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Ax = b 의 해집합 구하기

동영상 대본

선형 변환 T가 R2에서 R2로 사상한다고 합시다 이건 R2고, 이것도 R2입니다 T는 R2의 원소를 R2의 다른 원소로 사상합니다 T를 정의해 보겠습니다 T는 선형 변환입니다 한번 정의해보죠 R2의 어떤 원소를 변환하는 것은 이 행렬을 곱하는 것과 같은데 행렬 1, -3, -1, 3입니다 이 변환을 더 잘 이해하기 위해 이 변환이 공역으로 가질 수 있는 값들에 대해 알아보겠습니다 행렬 1, -3, -1, 3을 정의역의 어떤 벡터 x1, x2와 곱하던 간에 공역의 어떤 벡터가 됩니다 이 벡터를 b라고 합시다 b는 R2에 포함됩니다 이 값은 b1, b2가 됩니다 방금 진행한 내용은 이 행렬을 행렬 A라고 한다면 Ax=b가 되는 모든 가능한 값들을 찾으려 하는 것입니다 모든 가능한 b를 찾으려 합니다 이 방정식을 어느 특정한 b에 대해 계산하려 한다면 이 행렬을 기약행사다리꼴행렬 형태로 만들어야 합니다 먼저 붙임행렬을 만듭니다 1, -3, -1, 3을 넣습니다 그리고 같아지고자 하는 공역의 원소를 덧붙입니다 b1, b2입니다 그리고 이를 기약행사다리꼴행렬 형태로 만듭니다 어떻게 만들 수 있을까요? 어떻게 기약행사다리꼴행렬 형태로 만들 수 있을까요? 첫 번째 행은 그대로 두겠습니다 1, -3, 그리고 b1 두 번째 행은 두 번째 행과 첫 번째 행을 더하는 것으로 바꾸겠습니다 -1 더하기 1은 0이고 3 더하기 -3은 0입니다 그리고 b2 더하기 b1은 b1 더하기 b2로 적을 수 있겠네요 그래서 이는 특정한 경우에만 해를 가지는데 흥미로운 상황입니다 언젠가 보았었죠 0으로 이루어진 행이 있습니다 해를 가지기 위한 유일한 방법은 여기 이 부분이 b1+b2=0을 만족하는 경우입니다 Rm에 속하는 원소 b가 해를 갖기 위해서는 두 항 b1+b2의 합이 0이 되어야 합니다 b1 + b2 = 0 혹은 b2가 -b1과 같다고 쓸 수도 있습니다 그래서 만약 공역을 그리게 된다면 한번 그려 보겠습니다 항상 추상적인 개념에서 머무르지만 실제 예시를 드는 것이 도움이 될 수 있습니다 공역이 R2라고 해 봅시다 여기 축을 몇 개 그리고 이 축이 b1 축이고 이 축을 b2 축이라고 합시다 x와 y축이라고 할 수도 있었겠지만 b1과 b2라고 불렀으니까요 공역에서 해를 지니고 있는 사상하는 원소를 모두 구해 봅시다 b2는 -b1과 같아야합니다 이런 형태로 나오겠네요 -1의 기울기를 지닌 직선이 됩니다 이는 해를 지닌 모든 b들입니다 만약 이 선 위에 있지 않다면 공역의 원소에 대해 이 전체가 공역 R2인데 R2는 정의역이기도 하지만 여기 그린 R2는 공역이라고 확실히 해 두겠습니다 변환 T는 여기로 사상합니다 만약 이 선 위에 있지 않은 원소를 골랐다면 두 항의 합이 0이 되지 않거나 서로 부호만 반대인 원소를 공역에서 골랐다면 그리고 이 방정식을 풀려고 한다면 0이 0이 아닌 어떤 수와 같다고 나와 해를 갖지 못한다는 것이 분명합니다 이를 저번 동영상에서 다루었는데요 그래서 이러한 경우 이 선을 변환의 상이라고 할 수 있습니다 다르게 생각해보자면 이 전체는 공역입니다 정의역을 그려 보겠습니다 R2의 어떤 원소를 택하더라도 이 직선 위로 사상한다면 직선의 모든 점들은 하나 이상의 벡터로부터 사상합니다 그래서 우리는 전사함수에 대해 다루는 것이 아닙니다 저번 동영상에서 이를 보았는데요 전사함수가 되기 