변환이 전사함수인지 판별하기

선형변환 T가 Rm과 Rn을 대응시킨다면 이 선형변환을 행렬곱으로 나타낼 수 있습니다 그래서 변환 T에 어떤 벡터 x를 대입하는 것은 조금 위쪽에 다시 적어볼게요 변환 T에 어떤 벡터 x를 대입하는 것은 어떤 행렬과 x의 곱과 같습니다 이 행렬은 Rn을 Rm으로 사상하는 행렬이므로 m x n 행렬이 됩니다 벡터가 n개의 성분을 지니기 때문에 Rn에 포함되며 이 행렬은 n개의 열을 지녀야 행렬의 벡터곱이 잘 정의될 수 있습니다 지금까지 다루던 내용으로 돌아가겠습니다 저번 몇 개의 동영상에서 함수의 가역성에 대해 다루었고 이 변환에도 쉽게 적용할 수 있었는데 변환도 함수의 일종이기 때문입니다 변환이라는 단어를 벡터공간 혹은 벡터의 집합 간의 사상에 대해 이야기할 때 사용했지만 변환과 함수는 본질적으로 같습니다 저번 두 동영상에서는 매우 일반적인 내용들을 다루었습니다 정의역의 집합과 공역의 집합이 무엇으로 이루어졌는지 다루지 않았죠 벡터를 다룰 때에도 같은 개념을 적용할 수 있습니다 T는 Rn에서 Rm으로 사상합니다 여기 어떤 벡터 x를 취하면 T는 이를 Rm의 다른 벡터로 사상합니다 Ax라 합시다 이 행렬 벡터 곱을 계산하면 되고 이는 변환 T에 의한 사상입니다 함수에 대해 던지던 것과 같은 질문을 변환 T에 해 봅시다 T는 가역성을 지닐까요? 저번 동영상에서 가역성을 지니기 위해서는 두 가지 조건이 필요하다는 것을 배웠습니다 T는 위로의 함수여야 합니다 전사함수라고도 합니다 가역성을 위한 하나의 조건이죠 그리고 T는 일대일 함수이기도 해야 합니다 단사함수라고도 부릅니다 이 동영상에서는 첫 번째 조건에 대해 집중하려 합니다 변환 T가 가역적인지에 대해서는 증명하지 않습니다 그러나 T가 위로의 함수인지, 내지는 전사함수인지에 대해서는 알아보겠습니다 위로의, 혹은 전사가 무슨 뜻인지 한번 짚고 넘어가겠습니다 Rm의 어떤 원소를 즉 공역의 어떤 원소에 대해서 원소 b라고 합시다 벡터가 되겠네요 T가 위로의 함수 혹은 전사함수라면 공역에서 어떤 원소 b를 선택하더라도 하나 이상의 벡터가 정의역에 존재합니다 변환 T를 가하면 b를 얻게 되는 벡터입니다 혹은 변환 T의 상이 Rm 전체라고 생각할 수도 있습니다 Rm 전체에 도달할 수 있습니다 이게 무슨 뜻인지 생각해 봅시다 우리는 변환이 Ax임을 알고 있습니다 이는 어떤 행렬 A인데 변환 T에 x를 대입한 것은 m x n 행렬 A에 벡터 x를 곱한 것과 같습니다 T가 전사함수가 되려면 행렬 벡터곱 Ax가 공역 내에 있어야 합니다 이 공역의 모든 성분이 정의역의 어떤 값을 행렬 A와 곱하여 구할 수 있어야 합니다 다른 방향으로 생각해 보겠습니다 전사함수인 경우, 모든 벡터 b에 대해 Rm 내의 모든 벡터 b에 대해 Ax=b를 만족하는 해가 하나 이상 존재합니다 물론 벡터 x는 Rn에 속해 있습니다 이는 비디오 앞쪽에서 말한 내용을 다른 방식으로 그대로 표현한 것뿐입니다 집합 Rm의 어떤 b를 택하더라도 변환 T가 전사함수인 경우 Ax=b를 만족하는 해가 하나 이상 있습니다 여기 최소 하나의 x가 있어야 합니다 A를 곱해서 b를 얻을 수 있는 x가 말입니다 모든 b에 대해서라고 적을 수도 있는데요 이들은 같은 뜻입니다 Rm의 모든 b에 대해 이를 만족하는 x를 하나 이상 찾아야 합니다 이건 무슨 뜻일까요? Ax의 값이 무엇과 같아야 하냐면 A와 x의 곱으로 