함수의 역이란?

어떤 함수 f가 있습니다 f : Χ -> Υ 라고 정의합시다 여기에 집합 X를 그리고 마찬가지로 집합 Y를 그리겠습니다 이전 수업에서 설명했던 것처럼 함수는 집합 Χ의 모든 원소에 적용할 수 있습니다 집합 X의 어떤 원소를 생각해보죠 여기에 함수를 적용하거나 벡터를 다룰 때 '함수'라는 용어 대신에 '변환'이라는 용어를 사용합니다 그러나 그 둘은 같습니다 X의 원소와 Y의 원소를 연결하는 거죠 그래서 이 과정을 '사상'이라고 합니다 이 원소에 함수를 적용해 봅시다 작은 점으로 나타낸 이 X의 원소가 Y의 원소로 대응됩니다 X의 원소를 a, Y의 원소를 b라 합시다 a가 집합 X의 원소이고 b가 집합 Y의 원소일 때 f(a)가 b와 같다고 할 수 있습니다 여기까지는 함수에 대해 배웠던 것들의 복습이죠 이번 시간에는 흥미로운 두 함수를 정의하려고 합니다 사실 두 함수라고 했지만 이것을 하나의 함수라고 봅니다 바로 항등함수죠 이 함수를 대문자 Ι 라고 하겠습니다 항등함수는 특정 집합에 적용할 수 있어요 이것을 집합 X의 항등함수라고 한다면 이것은 Ι : X -> X 가 됩니다 항등함수의 흥미로운 점은 집합 X의 임의의 원소 a에 항등함수를 적용하면 a에 대한 항등함수의 값은 똑같이 a가 된다는 점입니다 즉 항등함수는 말 그대로 대상을 자기 자신에 사상시킵니다 항등함수를 그림으로 나타낸다면 다른색으로 그리죠 이렇게 됩니다 원이 나오죠 시작점에서 다시 시작점으로 향하는 원의 형태입니다 모든 점을 다시 자신으로 대응시킵니다 이것은 X에 대한 항등함수가 점 a에 적용된 경우입니다 만약 집합 X의 다른 점에 항등함수를 적용하면 역시 자기자신으로 돌아오죠 이것이 집합 X에 대한 항등함수입니다 이와 같이 집합 Y의 항등함수도 만들 수 있습니다 저곳에 그려놓은 집합 Y의 원소 b에 저곳에 그려놓은 집합 Y의 원소 b에 Y의 항등함수를 적용하면 X의 항등함수를 적용한 a와 같이 자기자신으로 돌아갑니다 따라서 b가 됩니다 이것이 집합 Y에 대한 항등함수입니다 여러분들은 이 함수가 쓸모없다고 느낄 수도 있지만 그렇지 않습니다 항등함수는 선형대수학을 공부하면서 사용하게 될 매우 유용한 표기입니다 이제 새로운 정의를 내리려고 합니다 일단 어떤 함수를 생각해보죠 어떤 함수를 f라 합시다 이미 이곳에 적어놓았죠 함수 f는 가역적입니다 이 새로운 용어를 설명하죠 f가 가역적이라는 명제는 다음과 필요충분조건입니다 이렇게 양방향 화살표(<->)를 쓰거나 'iff'라고 적을 수 있어요 이 기호는 한 명제가 참일 때 다른 명제도 참이고 역도 참이라는 걸 뜻합니다 충분조건도 성립하고 필요조건도 성립하는 거죠 이제 f는 가역적이라는 것을 정의하자면 어떤 함수가 존재할 때 필요충분조건이라는 것입니다 아직은 이 함수를 정의하진 않을게요 물론 곧 할겁니다 여기 있는 f에 윗첨자로 -1을 적을게요 즉 f의 역함수가 존재할 때 f는 가역적입니다 이 함수의 정체를 방금 말한 것 같네요 바로 f의 역함수라고 합니다 f 역함수에 대해서는 보라색으로 써볼게요 f 역함수에 대해서는 