위해서는 기약행사다리꼴행렬을 만들었을 때 0으로 이루어진 행이 있어서는 안 됩니다 혹은 기약행사다리꼴행렬의 모든 행이 추축 성분을 지녀야 한다고 할 수 있습니다 이제 해를 지니고 있는 b에 주목해 보겠습니다 직선 위의 b들을 보겠습니다 b1과 b2를 더하면 0이 되는 경우입니다 이 위에서 b를 가질 수 있는데 b가 5, -5라고 해 봅시다 당연히 여기의 0, 0도 될 수 있습니다 1, -1도 될 수 있습니다 여기 있다고 해 봅시다 이제는 이들에 초점을 맞춰서 얼마나 많은 정의역의 원소들이 이 직선으로 사상하는지 봅시다 이들을 취해서 위의 방정식에 대입하면 하나의 제약 조건만을 갖게 됩니다 b1+b2=0이 된다고 가정했습니다 상 위에 있는 b들을 다루고 있다고 해 봅시다 해를 얻을 수 있는 무언가에 대해 다루고 있다고 해 봅시다 b1+b2=0을 만족하는 무언가에 대해서요 제약 조건이 어떻게 될까요? 무엇이 지금 다루고 있는 벡터 b에 사상할까요? 앞서 예시로 사용한 방정식을 가져와 봅시다 x1에서 x2의 세배를 빼면 b1이 됩니다 두 번째 행은 어떤 제약 조건도 주지 않는데 0들만이 나오기 때문입니다 따라서 이 조건이 정의역의 어떤 원소를 지금 고른 b로 사상하기 위한 조건입니다 b1+b2=0이라는 제약 조건을 만족하는 어떤 b로요 그래서 해집합을 이렇게 적을 수 있습니다 x1=b1+3x2로요 전체 해집합을 적는다면 이렇게 나옵니다 x1, x2가 벡터 b1, 0에 x1이 b1 더하기 3x2와 같으니까 x2곱하기 3을 넣어줍니다 x2는 x2와 같겠지요 x2는 자유변수입니다 그래서 x2는 0 더하기 x2 곱하기 1과 같습니다 이 변환이 공역의 모든 벡터에 대해 이 직선으로 사상한다는 이야기입니다 두 성분이 서로 부호만 반대인 지점으로요 이를 만족하는 벡터가 하나 있다고 해 봅시다 먼저 이는 전사 변환이 아님이 분명합니다 이들 중에서 하나를 골라보도록 하겠습니다 특정한 조건을 만족하는 b들 중에서 하나를 고르는 겁니다 Ax=b의 해를 가지는 b인데, 그 해집합은 이 위의 식과 같습니다 x1, x2가 b의 첫 번째 성분과 같습니다 b1, 0. 더하기 x2 곱하기 벡터 3, 1 그래서 어떤 b를 골랐다고 생각해 봅시다 한번 그려보겠습니다 전체를 시각화해서 보면 좋을 것 같습니다 다르게 그려보죠 덩어리는 그만 그리도록 하죠 축을 그려 보겠습니다 이렇게 생긴 축입니다 변환의 상이 기울기 -1의 직선이라는 것을 알고 있습니다 두 성분이 크기는 같고, 서로 부호만 다르기 때문입니다 해를 갖고 있는 b를 골라보겠습니다 이 b를 골라보죠 해를 갖기 위해서는 성분들이 부호만 반대여야 합니다 성분 5, -5가 있다고 합시다 우리가 고른 b입니다 정의역의 어떤 원소가 이 b로 사상하는지에 대해 보려 합니다 이제 정의역의 어떤 원소가 여기로 사상하는지 보겠습니다 정의역의 어떤 원소가 이 특정 지점 이 특정 b로 사상하는지 보려 합니다 모든 x Ax=5, -5를 만족하는 모든 x가 될 것입니다 x1, x2는 b1, 0과 같으니 5, 0이고 더하기 벡터 3, 1의 어떤 배수입니다 그래서 해집합은 먼저 벡터 5, 0을 취하고 벡터 5, 0이 이 위치를 특정한다고 합시다 그리고 벡터 3, 1의 배수를 더합니다 벡터 3, 1은 이렇게 생겼는데 오른쪽으로 세 칸, 그리고 위로 한 칸입니다 벡터 3, 1은 이렇게 생겼습니다 그래서 이 벡터의 배수를 더한다면 이 방향이나 음의 방향으로 늘어날 수 있습니다 벡터 5, 0에 대해 깔끔하게 그려 보겠습니다 