n x n 행렬식

지난 시간 우리는 2x2 행렬의 행렬식을 정의해볼 수 있었습니다 지난 시간 우리는 2x2 행렬의 행렬식을 정의해볼 수 있었습니다 바로 ad-bc가 그 정의였죠 그리고 3x3 행렬의 행렬식을 만들어 개념을 확장시켜 보았습니다 그리고 3x3 행렬의 행렬식을 만들어 개념을 확장시켜 보았습니다 지금 화면에 보이는 것이 그 내용이죠 (화면을 봐주세요) 행렬식은 다음 항들을 계산한 결과와 같습니다 (화면을 봐주세요) 이 성분들이 항들의 계수라고 할 수 있죠 각각의 행렬식에 곱해진 계수 말입니다 이는 또한 부분 행렬로 볼 수 도 있습니다 부분행렬이란 각 성분들의 행과 열을 제거하고 남은 성분들로 한 행렬을 칭하는 말입니다 (화면을 봐주세요) 그러니 이 항의 행과 열을 제외하면 (화면을 봐주세요) 이 행렬이 남는다는 뜻입니다 (화면을 봐주세요) 그러므로 a11은 이 행렬의 행렬식과 곱해지겠죠 그다음으로 넘어갈 때는 부호를 바꿔야 했습니다 a12에 -를 붙인 값과 이 항의 행과 열을 제외한 행렬식을 곱하면 됐죠 (화면을 봐주세요) 그러니 이 성분들이 행렬식으로 표현된 것이죠 (화면을 봐주세요) 그러니 이 성분들이 행렬식으로 표현된 것이죠 마지막으로 다시 한 번 부호를 바꿔줍니다 그러니 a13에 +부호를 붙인 값과 2x2 행렬의 행렬식을 곱하면 되죠 a13가 위치한 행과 열을 제외한 행렬 말이에요! (화면을 봐주세요) 남은 성분들이 저 행렬식으로 표현됐습니다 이제 지금까지 해왔던 내용을 확장하여 nxn 행렬로 일반화해봅시다 이제 지금까지 해왔던 내용을 확장하여 nxn 행렬로 일반화해봅시다 nxn 행렬을 한 번 써볼게요 A라는 nxn 행렬이 있습니다 이렇게 표현할 수 있겠네요 a11, a12를 시작으로 a1n까지 이어질 거예요 a11, a12를 시작으로 a1n까지 이어질 거예요 두번째 행으로 내려가봅시다 a21으로 시작해서 an1까지 아래로 이어질 겁니다 당연히 n번째 행까지 있으니까요! 대각선 방향으로 내려가면 이 성분은 ann이 될 겁니다 대각선 방향으로 내려가면 이 성분은 ann이 될 겁니다 바로 이것이 nxn 행렬이죠! 이 행렬의 행렬식을 정의하기에 앞서 먼저 다른 정의를 익히고 갑시다 Aij라는 부분행렬을 정의해봅시다 이는 (n-1)x(n-1) 행렬이 되겠죠? 만약 7x7 행렬이 있을 때 부분행렬은 6x6 행렬이 된다는 뜻입니다 각 행과 열이 하나씩 줄어든다는 것이죠 따라서 Aij는 (n-1)x(n-1) 행렬이 되는 겁니다 '제거하다'와 '무시하다' 두 표현 모두를 사용할 수 있는데 '무시하다'라는 표현을 사용하도록 합시다 제가 이 표현을 더 좋아하거든요 따라서 Aij는 A의 i번째 행과 j번째 열을 무시했을 때의 행렬을 뜻하겠네요 따라서 Aij는 A의 i번째 행과 j번째 열을 무시했을 때의 행렬을 뜻하겠네요 예를 들어서 3x3 행렬로 돌아가 볼까요? 