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동영상 대본

행렬식을 찾는 다양한 방법을 알려주기 위해 시간을 할애하고 싶지는 않습니다 그러나 이것이 꽤나 유용할 수 있는데 다른 맥락, 다른 방법으로 귀결되기 때문이죠 그리고 그동안 다뤄왔던 것이 대수학2에서 배운 행렬식을 구하는 방법과 거의 일치한다는 것을 보여주었다고 생각합니다 이를 사루스 법칙이라고 부릅니다 증명해보죠 행렬식을 찾고자 합니다 행렬식을 찾고자 합니다 행렬 a, b, c, d, e, f, g, h, i가 있습니다 어떻게 할지 알죠 첫 번째 행부터 써내려가자면 a와 행렬식 e, f, h, i의 곱에서 b와 행렬식 d, g, f, i의 곱을 빼고 c와 행렬식 d, e, g, h의 곱을 더합니다 계산하면 어떻게 될까요? 이것은 a(ei - fh) 입니다 이것은 a(ei - fh) 입니다 이것은 a(ei - fh) 입니다 그리고 이것은 -b(di - fg)가 되고요 이것은 +c(dh - eg)입니다 전개하면 다음과 같이 됩니다 aei - afh - bdi + bfg + cdh - ceg aei - afh - bdi + bfg + cdh - ceg 항의 부호에 따라 그룹을 나누겠습니다 이 3개 항은 양수입니다 이 3개 항은 양수입니다 따라서 aei + bfg + cdh 입니다 이들이 양수항입니다 음수항을 봅시다 저 3개의 항들이지요 그래서 -afh - bdi - ceg 가 됩니다 따라서 이 식은 이 행렬의 행렬식입니다 따라서 이 식은 이 행렬의 행렬식입니다 어떤 형태인지 봅시다 행렬을 다시 한 번 적어봅시다 행렬을 다시 한 번 적어봅시다 행렬 a, b, c, d, e, f, g, h, i 입니다 여기서 행렬식을 구해봅시다 재밌는 것을 보여드리죠 aei는 무엇인가요? aei는 이 항 3개의 곱입니다 이 대각선을 따라갑니다 이 대각선을 따라갑니다 그럼 bfg는 무엇이죠? bfg는 이 3개 항의 곱입니다 이렇게 따라갑니다 그래서 이쪽으로 들어간다면 나중에 이 방향으로 들어오는 식으로 상상하면 됩니다 이처럼 한 끝지점에 들어가면 다른 끝지점에서 나타나는 게임도 있죠 이 또한 대각선을 따라갑니다 더 나은 방법으로 시각화하기 위해 이 두 열을 옆에 다시 적겠습니다 이 행렬식을 더 늘려보겠습니다 공식적인 방법은 아니지만 뭘 하려는지는 알 거라고 생각해요 자, 이 두 열을 다시 적어보죠 a, d, g와 b, e, h입니다 그렇다면 bfg는 다음과 같이 대각선으로 표현됩니다 이제 어떻게 될지 예상되죠 cdh는 어디있나요? 이 대각선에 있습니다 이 대각선에 있습니다 따라서 이 곱과 이 곱, 이 곱을 더하면 됩니다 이제 이 항들을 뺍니다 이 항들은 어떨까요? afh는 어디있나요? afh는 어디있나요? 여기 있네요 이제 afh와 bdi를 빼면 됩니다 bdi는 여기 있고요 이제 여기에 있는 ceg 역시 빼주면 됩니다 사루스 법칙은 반지의 제왕에라도 나올 것처럼 보입니다 사루스 법칙은 이 단순한 계산을 외우기 위한 빠른 방법입니다 두 열을 다시 적어서 이 3개의 곱을 더하고 이 3개의 곱을 빼주면 됩니다 사루스 법칙의 유용함을 보여주기 위해 실제로 3×3 행렬에 적용해 봅시다 다음과 같은 행렬의 행렬식을 구해 봅시다 행렬 1, 2, 4, 2,-1, 3, 4, 0, 1입니다 행렬 1, 2, 4, 2,-1, 3, 4, 0, 1입니다 행렬식을 찾아봅시다 사루스 법칙에 의해 앞에 있는 두 열을 다시 적을 수 있습니다 1, 2, 2, -1, 4, 0 입니다 이렇게 앞의 두 열을 다시 적었습니다 행렬식을 찾기 위해 이 항들을 곱합니다 무엇이 될까요? 1 × (-1) × (-1) 1이죠 -는 상쇄됩니다 여기에 이 3개의 곱을 더합니다 조금 더 깔끔하게 적어 봅시다 봅시다 2 × 3 × 4 입니다 2 × 3 = 6이고 6 × 4 = 24이므로 24를 더합니다 이제 이 3개 항을 곱합니다 4 × 2 × 0에서 어떤 수든 0을 곱하면 0입니다 그래서 0을 더합니다 이제 이것들을 빼면 됩니다 4 × 4 × (-1)은 -16입니다 -16 옆에 부호 -가 있습니다 -16 옆에 부호 -가 있습니다 4 × (-1) × 4 = -16에서 다시 - 를 취하므로 +16이 됩니다 따라서 이것은 16입니다 이제 0 × 3 × 1을 계산합니다 물론 0이 되겠죠 -0이 되겠지만, -는 무시해도 됩니다 +0과 -0은 같다고 할 수 있으니까요 다음은 -1 × 2 × 2 입니다 4 × (-1) 이므로 -4가 됩니다 우측 상단에서 좌측 하단으로 가는 방향은 뺄셈입니다 따라서 -4를 빼는 것이므로 +4가 됩니다 따라서 행렬식은 사루스 법칙에 의해 16 + 4 = 20이고 20 + 25 = 45가 됩니다 따라서 이 법칙은 3×3 행렬식을 빠르게 계산하는 방법입니다 그리고 이것이 이전 영상에서 소개한 정의와 완전히 일치한다는 것을 보여주고 싶네요