역행렬 구하기 예제

지난 수업에서는 가역행렬의 역행렬을 구하는 법을 배웠어요 이 방법을 사용해서 예제를 풀어봅시다 이 방법을 사용해서 예제를 풀어봅시다 지난 수업에서 쓴 행렬을 그대로 가지고 올게요 지난 수업에서 쓴 행렬을 그대로 가지고 올게요 예제로 쓰기 좋은 행렬이에요 이 행렬은 기약행사다리꼴 형태가 항등행렬이므로 가역행렬입니다 이제 역행렬을 구해 봅시다 방법은 복잡하지 않아요 이 행렬을 항등행렬으로 만들기 위해 변환시키듯이 이 행렬을 항등행렬으로 만들기 위해 변환시키듯이 항등행렬도 똑같이 변환시키면 돼요 항등행렬도 똑같이 변환시키면 돼요 왜냐면 항등행렬로 만들 때 거친 연산과정은 행렬로 나타냈을 때 역행렬이기 때문이에요 행렬로 나타냈을 때 역행렬이기 때문이에요 이제 구해봅시다 첨가행렬을 만들겠습니다 아래에 새로 만들게요 좀 고칠게요 A의 성분은 이렇습니다 1, 1, -1 -1, 2, 1 -1, 3, 4 이 행렬 옆에 항등행렬을 붙일 거에요 [1 0 0, 0 1 0, 0 0 1] 이제 A를 기약사다리꼴행렬로 만들기 위해 두 번째 행을 바꿔야겠네요 우선 첫 번째 행은 놔둘게요 첫 번째 행을 놔두면 이렇게 될 거에요 1행 1, -1, -1 옆에는 1, 0, 0를 붙여요 1행 전체는 그냥 놔두고요 2행에는 1행을 더합시다 2행에는 1행을 더합시다 -1 + 1 = 0 2 + (-1) = 1 3 = (-1) = 2 0 + 1 = 0 아니네요 틀렸어요 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 0 + 0 = 0 처음 두 행을 서로 더해서 두 번째 행에 나타냈습니다 세 번째 행 첫 번째 자리에 0이 와야 해요 따라서 세 번째 행에서 첫 번째 행을 빼봐요 1 - 1 = 0 1 - (-1) = 2 4 - (-1) = 5 0 - 1 = -1 0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 다 했어요 이제 뭘 해야 할까요? 이만큼 했으면 이제 2열 가운데를 제외한 나머지를 0으로 만들어야 해요 두 번째 행은 가만히 놔둡시다 밑에 새로 적을게요 밑에 새로 적을게요 0 1 2 | 1 1 0 이렇게 써요 1행에 2행을 더해봅시다 1행에 2행을 더해봅시다 1 + 0 = 1 -1 + 1 = 0 의도대로 0으로 만들었어요 -1 + 2 = 1 1 + 1 = 2 0 + 1 = 1 0 + 0 = 0 이제 이걸 0으로 만들어야 해요 3행 - 2 × 2행을 해봅시다 3행 - 2 x 2행을 해봅시다 0 - 2 x 0 = 0 2 - 2 x 1 = 0 5 - 2 x 2 = 1 -1 - 2 x 1 = -3 -1 - 2 x 1 = -3 0 - 2 x 1 = -2 1 - 2 x 0 = 1 얼마 안남았어요 이제 이 두 수만 0으로 만들면 돼요 세 번째 행은 놔두고 색을 바꿀게요 세 번째 행은 놔두고 0 0 1 0 0 1 | -3 -2 1 1행에서 3행을 빼봅시다 1행에서 3행을 빼봅시다 1 - 0 = 1 0 - 0 = 0 1 - 1 = 0 2 - (-3) = 5 1 - (-2) = 3 0 - 1 = -1 이제 2행 - 2 · 3행을 해봅시다 이제 2행 - 2 · 3행을 해봅시다 0 - 2· 0 = 0 1 - 2 · 0 = 0 2 - 2 · 1 = 여기서 실수를 했어요 0 - 2 · 0 = 0 1 - 2 · 0 = 1 0이 아니에요! 2 - 2 · 1 = 0 1 - 2 · (-3) = 7 1 - 2 · (-3) = 7 1 - 2 · (-2) = 5 0 - 2 · 1 = -2 이렇게 행렬 A의 첨가행렬을 기약행사다리꼴로 바꿨어요 이렇게 행렬 A의 첨가행렬을 기약행사다리꼴로 바꿨어요 이게 A의 기약행사다리꼴행렬이에요 ( rref(A) ) 결국 오른쪽 행렬도 왼쪽과 똑같은 변환을 했는데 A를 항등행렬로 만드는 변환행렬은 A를 항등행렬로 만드는 변환행렬은 정의에 따르면 그 자체가 곧 항등행렬입니다 따라서 항등행렬에 똑같은 변환을 적용하면 A의 역행렬이 나옵니다 오른쪽 행렬이 바로 A의 역행렬입니다 A의 역행렬을 구해보았는데 아주 어렵지는 않았어요