이 행렬의 정의를 기초로 해서 나타낼 수 있습니다 한 번 기억을 되살려볼까요? (화면을 봐주세요) 이 성분을 a11이라고 불렀습니다 (화면을 봐주세요) 이 성분을 a11이라고 불렀습니다 첫번째 행과 첫번째 열을 없앤 나머지 성분들의 행렬을 나타냈죠 첫번째 행과 첫번째 열을 없앤 나머지 성분들의 행렬을 나타냈죠 (화면을 봐주세요) 바로 이 행렬을 A11이라고 칭하는 겁니다 (화면을 봐주세요) 바로 이 행렬을 A11이라고 칭하는 겁니다 (화면을 봐주세요) 그러니 이 부분을 A11이라 쓸 수 있는 것이죠 (화면을 봐주세요) 여기는 A21이라고 쓸 수 있겠네요 그런데 이 행렬을 C라고 했으므로 C11이라 표현해야 더 정확하겠네요! (화면을 봐주세요) 그러니 이 또한 C12가 되겠군요 왜 이렇게 표현했을까요? 행렬 C에서 첫번째 행을 제거했으므로 행렬 C에서 첫번째 행을 제거했으므로 C의 첨자에 1이 오는 겁니다 열 또한 같은 방식으로 표현됐구요 첫번째 행과 두번째 열을 제외하면 2, 3, 4, 1을 성분으로 하는 행렬이 남습니다 (화면을 봐주세요) (화면을 봐주세요) 그러므로 이는 C의 부분행렬로 C12라고 쓸 수 있습니다 그러므로 이는 C의 부분행렬로 C12라고 쓸 수 있습니다 지금까지 부분행렬이 의미하는 바를 살펴봤습니다 3x3 행렬의 경우에서도 이와 매우 비슷했습니다 핵심을 행과 열을 없애는 거죠 만약 이것의 부분행렬을 알고 싶다면 그 부분행렬은 A11이라 불릴테고 첫번째 행과 첫번째 열을 지워보면 (화면을 봐주세요) 남아있는 이 부분들이 부분행렬이 됩니다 (화면을 봐주세요) 남아있는 이 부분들이 부분행렬이 됩니다 부분행렬이라는 새로운 정의를 세워보았는데요 계속 반복되는 듯한 느낌을 받을 수 있어요! 자 이제 A의 행렬식을 정의해봅시다 사실 이 내용은 재귀적 정의입니다 이에 대해서는 잠시 후에 얘기해봅시다 행렬식은 다음과 같습니다 우선 +로 시작할게요 a11과 이 성분의 행과 열을 제거한 부분행렬을 곱해줍니다 a11과 이 성분의 행과 열을 제거한 부분행렬을 곱해줍니다 그러므로 정의에 따라 A11의 행렬식을 곱한다고 표현할 수 있겠죠? 그러므로 정의에 따라 A11의 행렬식을 곱한다고 표현할 수 있겠죠? 좀 더 단정하게 써볼게요 a11의 부분행렬의 행렬식 즉 A11의 행렬식을 곱한거죠 a11의 부분행렬의 행렬식 즉 A11의 행렬식을 곱한거죠 A11을 구하려면 a11의 행과 열을 제거하면 됐습니다 (화면을 봐주세요) 바로 이 모든 성분들이 행렬식이 됩니다 (화면을 봐주세요) 바로 이 모든 성분들이 행렬식이 됩니다 a11과 부분행렬 A11의 행렬식을 곱했습니다 다음으로 넘어갈 때 부호를 바꿔주어야 합니다 이 행을 쭉 따라 가면서 식을 세우면 됩니다 -a12와 이 성분의 부분행렬의 행렬식을 곱합니다 A12라고 할 수 있곘죠? 첫번째 행과 두번째 열을 제외하고 남은 모든 성분들이 행렬 A12가 되는 겁니다 첫번째 행과 두번째 열을 제외하고 남은 모든 성분들이 행렬 A12가 되는 겁니다 다음 차례는 a13예요 전 단계에서 -부호를 사용했기 때문에 이번에는 +부호로 바꿔 써야겠죠? 그러니 a13와 이 성분의 부분행렬의 행렬식을 곱하면 됩니다 A는 nxn 행렬이므로 각각의 부분행렬은 (n-1)x(n-1) 행렬이 되겠죠? A는 nxn 행렬이므로 각각의 부분행렬은 (n-1)x(n-1) 행렬이 되겠죠? 