Rm의 모든 구성원을 만들 수 있는데 x는 Rn, 즉 여기의 구성원입니다 이제 이건 뭘까요? x가 Rn의 임의의 구성원이라면, 다음과 같이 적어보겠습니다 행렬 A는 이렇게 생겼습니다 열벡터 여럿이 모여 있는데 n개의 열이 있으므로 이렇게 생겼습니다 행렬 A의 모습입니다 이 곱을 계산하면 Rm 내의 어떤 원소에도 도달할 수 있다는 것입니다 이 곱은 어떻게 생겼나요? x를 적는 대신 이런 식으로 x1, x2, xn까지 표기할 수 있습니다 그래서 곱을 계산하면 x1 곱하기 A의 첫 번째 열벡터 더하기 x2 곱하기 A의 두번째 열벡터 나아가서 xn 곱하기 A의 n번째 열벡터가 됩니다 이 곱의 값입니다 그리고 T가 전사함수가 되기 위해서는 이 조합이 Rm에 속하는 어떤 벡터도 될 수 있어야 합니다 이건 무엇을 뜻할까요? 이들은 A의 열벡터의 일차결합입니다 다시 말하자면, T가 전사함수가 되기 위해서 T가 전사함수가 되기 위해서 A의 열벡터가 공역 Rm을 생성해야 합니다 여기 공역을 생성해야 합니다 공역의 모든 벡터를 열벡터들의 일차 결합을 통해 만들 수 있어야 합니다 맞나요? 이 가중치들은 임의의 실수이기 때문에 일차 결합이 만들어집니다 이 벡터는 임의의 실수들로 이루어져 있습니다 T가 전사함수가 되기 위해서는 a1, a2, ...an이 Rm을 생성해야 하며 공역과 같아야 합니다 열벡터들의 일차 결합을 이용하여 공역의 모든 벡터를 만들 수 있다는 뜻입니다 행렬의 열벡터들로부터 무엇을 생성할 수 있나요? 정의상 이는 행렬의 열공간입니다 이들로부터 Rn을 생성한다고 할 수 있고 혹은 A의 열공간이 색을 바꿔 적겠습니다. A의 열공간이 Rm과 같다고 할 수도 있습니다 그렇다면 벡터의 열공간이 Rm과 같은지는 어떻게 알 수 있을까요? 어쩌면 이렇게 생각하는게 도움이 될 것입니다 Ax=b를 만족하는 해가 존재하지 않는 경우에 대해 말입니다 이러한 방정식을 보게 되면 어떻게 해야 할까요? 먼저 다음과 같이 생긴 붙임행렬을 그리고 A를 이쪽에, 벡터 b를 오른쪽에 둡니다 그리고 기본행연산을 여러 차례 진행합니다 양 쪽 모두에서 모든 행에 대해 계산해야 하며 이는 많이 했던 내용이죠 왼쪽 부분을 기약행사다리꼴 형태로 만들고자 합니다 그래서 최종적으로는 붙임행렬을 다음과 같은 형태로 만드는 것입니다 먼저 R을 A의 기약행사다리꼴로 정의하겠습니다 동영상에서 이를 여러 차례 다루었습니다 행렬에서 추축을 지니고 있고 추축만이 열에서 0이 아닌 성분을 지닙니다. 모든 열이 추축을 지닐 필요는 없습니다 모두 0으로 이루어졌거나, 추축이 아닌 열도 0을 여럿 가질 수 있습니다 이 열은 추축이 될 수 있겠네요 만약 추축이라면 이 값은 0이 되어야 합니다 이 아래 값들은 모두 0이 되어야 합니다 다음 추축이 여기 있을 수 있겠네요 이것들은 다 0이 되어야 하고요 무슨 뜻인지 아시겠지요 추축이 없는 열도 있을 수 있지만 추축이 있다면 추축만이 그 열에서 0이 아닌 값이어야 합니다 이는 기약행사다리꼴행렬입니다 어떤 행렬에 대해서도 이러한 기본행연산들을 기약행사다리꼴행렬을 얻을 때까지 진행합니다 그리고 이를 진행할 때마다 오른쪽에 같은 연산을 진행합니다 붙임행렬의 모든 행에 대해 진행하고 있는 것입니다 그래서 여기의 벡터 b는 결국 이쪽의 어떤 벡터 c가 됩니다 만일 벡터 b가 1, 2, 3이라면 연산들을 진행하고 나서는 3, 2, 1이나 뭐 그런 게 되겠지요 어떤 경우에 이는 해를 가지지 않게 될까요? 