2x2 역행렬의 식

여기 2 x 2 행렬이 있습니다 여기 2 x 2 행렬이 있습니다 A = [a b c d] 가 있어요 일반적인 행렬로 설정하겠습니다 그저 평범한 2 x 2 행렬이죠 제가 하려는 것은 역행렬을 구하는 방법을 이용하여 2 x 2 행렬의 역행렬을 구하는 것입니다 A의 역행렬을 구해봅니다 여기 이 행렬에 적용되는 공식을 사용해서 말이죠 어떻게 할까요? 그 방법을 알죠 우선 첨가행렬을 만듭니다 여기에 만듭시다 행렬 [a b c d]에 R²의 항등행렬을 첨가합니다 [1 0 0 1]을 말이죠 이 첨가행렬에서 좌변이 기약행사다리꼴이 되도록 일련의 행연산을 수행합니다 기약행사다리꼴이 항등행렬이 된다면 우변엔 역행렬이 나올겁니다 우변엔 역행렬이 나올겁니다 특정 숫자를 넣지 말고 일반화된 식으로 풀어봅시다 먼저 해야할 것은 이 값을 0으로 만드는 것입니다 이 값과 이 값을 0으로 만들고 이 두 값을 1로 만들어야 하죠 이것을 0으로 만드는 가장 좋은 방법은 변환을 이용하는 것입니다 열을 변환하고자 한다면 이 성분들에 대해서 이 열은 첫 번째 열 이 열은 두 번째 열 이것은 세 번째 열이고 이것은 네 번째 열입니다 하지만 각각의 열에 할 변환은 행연산입니다 왜냐하면 이 값을 0으로 만들고자 하기 때문이죠 첫 번째 행은 그대로이므로 이 값은 C1이고 두 번째 행은 a×C2 - c×C1 입니다 두 번째 행은 a×C2 - c×C1 입니다 왜 이렇게 할까요? a×c - c×a = 0 이기 때문입니다 따라서 이 값은 0이 되겠죠 이것이 바로 제가 할 행연산입니다 이 과정을 통해서 이런 방식으로 진행할 수 있고 무엇을 하는지 설명할 수 있습니다 계산 과정이 좀 복잡해질 겁니다 자, 이 연산을 수행합니다 이 행렬에 연산을 수행하면 무엇이 나올까요 첫 번째 행은 동일합니다 두 번째 행부터 시작합시다 이것이 조금 더 복잡하기 때문이죠 따라서 c를 ac - ca로 바꿉니다 이것은 ac이니까 이렇게 하죠 그러면 이것은 0이 될 것입니다 그리고 d를 ad - cb로 바꿔줍니다 그리고 d를 ad - cb로 바꿔줍니다 그리고 d를 ad - cb로 바꿔줍니다 이것을 bc라고 쓰도록 하죠 그 다음 첨가합니다 a × C2 - c × C1 로부터 이 값은 a × 0 입니다 그래서 이것은 -c가 됩니다 마지막으로, 여기 이 값은 a × 1 - c × 0 입니다 따라서 그냥 a가 되겠죠 그리고 첫 번째 행은 매우 간단합니다 첫 번째 행 또는 열벡터의 첫 번째 성분들은 이 변환이 진행되는 동안 그 값이 변하지 않습니다 따라서 a, b, 1, 0입니다 여러분이 무엇을 하는지 확실히 알기 위해 여기 이 열벡터를 변환할 때 여기 이 열벡터를 변환할 때 이 열벡터가 나옵니다 이 열벡터를 변환하면 이 열벡터를 변환하면 이 열벡터가 나와요 분명히 짚고 넘어갑시다 열벡터의 두 번째 성분을 한번에 처리했습니다 본질적으로 같은 행연산을 한 것이기 때문이죠 따라서 이는 제 생각을 조금 가볍게 해주었습니다 따라서 이는 제 생각을 조금 가볍게 해주었습니다 이 방식을 유지하도록 하죠 이어서 기약행사다리꼴로 만들어 봅시다 다음으로 할 것은 또 다른 변환을 만들어 봅시다 이것을 T1으로 하죠 이건 첫 번째 변환입니다 다른 변환을 해봅시다 T2라고 하겠습니다 행연산의 또다른 집합이기도 하죠 열벡터 C1, C2에서 시작한다면 두 번째 행을 그대로 유지하고 이 값을 0으로 만들고 