여기에는 A13의 행렬식을 쓰면 되겠네요 계속 -부호와 +부호를 전환하며 사용하면 됩니다 이처럼 -와 +를 반복하면 되는 거죠 마지막 항의 부호는 결정할 수 없습니다 이는 열이 홀수 개인지 짝수 개인지에 달려있죠 이는 열이 홀수 개인지 짝수 개인지에 달려있죠 만약 열이 짝수 개라면 마지막 부호는 -가 됩니다 만약 열이 짝수 개라면 마지막 부호는 -가 됩니다 반대로 홀수 개라면 마지막 부호는 +가 되는 거죠 하지만 여러분은 이미 이를 표현할 방법을 알고 있어요! 바로 ±를 사용하는 것입니다 열이 홀수 개라면 +가 되는 것이고 짝수 개라면 -가 되는 거죠! n번째 행에 위치한 a1n과 이 성분의 부분 행렬인 A1n의 행렬식을 곱하면 됩니다 A1n을 구하려면 첫번째 행과 n번째 열을 제외한 성분들로 한 행렬을 구하면 됩니다 A1n을 구하려면 첫번째 행과 n번째 열을 제외한 성분들로 한 행렬을 구하면 됩니다 (화면을 봐주세요) 바로 이 부분이 되겠네요 아마 여러분은 이 정의가 어떻게 쓰일지 궁금해할겁니다 아마 여러분은 이 정의가 어떻게 쓰일지 궁금해할겁니다 2x2, 3x3 헹렬에서 행렬식을 구했던 방법대로 임의의 nxn 행렬의 행렬식을 정의해보았어요 2x2, 3x3 헹렬에서 행렬식을 구했던 방법대로 임의의 nxn 행렬의 행렬식을 정의해보았어요 이 정의가 어떻게 적용될 수 있을까요? 이 정의가 작동할 수 있는 이유는 주어진 행렬의 행렬식을 구하기 위해서 주어진 행렬보다 작은 행렬의 행렬식들이 사용되기 때문입니다 주어진 행렬의 행렬식을 구하기 위해서 주어진 행렬보다 작은 행렬의 행렬식들이 사용되기 때문입니다 이 행렬식들은 (n-1)x(n-1) 행렬의 행렬식이었습니다 아무런 의미가 없지 않나요?라는 생각이 들겁니다 왜냐하면 우리는 (n-1)x(n-1) 행렬의 행렬식을 구하는 방법을 모르거든요! 왜냐하면 우리는 (n-1)x(n-1) 행렬의 행렬식을 구하는 방법을 모르거든요! 우리가 알고 있는 행렬식의 정의를 계속 적용해나가면 이 행렬식들은 다시 (n-2)x(n-2) 행렬로 표현될 겁니다 이 행렬식들은 다시 (n-2)x(n-2) 행렬로 표현될 겁니다 이 과정을 반복하다 보면 최종적으로 2x2 행렬식 형태로 표현할 수 있습니다 이 과정을 반복하다 보면 최종적으로 2x2 행렬식 형태로 표현할 수 있습니다 2x2 행렬식은 이미 정의한 바가 있죠 2x2 행렬식은 이미 정의한 바가 있죠 아참! 화면에 보이는 계수가 아닙니다 위로 올라가서 보도록 하죠 아참! 화면에 보이는 계수가 아닙니다 위로 올라가서 보도록 하죠 바로 ad-bc로 정의했었습니다 기억나죠? 3x3 행렬의 행렬식에서 볼 수 있듯이 2x2 행렬식이 정의의 기본이 됩니다 3x3 행렬의 행렬식에서 볼 수 있듯이 2x2 행렬식이 정의의 기본이 됩니다 결국 3x3 행렬도 nxn 행렬의 특별한 경우일 뿐인 것이죠 결국 3x3 행렬도 nxn 행렬의 특별한 경우일 뿐인 것이죠 결국 3x3 행렬도 nxn 행렬의 특별한 경우일 뿐인 것이죠 a11과 이 성분의 부분행렬의 행렬식을 곱했었습니다 a11과 이 성분의 부분행렬의 행렬식을 