니다 혹은 행렬의 계수가 n이 된다고 할 수도 있습니다 이제 단사함수가 되기 위한 조건을 얻었습니다 단사함수가 되기 위한 조건은 행렬의 계수가 n이라는 것과 필요충분조건입니다 양 방향에서 모두 성립합니다 무언가가 단사함수라고 가정한다면 영공간이 영벡터만 가져야 하는데 그래야 하나의 해를 가질 수 있기 때문입니다 만약 영공간에 영벡터만 있다면 이 열들이 서로 선형 독립입니다 이들 모두가 기저의 일부분이라는 뜻입니다 즉 n개의 기저 벡터가 있거나 계수가 n이라는 뜻입니다 반대 방향에서 시작해 보겠습니다 계수가 n이라는 것은 이 벡터들이 모두 서로 선형 독립이라는 뜻입니다 이들이 모두 선형 독립이라면 영공간은 영벡터입니다 영공간이 영벡터이기 때문에 동차해 항이 사라집니다 따라서 하나의 해만이 남습니다 그러므로 이는 단사함수입니다 그렇기 때문에 단사함수이기 위한 조건은 변환 행렬의 계수가 n이라는 것과 필요충분조건입니다