싶습니다 이 값을 0으로 만들고 싶어요 두 번째 행은 똑같이 둘 것이므로 C2는 그대로 C2입니다 그러나 이 값을 0으로 만들기 위해서 첫 번째 행의 상수배에서 두 번째 행의 상수배를 뺍니다 따라서 이 값은 (ad - bc) × C1 - b × C2가 됩니다 지금 이 과정은 이 값을 0으로 만들기 위해서 하는 것입니다 만약 이 행렬에 적용한다면 첫 번째 행부터 해봅시다 그러면 이 첫 항은 (ad - bc )× a - b × C2 입니다 그러면 이 첫 항은 (ad - bc) × a - b × C2 입니다 여기서 -b × C2 = -0 입니다 따라서 두 번째 항은 0이 되겠네요 좋습니다 그럼 이 값은 무엇일까요? 써보도록 하죠 이 값은 (ad - bc)b - b(ad - bc) 가 됩니다 이 값은 (ad - bc)b - b(ad - bc) 가 됩니다 이 값은 (ad - bc)b - b(ad - bc) 가 됩니다 보시다시피 이 둘은 상쇄되고 0이 됩니다 그 후 첨가합니다 자리가 부족하지 않았으면 해요 좀 왼쪽으로 가서 시작해야겠어요 이 값은 무엇일까요? 이 값과 (ad - bc)를 곱하겠습니다 분홍색으로 쓰겠습니다 따라서 (ad - bc)×1이 됩니다 즉, (ad - bc) - b × C2에서 C2 = -c 이므로 (ad - bc) - b × (-c)가 되겠죠 그러므로 이것은 + bc입니다 그러므로 이것은 + bc입니다 즉, 이것은 1 × (ad - bc) - b × (-c) 입니다 즉, 이것은 1 × (ad - bc) - b × (-c) 입니다 이 둘은 상쇄되겠죠 이 둘은 상쇄되겠죠 결국 ad만 남게 됩니다 결국 ad만 남게 됩니다 그리고 이 값은 0 × (ad - bc) = 0이고 여기에 -ba가 있습니다 따라서 그 결과는 -ab입니다 이 값을 정리하였습니다 그리고 두 번째 행은 그대로입니다 두 번째 행은 변환을 해도 같습니다 그러므로 그대로 0일 것입니다 그대로 ad - bc가 있어요 그대로 ad - bc가 있어요 a - c가 있습니다 그리고 a가 있죠 이렇게 말이에요 깔끔하게 행렬을 다시 쓰도록 하죠 깔끔하게 행렬을 다시 쓰도록 하죠 여기에 다시 쓸게요 주황색으로 하죠 아니, 노란색으로 하죠 (ad - bc) × a가 있습니다 이 항은 0이 되겠죠 이 항은 0입니다 여기 이 항은 ad - bc 입니다 여기 이 항은 ad - bc 입니다 그리고 첨가된 부분은 ad입니다 이것은 a - ab 에요 이것은 a - c 입니다 그리고 이것은 a입니다 기약행사다리꼴에 가까워졌습니다 이 두 값은 기약행사다리꼴이 되기 위해 1이 되어야 합니다 그러면 이 둘을 1로 만들 변환을 정의해봅시다 이 변환이 T2니까 이번엔 변환 T3이라고 정의하죠 이 변환이 T2니까 이번엔 변환 T3라고 정의하죠 열벡터 C1, C2가 있습니다 각각의 열벡터를 상수배하겠습니다 첫 번째 성분 a가 1이 되도록 scaling factor로 나누겠습니다 첫 번째 성분 a가 1이 되도록 scaling factor로 나누겠습니다 따라서 1/(ad - bc)a와 각 열벡터의 첫 번째 항을 곱해야 합니다 그리고 두 번째 값은 이걸로 나누겠습니다 따라서 이 값은 1이 되죠 그러므로 하나의 변환으로 두 번의 스칼라 나눗셈을 하겠습니다 이 값은 그럼 1/(ad - bc)와 C2의 곱이 됩니다 따라서 이 두 scaling factor로 모든 것을 상수배하겠습니다 여기에 이 변환을 적용하면 무엇이 나올까요? 