오래 전에 이를 다루었습니다 해가 존재하지 않는 유일한 경우는, 전체 경우가 총 세 가지 경우가 했는데 기억하시나요? 해가 무수히 많거나 변수가 세 개 존재하는 경우겠지요 전에 이에 대해 다루었습니다 하나의 유일 해를 지니는 경우도 있습니다 그리고 마지막으로 해가 존재하지 않는 경우가 있겠네요 어떤 경우에 해가 존재하지 않을까요? 해가 존재하지 않으면 어떤 일이 일어나나요? 기본행연산을 진행하고 해를 갖지 않기 위해서는 최종적으로 다음과 같은 행렬을 얻어야 합니다 어떤 식으로 생겼을지는 잘 모르겠지만 1이 여기 있고, 뭐가 많이 있습니다 여기에는 1과 0이 있습니다 만약 전체 행이, 최소 하나의 전체 행이 0으로 이루어졌을 때 그리고 이쪽에는 0이 아닌 무언가가 있다고 합시다 이는 해가 존재하지 않는 유일한 경우입니다 왜 이에 대한 이야기를 하게 되었는지 돌아가 봅시다 우리의 변환이 전사함수가 되기 위해서는 열벡터 혹은 열공간이 Rm이어야 합니다 열벡터가 Rm을 생성해야 합니다 열벡터가 Rm을 생성하는지는 어떻게 알 수 있는지 알아보려 했습니다 Rm을 생성하기 위해서는 이 b, Rm 내의 모든 b에 대해 해를 얻을 수 있어야 합니다 그래서 해를 얻지 못하는 조건에 대해 알아보고자 했습니다 예를 들어 행이 전부 0으로 이루어져 있다면 해를 얻지 못하겠지요 그리고 여기 0이 아닌 성분이 있다면 말입니다 명백히 이는 해가 될 수 없습니다 행이 전부 0으로 이루어져 있는 다른 경우가 있습니다 유효한 해를 어떤 b에 대해서만 지니게 되는 경우가 있습니다 이러한 경우에는, 한번 그려 보겠습니다 이렇게 시작해 보겠습니다 행렬 A가 있고, b1, b2, .. bm까지 있다고 해 봅시다 이는 Rm의 성분입니다 기약행사다리꼴행렬을 이 붙임행렬로부터 만들어 A가 기약행사다리꼴행렬이 됩니다 이 기약행사다리꼴행렬의 마지막 행이 0으로만 이루어졌다고 해 봅시다 그래서 이 행에는 0만 있고요 나머지는 아주 평범하게 생겼습니다 1들과 0으로 이루어져 있습니다 하지만 마지막 행은 0으로 이루어져 있습니다 기본행연산을 일반화된 Rm의 성분에 진행하면 이 마지막 행이 어떤 역할을 수행합니다 2b1+3b2 같은 값이 나오겠네요 특정한 경우를 적은 거지, 항상 그렇지는 않습니다. -b3 모든 b에 관한 일종의 함수가 생성됩니다 한번 이렇게 적어보겠습니다 여기에는 특정한 경우를 썼지만 일반적인 경우를 생각해 보겠습니다 b1, b2, ...bm에 대한 어떤 함수가 되겠네요 만약 이 값이 0이 아니라면 이는 해를 갖지 못합니다 특정 b에 대해서 해를 갖지 못한다면 이는 Rm을 생성하지 못합니다 한번 이렇게 적어보겠습니다 특정 b에 대해 해를 가지지 못한다면, 이는 Rm을 생성하지 못한다 명백한 내용을 과장하는 것처럼 보이는지도 모르겠지만 이 내용을 이해하고 넘어갔으면 좋겠습니다 방정식 Ax=b를 풀고 싶을 때마다 이 식을 모든 b에 대해 만족하게 하고 싶으면 이런 붙임행렬을 만들고 기본행연산을 A로부터 기약행사다리꼴행렬을 얻을 때까지 진행합니다 이를 진행하면 우항은 b로 이루어진 함수들이 됩니다 예를 들어 첫 번째 행은 b1 빼기 b2 더하기 b4같은 항이 나오고 다음 행은 이와 비슷한 무언가가 될 것입니다 언젠가 이러한 예들을 다루었습니다 만약 마지막 행이 0으로만 이루어진 기약행사다리꼴행렬이 나오게 된다면 해를 가지기 위한 