보라색으로 써볼게요 보라색으로 써볼게요 f가 X에서 Y로의 사상임을 기억하세요 이때 f의 역함수는 X에서 Y로의 사상이 됩니다 즉 Y에서 X로 사상시키는 f의 역함수가 존재할 때 f는 가역적이고 이는 곧 f와 f 역함수의 합성함수가 X의 항등함수와 같게 됨을 만족합니다 무슨 일이 일어났는지 생각해보죠 사실 이건 단지 부분일 뿐이에요 계속해서 정의를 완성해보죠 지금까지의 것들이 참이어야 하며 또한 f 역함수와 f의 합성함수가 Y의 항등함수와 같아야 합니다 이것이 무엇을 말하는 지 생각해보죠 f의 역함수가 있습니다 f의 역함수는 Y에서 X로의 사상이죠 여기 위에 그려볼게요 f는 X에서 Y로의 사상입니다 보세요 이것이 f의 사상인데요 X에서 Y 방향으로 가게 되죠 f의 역함수라는 다른 함수는 Y에서 X로 사상되고 있죠 여기 써봅시다 f의 역함수는 Y에서 X로의 사상인데요 Y집합의 임의의 값을 취하면 집합 X로 가는겁니다 즉 f의 정의역이 f 역함수의 공역이 되고 f 역함수의 공역이 f의 정의역이 되는 거죠 좋아요 의미하는 바를 알아보죠 이는 f 역함수와 f의 합성함수가 항등행렬과 같아야 됨을 뜻합니다 만약 X의 임의의 값에 f를 적용하면 이 합성함수가 어떤 작용을 하는지 생각해보는 거에요 이 부분은 X에서 Y로 갑니다 이 부분은 Y에서 X로 가죠 자, 어떤 일이 일어났는지 보죠 f는 X에서 Y로 갑니다 그리고 f 역함수는 Y에서 X로 가죠 그래서 이 합성함수는 X에서 X로의 사상이 됩니다 이는 항등함수의 조건과 같죠 X에서 X로 대응되는 게 항등함수와 같다는 거죠 그래서 정의역의 임의의 값를 골라 f를 적용한 결과에 f의 역함수를 다시 적용하면 다시 원점으로 돌아가게 되는 겁니다 이 명제를 다르게 표현하는 방법은 다음과 같습니다 f와 f 역함수의 합성함수에 집합 X의 임의의 원소 a를 대입한 값은 a에서의 항등함수 값과 같습니다 이 두 명제는 의미가 같은거죠 정의에 의해서 결과값은 원래의 값인 a가 됩니다 또 다른 표현 방법은 다음과 같습니다 f(a)에 적용된 f 역함수는 a와 같습니다 처음 명제와 일치하죠 시각적으로 생각해보면 a에서 시작해서, f를 적용하면 Y에 있는 결과 값이 f(a)가 됩니다 f(a)는 b와 같아요 f 역함수가 항상 존재하는 건 아니지만 f 역함수를 적용하면 다시 제자리로 돌아가게 되죠 정의에 의해서 a로 돌아가게 됩니다 이 과정은 항등함수를 소개할 때 그렸던 조그마한 닫힌 고리와 같죠 그것이 여기 이 명제의 의미인 것입니다 두 번째 명제는 f 역함수에 f를 적용하면 Y의 항등함수를 얻게 된다는 걸 의미합니다 먼저 Y의 임의의 점에 f 역함수를 적용하면 결과는 X의 한 점으로 갈 겁니다 소문자 y를 이용하여 이 값을 f-1(y)라고 합시다 소문자 y를 이용하여 이 값을 f-1(y)라고 합시다 여기에 f를 적용하면 그림이 점점 어지러워지는군요 다시 원래 y로 돌아오게 됩니다 y의 f 역함수값에 다시 f를 적용하는 건 y에 항등함수를 적용하는 것과 같아지는 거죠 지금까지 두 번째 명제였습니다 다른 표현으로 y의 f 