행렬이 나오겠죠 이 값을 (ad - bc)a로 나누면 되므로 그 값 자신으로 나누어 1이 되도록 합니다 이 값으로 0을 나누겠습니다 그러나, 어떤 값으로 나누든 결과는 0입니다 첨가된 부분을 봅시다 이렇게 써보도록 하죠 ad를 (ad - bc)a로 나눕니다 그러면 a는 나눠지겠죠 그러면 a는 나눠지겠죠 이 값은 -ab/(ad - bc)a가 됩니다 이 값은 -ab/(ad - bc)a가 됩니다 이번에도 a가 나눠지네요 두 번째 행은 열벡터의 두 번째 항이므로 0을 어떤 수로 나누든 0입니다 따라서 이 값으로 나눌 수 있다 가정하면 0을 이 값으로 나누어도 0이 되는 것이죠 잠시 후에 더 얘기하도록 하죠 이 값은 이 값으로 나누는데 자기 자신을 나누는 것이므로 그 값은 1이 됩니다 여기는 -c/(ad - bc) 입니다 그리고 여기는 a/(ad - bc) 가 되겠죠 끝났습니다 첨가행렬의 좌변을 기약행사다리꼴로 만들었어요 그러면 이 값이 역행렬이 되겠죠 잠시만 정리해 볼까요 이 행렬에서 시작해보죠 보라색으로 할게요 행렬 A = [a b c d]에서 시작했습니다 역행렬이 바로 이것이라는 것을 이 방법을 통해 구하였습니다 간단히 말하자면 쓰면서 할게요 어떤 단계도 건너뛰고 싶지 않습니다 이 값은 d/(ad - bc) 입니다 맞아요, 이 값과 저 값은 나눠지죠 그리고 여기는 -b/(ad - bc) 가 되죠 이 값과 저 값이 나눠지니까요 다음은 -c/(ad - bc) 입니다 마지막으로, a/(ad - bc)가 됩니다 이것이 바로 역행렬입니다 하지만 번뜩 떠오르게 있죠 역행렬의 모든 성분은 이 값으로 나눠진다는 것입니다 그럼 아마도 역행렬을 더 간단하게 쓸 수 있겠네요 이렇게도 쓸 수 있어요 1/(ad - bc)와 행렬 [d -b -c a]의 곱으로 나타낼 수 있어요 이렇게 2 x 2 행렬의 역행렬을 구하는 공식을 알아냈습니다 임의의 수가 주어지면 역행렬을 바로 구할 수 있습니다 간단하지요 모든 2 x 2 행렬이 역행렬이 존재한다고 할 수는 없겠죠 이 경우가 어떻게 모든 행렬을 말하는 걸까요 질문 하나를 드리죠 어떤 경우에 이 행렬이 정의되지 않을까요? 어떤 경우에 이 행렬이 정의되지 않을까요? 제가 한 모든 연산은 어떤 실수로도 할 수 있습니다 또 이 행렬은 어떤 실수든지 적용이 되죠 그러면 언제 정의되지 않을까요? 그러면 언제 정의되지 않을까요? 0으로 나눌때 정의되지 않겠죠 어떤 경우에 0으로 나누게 될까요? 다른 모든 것들을 0으로 곱하고 빼고 더할 수 있지만 0으로 나눌 수는 없습니다 어떤 수를 0으로 나눌 때 무슨 의미를 가지는지 정의한 적이 없습니다 따라서 ad - bc = 0 은 정의되지 않은 경우입니다 상당히 흥미롭죠 ad - bc = 0 이 아닌 이상 언제나 2 x 2 행렬의 역행렬을 구할 수 있습니다 가역성을 위해 복잡한 것을 많이 끄집어냈어요 결국 기약행사다리꼴을 얻어냈고요 그 전에 전사와 단사에 대해 이야기했었죠 그 전에 전사와 단사에 대해 이야기했었죠 적어도 2 x 2 행렬에 대해서는 상당히 간단히하였습니다 ad - bc = 0 이 아닌 이상 이 공식을 사용할 수 있고 A의 역행렬이 존재한다는 것을 알 수 있습니다 그것은 역행렬이 존재할 뿐만 아니라 이 공식에도 적용할 수 있습니다 따라서 흥미로운게 있죠 이 수는 상당히 흥미로워요 따로 명칭이 있어야 할 것 같아요 다행히도 