유일한 조건은 이 함수를 만족시켜야 하는 경우인데 이 마지막 함수 성분이 0이 되는 것입니다 그래서 이는 특정한 b에 대해서만 성립합니다 그리고 특정한 b에 대해서만 이를 0으로 만드는 해를 지니게 된다면 b들로부터 Rm을 생성하지 못합니다 한번 그려보겠습니다 이것이 Rm이고, 일부 b에 대해서만 이 항이 0을 만족한다면 Rm의 어떤 벡터를 곱해서 도달할 수 있는 지점입니다 Rm의 모든 벡터를 생성하지 못합니다 Rm의 모든 벡터를 생성하기 위해서는 A에서 기약행사다리꼴행렬을 얻었을 때 항상 해를 가질 수 있어야 합니다 항상 해를 가지기 위해서는 기약행사다리꼴행렬에서 0으로 이루어진 행을 가지지 말아야 합니다 0으로 이루어진 행이 있다면 이 오른쪽 성분이 0이 되어야 한다는 제약이 걸리기 때문입니다 기약행사다리꼴행렬 중에서 유일하게 마지막에 0으로 이루어진 행이 존재하지 않는 것은 무엇일까요? 기약행사다리꼴행렬의 모든 행은 추축 성분을 지니고 있거나 0으로만 이루어져 있어야 합니다 그래서 생성을 위해서는 T가 전사함수가 되기 위한 필요충분조건은 변환 벡터의 열공간이 Rm과 같아야 한다는 것입니다 열벡터가 Rm을 모두 생성합니다 이를 만족하기 위한 유일한 방법은 기약행사다리꼴행렬이 모든 행에서 추축 성분을 지녀야 한다는 것입니다 이 행렬에는 얼마나 많은 행이 있었나요? 이 행렬은 m x n 행렬입니다 m개의 행과 n개의 열로 이루어져 있습니다 따라서 모든 행에 추축 성분이 있습니다 즉, 추축 성분이 m개 있어야 한다는 것입니다 다른 식으로 생각해보죠 약간 더 혼란스럽게 만들 수도 있겠지만 몇 회차 전의 동영상에서 열공간의 기저를 어떻게 알 수 있다고 했었나요? 행렬의 열공간의 기저 약간의 복습입니다 행렬을 가지고 기약행사다리꼴행렬로 만들면서 이 R을 기약행사다리꼴행렬이라고 합시다 기약행사다리꼴행렬이라고 합시다 그리고 어떤 열이 추축 성분을 지니고 있는지 살펴봅니다 원본 행렬에 대응하는 열들이 열공간에 대한 기저를 형성합니다 한번 이것을 꺼내 보겠습니다 특정한 예시에 대해 다루어 보겠습니다 열 벡터 a1, a2, ... ...an까지를 지니고 있다고 해 봅시다 A의 모습입니다 이를 기약행사다리꼴행렬 형태로 만들면 이 열이 추축 성분을 지니고 있다고 해 봅시다 이 열에는 추축 성분이 있습니다 이 열에는 없고요 여기는 2가 있다고 해 봅시다 임의의 숫자들을 넣고 있습니다 여기는 3이 있다고 해 봅시다 이 뒤 열들에는 추축 성분이 없고 마지막 n번째 열에 추축 성분이 있다고 해 봅시다 0들이 쭉 있고, 마지막에 1이 있습니다 열공간의 기저 벡터를 어떻게 판단하나요? 물론 열공간은 이들 모두에 의해 생성됩니다 그러나 같은 생성을 유지하기 위한 최소 집합이 어떻게 될까요? 해당 추축 성분이 있는 열 혹은 추축 열을 찾으면 됩니다 여기 첫 번째에 추축 열이 있고 여기 마지막에 추축 열이 있습니다 열공간의 기저가 원 행렬의 첫 번째 열과 마지막 열임을 알 수 있습니다 그렇다면 열공간의 차원을 어떻게 정의할까요? 