역함수값에 f를 적용하면 이 때 y는 Y 집합의 원소를 말하고요 그 결과는 y와 같아집니다 방금 역함수의 개념을 배웠습니다 조금은 더 엄밀하게 배웠죠 왜냐하면 머지않아 변환과 행렬과 함께 이 개념을 다룰 것이기 때문입니다 그래서 좀 더 엄밀한 형태로 역함수를 배우는 것이 좋은 거죠 아마 여러분은 처음에 이렇게 질문할 겁니다 일단 먼저 함수 f가 있고 f의 역함수가 존재한다고 합시다 역함수는 저 두 명제를 만족하고요 그 때 f는 가역적입니다 이 때 명백하지만 명백하지 않을 수도 있는 질문은 f 역함수가 유일한가라는 겁니다 사실 명백한 질문은 어떤 함수의 가역성을 어떻게 알아내냐는 거죠 머지않아 이 문제에 대해 많이 얘기할 겁니다 하지만 지금은 f가 가역적이라는 걸 알고 있다고 가정합시다 f의 역함수가 유일하다는 걸 어떻게 알고 있을까요? 먼저 f의 역함수가 유일하지 않다고 가정합시다 즉, 역함수의 두 조건을 만족하여 f의 역함수로서 작용할 수 있는 두 함수가 있다고 가정합시다 그 중 하나를 g라고 하죠 g는 사상한다고 합시다 f가 X에서 Y로의 사상이므로 g는 Y에서 X로의 사상이라고 하죠 이는 어떤 값에 f를 적용하고 g를 다시 적용하면 즉 처음에 X에서 Y로 간 후 그 다음 g를 합성했을 때 다시 X로 돌아오는 것을 만족하게 되죠 이것은 항등함수와 같습니다 이건 역함수 정의의 한 부분이죠 g가 f의 역함수라고 가정하고 있습니다 이 가정이 다음 두 가지를 의미하는 겁니다 이제 h를 f의 또 다른 역함수라고 합시다 역함수의 정의에 따라 h는 두 요구 조건를 만족합니다 즉 h는 Y에서 X로의 사상이 되고 f와 h를 합성했을 때 집합 X의 항등행렬과 같아집니다 단지 이것만이 정의였던 것은 아닙니다 더 많은 것들을 암시하죠 어떤 것이 역함수가 되려면 두 가지 모두를 만족해야 합니다 역함수와 함수의 합성함수는 X의 항등행렬이 되야 합니다 함수와 역함수의 합성함수는 Y의 항등행렬이 되어야 합니다 적어보죠 그래서 g는 f의 역함수입니다 f와 g의 합성함수가 x의 항등함수임을 의미하죠 또 의미하는 바는 g와 f의 합성함수가 y의 항등함수와 같다는 겁니다 같은 방식으로 h가 f의 역함수라는 사실은 h와 f의 합성함수 또한 y의 항등함수와 같다는 것을 의미하죠 시작할 때 그렸던 걸 다시 그릴게요 그러면 뭘하는 지 알 거에요 여기에 집합 X가 있습니다 또 집합 Y가 있어요 f가 X에서 Y로의 사상임을 알고 있죠 판단하고자 하는 것은 f의 역함수가 유일한지입니다 여기서 어떤 역함수를 g로 잡았죠 f와 g의 합성함수를 취하면 항등행렬을 얻게 되죠 그래서 f에서 g를 취하게 되면 같은 점으로 돌아가게 됩니다 따라서 동일합니다 f와 g의 합성함수를 취하는 것은 f를 먼저 적용하고 g를 적용하는 것은 집합 X에서 항등함수를 취하는 것과 같습니다 X를 취하고 다시 X로 돌아가는 거죠 동일합니다 g는 여기있습니다 h도 마찬가지입니다 h도 마찬가지입니다 X의 임의의 원소에서 출발해 Y로 가서 h를 적용하면 이는 또한 항등변환과 같게 됩니다 그것이 이 명제들의 의미입니다 