이렇게 생긴 해집합을 얻게 됩니다 여기서 해가 존재하는 특정한 b를 고르게 된다면 이 초록 선 위의 모든 점들이 해집합의 그 특정한 b로 사상하게 됩니다 만약 다른 점을 골랐다면 -5, 5를 골랐다고 해 보겠습니다 그러면 이 점으로 사상하는 해집합은 첫 번째 항이 -5가 되고 여기 있겠네요 이 직선 위의 모두가 그 점으로 사상합니다 흥미롭군요 추상적인 내용을 많이 다루었지만 이 예시를 통해 더 구체적인 무언가를 보는 것이 만족스러울 수 있습니다 그렇지만 이를 진행한 데에는 어떤 이유가 있습니다 일반적인 비동차 방정식에 대한 해집합이 어떤지 더 잘 이해하기 위함입니다 그리고 이를 더 잘 이해하기 위해 영벡터를 고른다고 했을 때의 해집합을 알아봅시다 해집합이 어떻게 될까요? Ax=0을 만족한다면 해집합이 벡터 0, 0 더하기 x2곱하기 3, 1이 됩니다 이는 어떻게 되나요? 이건 영벡터이므로 가운데에 있습니다 그리고 이건 벡터 3, 1의 배수가 됩니다 이렇게 생기겠네요 이건 어떻게 될까요? 방정식 Ax=0에 대한 해집합은 어떻게 될까요? 이는 영공간입니다 정의상 이는 A의 영공간입니다 그렇기 때문에, 이는 아주 중요한 내용인데 어떤 해에 대해서도 우리는 해를 갖는 b를 고를 수 있었는데 이 직선 위에서 b를 골랐기 때문입니다 이들을 공역의 상 위에서 골랐습니다 임의의 Ax=b에 대한 해집합은 b가 해를 갖는 경우 어떤 b가 되는데 이는 공집합, 혹은 영공간이 이동한 형태와 같습니다 바로 이것이 영공간입니다 어떤 실수 x2에 대한 영공간입니다 3, 1의 어떤 배수가 영공간이 됩니다 방금 여기서 보였습니다 이렇게 됩니다 이를 제외한 모든 해집합은 어떤 특정한 벡터, 어떤 벡터 x와 영공간을 더한 것입니다 당연히 이 벡터만 있어도 Ax=b의 해가 되는데 x2를 0으로 두면 되기 때문입니다 그래서 일반적인 경우, 엄밀하게 증명하지는 못했지만 이에 관한 직관을 얻었으면 좋겠습니다 이는 다음 동영상에서 다룰 건데 시간이 부족하기 때문입니다 Ax=b가 해를 갖고 있다고 합시다 방금 한 예시에서는 이 위의 점을 고르면 해를 지닌다고 가정할 수 있었습니다 그래서 해를 지닌다고 할 때 상 밖에서 점을 고르면 해를 지니지 않게 됩니다 그러나 Ax=b가 해를 지닌다고 할 때, 해집합은 어떤 특정한 벡터가 되는데 이를 어떤 벡터 하나와 행렬의 영공간과의 결합으로 생각할 수 있습니다 이 행렬의 영공간 말입니다 아직 이를 증명하지는 않았지만 왜 이게 사실인지에 대한 직관을 얻었으면 좋겠습니다 해를 지니고 있는 특별한 경우에 대해 이를 풀었습니다 그건 이러한 형태를 지니는데 그리고 이것이 영공간의 형태임을 보였습니다 그리고 이를 진행한 이유는 가역성에 대해 다루고 있었기 때문입니다 가역성을 지니기 위해서는 전사하면서 단사해야 합니다 그리고 단사하기 위해서는 특정 벡터에 사상하는 해가 최대 한 개 있어야 합니다 아예 없을 수도 있습니다 그러나 한 개를 넘을 수는 없습니다 그래서 최대 한 개의 해를 갖기 위해서는 그리고 해집합이 항상 이와 같기 때문에 항상 이 해를 갖게 됩니다 최대 한 개의 해를 갖기 위해서는 영공간에 아무 것도 있어서는 안 됩니다 혹은 영벡터만을 가질 수 있습니다 A의 영공간이 비어 있거나 영벡터만을 가져야 한다는 뜻입니다 다음 동영상에서는 이를 더 엄밀하게 다룰 것이나 너무 엄밀하게만 다룬다면 직관을 얻지 못할 수 있습니다 그러나 이는 흥미로운 점을 시사합니다 가역성을 위한 조건들로 향해 가고 있다는 것을 이해하실 겁니다