기저를 만들기 위해 필요한 벡터의 수를 세면 됩니다 이를 A의 계수라고 했습니다 여기까지는 복습입니다 A의 계수는 열공간의 차원과 같으며 열공간의 기저 벡터의 수와 같습니다 이를 알아보는 방법이었습니다 먼저 추축 열이 몇 개 있는지 알아본 뒤 추축 열의 개수가 기저 벡터의 수와 같기 때문에 A의 계수를 알 수 있었습니다 이를 다룬 이유는 변환 T가 전사함수이기 위한 조건이 열공간 Rm이 기약행사다리꼴행렬의 모든 행에 추축 성분을 가져야 한다는 조건과 필요충분조건이기 때문입니다 m개의 행이 있기 때문에 m개의 추축 성분을 가지고 있어야 합니다 따라서 모든 행에 추축 성분을 지니고 있지만 각 추축 성분이 각 추축 열에 대응합니다 따라서 추축 성분이 m개 있는 경우 m개의 추축 열을 지니고 있는데 이 과정을 거치면 열공간에 m개의 기저 벡터를 지니게 되며 계수가 m이 됩니다 이 동영상의 전체 내용이 T가 전사함수라는 것을 길고 복잡하게 설명한 것입니다 이를 다른 방식으로 표현하자면 여기 정의역 Rn이 있고 공역 Rm이 여기 있을 때 Rm의 모든 성분이 Rn의 어떤 성분에 T를 적용하여 나올 수 있습니다 Rm의 모든 성분에 대해 Rn의 최소 하나의 성분에 T를 적용하여 얻을 수 있습니다 두 개 이상이 있을 수도 있습니다 아직 단사함수에 대해서는 다루지도 않았습니다 그래서 T가 전사함수이기 위한 필요충분조건이 변환행렬 A의 계수가 m인 것이라고 할 수 있습니다 이 동영상에서 말하고자 하는 내용이었습니다 이제는 실제 예시를 들어보겠습니다 너무 추상적인 내용을 다루면 헷갈릴 때가 있으니까요 변환 S를 다음과 같이 정의합시다 변환 S가 R2에서 R3으로 사상한다고 합시다 S를 어떤 벡터 x에 적용한 것이 행렬 1, 2, 3, 4, 5, 6과 벡터 x를 곱한 것이라고 합시다 이는 3 x 2 행렬입니다 S가 전사함수인지 살펴보겠습니다 오늘 배운 내용에 따르면 이 행렬을 기약행사다리꼴행렬로 만들어야 하는데요 한번 해보겠습니다 이 행렬을 기약행사다리꼴행렬로 만들려면 1, 2, 3, 4, 5 ,6이었죠 첫 번째 행은 동일하게 유지해 봅시다. 1, 2입니다 두 번째 행에서 첫 번째 행의 3배만큼 빼 줍시다 그냥 첫 번째 행의 3배에서 두 번째 행만큼을 빼 줍시다 3 곱하기 1 빼기 3은 0이고 3 곱하기 2 빼기 4는 6 빼기 4라서 2가 됩니다 세 번째 항을 첫 번째 항의 다섯 배에서 세 번째 항을 뺀 것으로 바꾸어 봅시다 5 곱하기 1 빼기 5는 0이고 5 곱하기 2는 10이고 여기에서 6을 빼면 4입니다 이제 여기서 1을 얻을 수 있는지 보겠습니다 중간 행을 똑같이 유지할 것입니다 아니면 중간 행을 2로 나누거나 1/2로 곱해도 되겠네요 그러면 0, 1이 되고 0, 4, 1, 2가 됩니다 다음으로는 이걸 0으로 만들어서 기약행사다리꼴행렬이 되도록 해 봅시다 중간 행은 계속 0, 1입니다 맨 위 행은 맨 위 행에서 두 번째 행의 두 배 만큼 빼 줍시다 1 빼기 2 곱하기 0은 1이고 2 빼기 2 곱하기 1은 0입니다 마지막 행은 마지막 행에서 두 번째 행의 네 배 만큼 빼 줍시다 0에서 4 곱하기 0을 빼면 0이고 4 빼기 4 곱하기 1은 0입니다 여기 0으로 이루어진 행이 있는 데에 주목합시다 두 개의 추축 성분, 내지는 추축 성분이 있는 두 개의 행이 있으며 두 개의 추축 열이 있습니다 그래서 이 행렬 1, 2, 3, 4, 5, 6의 계수는 계수는 2가 되는데 이는 공역과 같지 않습니다 R3과 같지 않습니다 R3과 같지 않기 때문에 S가 사상한다고 할 수 없습니다 이는 가역성을 위한 두 가지 조건 중 하나였습니다 S가 가역성을 지니지 않는다는 것을 알게 되었습니다 도움이 되었으면 좋겠네요 다음 동영상에서는 가역성을 위한 두 번째 조건인 일대일 대응에 대해 알아보겠습니다