이제 좌측 맨 아래 명제의 의미는 Y에서 시작해 f의 역함수인 g를 적용하여 X로 갑니다 g가 Y에서 X로 이동시켰죠 그 후 f를 적용하면 다시 Y의 같은 원소로 돌아갑니다 Y의 항등함수를 적용한 것과 같은거죠 Y의 항등함수를 적용한 것과 같은거죠 Y의 항등함수를 적용한 것과 같은거죠 h에서도 마찬가집니다 Y에 점을 잡고 h를 적용한 후 f를 다시 적용하면 처음 점으로 돌아오게 됩니다 이것들이 말하고자 하는 모든 것입니다 자, 다시 g가 유일한지 아닌지에 대한 질문으로 돌아가죠 자, 다시 g가 유일한지 아닌지에 대한 질문으로 돌아가죠 두 다른 역함수 g와 h를 가질 수 있을까요? g로 시작해보죠 기억하세요 g는 Y에서 X로의 사상입니다 g는 g와 x의 항등함수의 합성함수와 같게 됩니다 왜 그런지를 보여줄게요 그림을 재빨리 그릴게요 X와 y가 있습니다 g는 y에서 X로의 사상인 것을 기억하세요 g가 x로 데려가는 거죠 y에서 X로의 사상입니다 g는 항등사상 또는 g와 합성된 항등함수와 같게 됩니다 왜냐하면 이 과정은 g를 적용한 후에 X의 항등사상을 적용한다는 것이기 때문이죠 고로 명백하게 정확히 같은 사상 또는 같은 지점을 얻게 되는 겁니다 그래서 이게 등식인 것이죠 하지만 X의 항등사상을 표현하는 다른 방법은 무엇일까요? 어떻게 다르게 쓸까요? 정의에 따라 h는 f의 또 다른 역함수입니다 정의에 따라 h는 f의 또 다른 역함수입니다 그러므로 f와 h의 합성함수를 X의 항등함수 자리에 대입할 거에요 그러므로 이 식은 g와 f와 h의 합성함수가 됩니다 괄호를 넣고 싶을 거에요 가볍게 넣어줄게요 하지만 저번 강의에서 함수나 변환의 합성은 결합법칙을 따른다고 했죠 괄호를 어디에 넣든 상관 없어요 전 괄호를 넣었어요 여러분이 두 식이 같다는 걸 쉽게 이해할 수 있도록 말이죠 그러나 합성에서 결합법칙이 성립함을 알죠 그래서 이는 곧 (g와 f의 합성함수)와 h의 합성함수로 쓸 수 있어요 자, 이제 g와 f의 합성함수와 같은 것은 무엇일까요? 글쎄요, 정의에 따라 y의 항등변환과 같게 되겠죠 따라서 y의 항등함수와 h를 합성한 함수로 다시 쓸 수 있어요 또 어떻게 식을 변형할까요? h는 y에서 x로의 사상임을 기억하세요 다시 그려볼게요 X와 Y가 있습니다 h는 y의 임의의 요소를 취하고 X의 어떤 원소들을 내놓습니다 y에서 항등식의 합성을 취한다면 즉 y에서 임의의 요소를 취해 자기 자신을 다시 결과로 갖는 항등함수를 적용한 후 h를 적용하는 거죠 그건 그냥 h를 처음부터 적용한 것과 같아요 그래서 이러한 일련의 과정을 통해 두 개의 다른 역함수를 가정한 채로 출발했음에도 g가 h와 같을 수 밖에 없음을 증명해냈습니다 즉 어떤 함수든지 단 하나의 역함수만을 가집니다 두 개의 다른 역함수를 설정할 수 없는 거죠 설정해도 두 개의 역함수가 항상 같을 수 밖에 없다는 걸 알게 될 거에요 역함수가 무엇인지를 꽤 많이 알아봤습니다 어떤 조건에서 함수가 역함수를 갖추게 되는지는 모릅니다 그러나 어떤 함수가 역함수가 있다면 그 역함수는 유일함을 알고 있습니다