곱했었습니다 다음 성분인 a12로 넘어갈 때에는 부호를 바꿨습니다 -로 말이죠 그리고 다시 a12과 이 성분의 부분행렬의 행렬식을 곱했습니다 (화면을 봐주세요) 바로 이 부분이죠 그 다음은 +로 부호를 바꿨습니다 a13 또한 이 성분의 부분행렬의 행렬식과 곱했습니다 a13 또한 이 성분의 부분행렬의 행렬식과 곱했습니다 결론적으로 3x3 행렬도 앞서 정의했던 일반적인 경우에 해당한다는 말이죠 하지만 추상적이고 일반적인 것만을 다루는 건 만족스럽지 못합니다 하지만 추상적이고 일반적인 것만을 다루는 건 만족스럽지 못합니다 우린 그저 특정한 경우만 알고 싶은 것이죠 이러한 형태를 '점화식'이라고 부릅니다 전산학 전공에서 이 용어를 많이 보게 될 거예요 전산학 전공에서 이 용어를 많이 보게 될 거예요 재귀적 함수나 점화식은 자기 자신을 통해 정의됩니다 재귀적 함수나 점화식은 자기 자신을 통해 정의됩니다 하지만 그 정의에서 사용되는 건 보다 간단한 경우에 대해 정의된 것들이죠 이 정의를 계속 적용해나가면 형태가 더더욱 간단해지고 결국 기본적인 형태에 도달하게 됩니다 이 경우에서는 2x2 행렬이 기본이 되었죠 nxn 행렬의 행렬식을 구하는 것 또한 정의를 반복헤 적용하다 보면은 2x2 행렬의 행렬식으로 표현할 수 있을 겁니다 행렬식 값 또한 구할 수 있고요! 2x2 행렬의 행렬식으로 표현할 수 있을 겁니다 행렬식 값 또한 구할 수 있고요! 지금까지 재귀적 정의를 살펴보았습니다 이 개념을 좀 더 구체화시켜볼 필요가 있겠어요 이 개념을 좀 더 구체화시켜볼 필요가 있겠어요 그러니 직접 계산을 해볼까요? 그러니 직접 계산을 해볼까요? (화면은 봐주세요) 4x4 행렬을 써보겠습니다 (화면을 봐주세요) 성분에 0을 포함해서 계산을 좀 더 간단히 해볼게요 (화면을 봐주세요) 이제 이 행렬의 행렬식을 알아봅시다 이는 행렬의 행렬식이므로 직선으로 감싸 표현했습니다 만약 괄호를 사용한다면 그냥 행렬이 되겠죠? 만약 괄호를 사용한다면 그냥 행렬이 되겠죠? 하여튼 이 행렬의 행렬식을 구해봅시다 앞서 우리가 정의했던 바에 따라 구해볼게요 (화면은 봐주세요) 1과 이 행렬의 행렬식을 곱해줍니다 (화면을 봐주세요) 첫번째 행과 첫번째 열을 제외한 행렬말이죠 (화면을 봐주세요) 그러니 1과 위의 행렬식을 곱하면 됩니다 (화면을 봐주세요) 그러니 1과 위의 행렬식을 곱하면 됩니다 (화면을 봐주세요) 바로 이 행렬 말이에요 다음 성분인 2로 넘어가봅시다 부호를 바꿔야겠죠? 첫번째 행과 두번째 열을 제거한 행렬의 행렬식과 -2를 곱하면 됩니다 그러니 다음 성분들의 행렬식을 곱하면 되겠죠 (화면을 봐주세요) (화면을 봐주세요) 이제 부호를 다시 바꿔줍니다 방금 -를 썼으니까 이제 +가 되겠네요 세번째 성분이 3과 이 성분의 부분행렬의 행렬식을 곱해줍니다 첫번째 행과 세번째 열을 제거하면 다음과 같은 성분들이 남겠죠? (화면을 봐주세요) (화면을 봐주세요) (화면을 봐주세요) (화면을 봐주세요) 바로 이 세번째 열 무시하는 겁니다 (화면을 봐주세요) 이제 거의 다 됐어요! 