명칭이 있습니다 바로 행렬식입니다 바로 행렬식입니다 분홍색으로 쓰도록하죠 행렬식입니다 행렬식입니다 따라서 A의 행렬식은 A 혹은 [a b c d] 양쪽에 직선을 두는 방식으로 표현합니다 A 혹은 [a b c d] 양쪽에 직선을 두는 방식으로 표현합니다 하지만 대부분은 이런 괄호와 직선이 불필요하다고 생각하죠 그래서 그냥 직선과 a b c d로 씁니다 그래서 그냥 직선과 a b c d로 씁니다 분명하게 짚고 넘어가죠 만약 괄호가 있다면 행렬을 다루고 있는 것입니다 만약 직선이 있다면 행렬식을 다루고 있는 거고요 이 2 x 2 행렬의 경우에서는 ad - bc가 됩니다 이것이 바로 행렬식의 정의입니다 다시 써보겠습니다 A = [a b c d] 행렬이 있습니다 이 행렬의 역행렬을 구해봅시다 역행렬은 행렬식의 역수의 곱으로 시작합니다 이걸 외우는 좋은 방법이 있어요 이걸 외우는 좋은 방법이 있어요 이 둘의 위치를 바꿉니다 a와 d는 바뀝니다 따라서 d와 a를 갖게 됩니다 그리고 이 둘은 그대로인 대신 음수로 바뀝니다 -b와 -c가 되겠죠 이것이 바로 2 x 2 행렬식의 일반적인 정의입니다 이것이 바로 2 x 2 행렬식의 일반적인 정의입니다 두 개 더 해보죠 [1 2 3 4]의 행렬식을 구해볼까요 [1 2 3 4]의 행렬식을 구해볼까요 아주 쉬워요 이 행렬을 B라고 합시다 B의 행렬식은 이렇게 나타낼 수 있어요 이것은 B의 행렬식입니다 계산하면 이렇게 되겠죠 1×4 - 3×2 = 4 - 6 = -2 1×4 - 3×2 = 4 - 6 = -2 따라서 행렬식은 -2가 됩니다 역행렬이 존재하겠죠 따라서 행렬식은 -2가 됩니다 역행렬이 존재하겠죠 역행렬이 존재할 뿐만 아니라 역행렬을 구하기도 쉽습니다 이 공식을 적용할 수 있습니다 이 경우에 B의 역행렬을 구하려면 역행렬의 역수를 구합니다 행렬식은 1/(-2)이 되고 이 행렬을 조금 바꿔줍니다 실수하지 않도록 합시다 B = [1 2 3 4] 입니다 B = [1 2 3 4] 입니다 B의 역행렬을 구해봅시다 행렬식은 -2 이므로 1/(-2)로 시작합니다 이 두 값을 바꿔줍니다 4와 1이 되겠죠 그리고 이 두 값은 음수가 되요 -2와 -3이 됩니다 여기 성분에 행렬식을 곱하면 이렇게 되겠죠 -1/2 × 4 = -2 -1/2 × 2 = -1 -1/2 × 3 = -3/2 -1/2 × 1 = -1/2 따라서 이것이 바로 B의 역행렬입니다 이제 다른 행렬을 해봅시다 행렬 C라고 하죠 C = [1 2 3 6] 입니다 C의 행렬식은 무엇인가요? 이렇게 구하면 됩니다 이렇게 구하면 됩니다 1×6 - 3×2 = 6 - 6 =0 1×6 - 3×2 = 6 - 6 =0 행렬식이 0이 되기 때문에 역행렬이 존재하지 않습니다 역행렬이 존재하지 않습니다 역행렬은 존재하지 않아요 왜냐하면 이 공식을 적용하면 1/0 이 되기 때문이죠 하지만 이 공식으로 기약행사다리꼴을 만들려면 이 항들로 모든 것을 나누어야 합니다 따라서 이 항은 방금 보았듯이 행렬 C에 대해서는 0입니다 제가 생각해낸 이 행렬의 역행렬이 존재하지 않는 이유는 각 열이 서로 선형결합이 되도록 만들었기 때문입니다 각 열이 서로 선형결합이 되도록 만들었기 때문입니다 1과 3이 있고 2를 곱하면 2와 6이 되겠죠 따라서 이들은 선형독립하는 열이 아닙니다 그러므로 그 계수는 다음과 달라서 역행렬이 존재하지 않습니다 하지만 이렇게 행렬식을 계산할 수 있죠