한 번만 더 시행하면 되겠네요 다시 -4로 시작해야 합니다 총 네 개의 부분행렬 행렬식에 +, -, +, - 를 반복해 붙여야 한다는 것을 잊지 마세요 총 네 개의 부분행렬 행렬식에 +, -, +, - 를 반복해 붙여야 한다는 것을 잊지 마세요 (화면을 봐주세요) 바로 이 부분이 부분행렬입니다 (화면을 봐주세요) 행렬식으로 표현하면 이렇게 되겠네요 이제 3x3 행렬식을 풀어볼까요? 3x3 행렬의 정의를 사용한 적이 있었지만 이 재귀적 정의를 계속 적용해보겠습니다 1과 행렬식을 곱하면 됩니다 그런데 이 행렬식은 어떻게 계산할까요? 2, 3, 0, 0을 성분으로 하는 부분행렬의 행렬식과 0을 곱하면 되겠네요 2, 3, 0, 0을 성분으로 하는 부분행렬의 행렬식과 0을 곱하면 되겠네요 (화면을 봐주새요) 여기가 바로 부분행렬이죠? +, -를 반복해야 된다는 점 꼭 기억하도록 하세요 그러니 -2와 부분행렬의 행렬식을 곱해야 됩니다 (화면을 봐주세요) 따라서 1, 3, 3, 0이 되겠네요 (화면을 봐주세요) 마지막으로 0과 부분행렬의 행렬식을 곱해줍니다 (화면을 봐주세요) 바로 이 부분이 되겠네요 이제 다음 항을 계산해봅시다 보다싶이 이 과정이 싫증날 수 있어요 하지만 기쁜 마음을 안고 계속 가봅시다! 우선 -2와 다음 행렬식을 곱해야겠네요 그 다음 1과 이의 부분행렬의 행렬식을 곱합시다 2, 3, 0, 0이 되겠네요 -2와 첫번째 행과 두번째 열을 지운 성분들의 행렬식을 곱해줍니다 0, 3, 2, 0이 남겠네요 0, 3, 2, 0이 남겠네요 0과 부분행렬의 행렬식을 곱하면 됩니다 (화면을 봐주세요) (화면을 봐주세요) 바로 이 부분 말입니다 이제 절반 가량을 끝냈네요! 이제 세번째 항을 계산해봅시다 3과 그 뒤의 행렬식을 곱하면 되겠네요 괄호를 써야 된다는 점 알고 있죠? 그 다음 1과 부분행렬식을 곱합니다 그 다음 1과 부분행렬식을 곱합니다 그러니 1, 3, 3, 0을 성분으로 한 행렬식 과 1을 곱하면 되겠네요 첫번째 행과 첫번째 열을 제거했을 때 남는 성분들 말입니다 (화면을 봐주세요) 바로 여기죠 다음 -0과 이 성분이 위치한 행과 열을 제거하고 남는 행렬식을 곱하면 됩니다 0, 3, 2, 0이 되겠네요 그 다음 0과 이의 부분행렬식을 곱하면 됩니다 (화면을 봐주세요) 자 이제 마지막인 네번째 항이 남았습니다! 자 이제 마지막인 네번째 항이 남았습니다! 부주의한 실수를 만들지 않도록 노력해봅시다 (화면을 봐주세요) -4와 다음 행렬식을 곱하면 됩니다 (화면을 봐주세요) 1과 부분행렬식을 곱하면 되겠네요 -0과 첫번째 행과 두번재 열을 제거하면 남는 행렬식을 곱하면 되겠죠? (화면을 봐주세요) 그 다음 2와 부분행렬식을 곱하면 됩니다 (화면을 봐주세요) 이 행과 열을 제거하면 0, 1, 2, 3이 남겠네요 (화면을 봐주세요) 우리는 이미 2x2 행렬의 행렬식을 정의하고 또 계산해본 경험이 있습니다 우리는 이미 2x2 행렬의 행렬식을 정의하고 또 계산해본 경험이 있습니다 우리는 이미 2x2 행렬의 행렬식을 정의하고 또 계산해본 경험이 있습니다 바라건대 우리는 이 예시를 반복된 풀이에서 보았죠 바라건대 우리는 이 예시를 반복된 풀이에서 보았죠 그러니 이제 마저 계산해봅시다! 행렬식의 결과는 항상 숫자여야 합니다 (화면은 봐주세요) 이 값은 당연 0이 되겠죠? 0과 다른 수를 곱하면 항상 0이 되니까요 (화면을 봐주세요) 다음 항들도 0으로 처리합시다 계산을 간단히 할 수 있게 됐네요! (화면을 봐주세요) 이 또한 0이 될 겁니다 0을 곱했으니 말이에요 (화면을 봐주세요) 이 또한 0이 되겠죠? 0을 곱했으니 말이에요 자 이제 남은 식들을 살펴봅시다 1과 괄호의 수를 곱하면 됩니다 괄호를 풀어봅시다 -2와 행렬식을 곱하면 되겠네요 1x0 - 3x3의 결과가 행렬식 값이 됩니다 그러니 -9가 되겠네요 (화면을 봐주세요) 바로 이 행렬식의 값이 -9라는 말입니다 그러니 -2 x (-9)가 되겠네요 첫번째 항을 계산해보았습니다 두번째 항은 좀 더 간단히 계산해보죠 -2와 괄호 값을 곱하면 되겠네요 (화면을 봐주세요) 이 행렬식은 2x0 - 0x3이므로 결국 0이 됩니다 (화면을 봐주세요) 결국 여기가 0이므로 이 항을 무시할 수 있겠네요 (화면을 봐주세요) 결국 여기가 0이므로 이 항을 무시할 수 있겠네요 다음 행렬식도 계삭해봅시다 0x0 -2x3이므로 -6이 되겠네요 0x0 -2x3이므로 -6이 되겠네요 (화면을 봐주세요) 바로 이 행렬식이 -6인 것이죠 그러니 -2x-6이 되고 계산하면 12가 됩니다 그러니 -2x-6이 되고 계산하면 12가 됩니다 앞에 있는 -2는 행렬식 앞에 있는 -2입니다 다음은 3과 괄호값을 곱하면 되겠네요 소괄호를 쓴 후 첫번째 행렬식 값을 적으면 되겠죠? 행렬식 값은 1x0 - 3x3을 계산하면 되겠습니다 그러니 -9가 되겠군요 그 다음 항들은 모두 0이 되겠요 자 드디어 마지막입니다! 괄호 앞에 -4를 곱해야겠네요 첫번째 행렬식을 계산해봅시다 1x0 - 2x3을 구하면 되겠죠? 그러니 -6이겠네요 (화면을 봐주세요) 바로 이 부분이 -6입니다 다음 항은 0이니까 마지막 항만 풀면 되겠군요 행렬식 값은 0x3 -1x2니까 결국 -2겠네요 행렬식 앞 계수인 2와 곱해야 하므로 -4가 됩니다 이제 계산을 정확히 하는 일만 남았네요 이제 계산을 정확히 하는 일만 남았네요 (화면을 봐주세요) 이 항은 18이 되겠네요 (화면을 봐주세요) 이 항은 18이 되겠네요 (화면을 봐주세요) 다음 항은 -24가 되겠네요 (화면을 봐주세요) 여기는 -27이 됩니다 (화면을 봐주세요) 괄호값이 -10이 되겠네요 (화면을 봐주세요) 괄호값이 -10이 되겠네요 (화면을 봐주세요) 괄호값이 -10이 되겠네요 따라서 -4x(-10)=40이 됩니다 좀 더 간소화해서 계산해볼게요 마지막 단계에서 실수하면 안 되겠죠? 18-24=-6이 되겠네요 18-24=-6이 되겠네요 그리고 -27+40=13이 되겠네요 최종적으로 -6+13=7이 됩니다 끝났어요! 부디 계산 과정에서 실수가 없었으면 하네요 이 행렬식의 값은 7입니다 이 행렬식의 값은 7입니다 우리는 한 가지 유용한 사실을 알고 있습니다 이 행렬의 행렬식이 0이 아니므로 역행렬이 존재합니다 바라건대 여러분이 이 유용함을 알았으면 좋겠네요!