다른 행/열을 이용하여 행렬식 구하기

저번 수업에서는 이 4 x 4 행렬의 행렬식을 구해봤어요 행렬식의 값은 7이었어요 행렬식은 이렇게 구했어요 저번 수업에서는 정의대로 첫 번째 행을 사용했어요 저번 수업에서는 정의대로 첫 번째 행을 사용했어요 여기다 써볼게요 1 곱하기 0,2,0 1,2,3 3,0,0의 행렬식 빼기 2 곱하기 2가 기준이니까 2가 있는 행을 지우고 2가 있는 열을 지우고 나머지를 써요 1,0,2 1,0,2 2,2,0 0,3,0 더하기 3 곱하기 부분행렬의 행렬식 굳이 쓰지 않을게요 3이 포함된 행과 열을 지우면 돼요 빼기 4... 부호를 교차해요 여기에 다른 부분행렬의 행렬식을 곱해요 저 부분행렬도 이 부분행렬도 써보면 -4가 있는 행과 열을 지우면 남는 값은 1,0,2 0,1,2 2,3,0 1,0,2 0,1,2 2,3,0 행렬식을 구할 때 쓰는 적절한 방법이에요 행렬식의 정의였죠 하지만 이번 수업에서는 행렬식은 여러 방법으로 구할 수 있다는 걸 보여줄 거에요 지금부터 보여 줄 방법은 첫 번째 행으로 구한 방법과 똑같아요 사실 어떤 행이나 열을 사용해도 마찬가지죠 사실 어떤 행이나 열을 사용해도 마찬가지죠 이 방법의 장점은 행렬식을 구할 때 0이 많은 줄을 우리가 고를 수 있다는 거예요 0이 많은 줄을 우리가 고를 수 있다는 거예요 이렇게 하면 계산 과정을 줄일 수 있죠 임의의 줄을 고르기 전에 가장 먼저 해야 할 일은 임의의 줄을 고르기 전에 가장 먼저 해야 할 일은 예를 들어 이걸 선택해 봅시다 이번 예제에서 행과 열 한 개씩만 합시다 그러면 네 번째 열에서 시작해 봅시다 0이 많아서 간단할 거 같네요 가장 먼저 규칙을 떠올리세요 계수를 넘어갈 때마다 부호를 바꿔줘야 합니다 행을 옮겨갈 때도 부호를 교차하고 열을 옮겨갈 때도 부호를 교차합니다 따라서 4 × 4 행렬의 행렬식은 다음과 같은 규칙을 따라요 + - + - - + - + + - - + + - - + 체스판이라고 보면 돼요 임의의 성분 ij의 부호를 알아내려면 예를 들어 2행 2열에 있는 성분의 부호는 예를 들어 2행 2열에 있는 성분의 부호는 예를 들어 2행 2열에 있는 성분의 부호는 이렇게 써보죠 어떤 함수를 정의해 봅시다 체스판을 떠올리면 충분할 것 같지만 어쨌든 써 볼게요 행렬 요소의 부호를 구해야 합니다 삼각함수 sin이 아니라 sign이죠 i행과 j열에 있는 성분의 부호를 알려주는 어떤 함수가 있습니다 i행과 j열에 있는 성분의 부호를 알려주는 어떤 함수가 있습니다 식은 -1^(i + j) 이에요 식은 -1^(i + j) 이에요 4행 2열에 있는 성분의 부호를 구하고 싶습니다 4행 2열에 있는 성분의 부호를 구하고 싶습니다 4행 2열 부호는 뭘까요? 4 + 2 -1의 6제곱은 1이죠 따라서 +1 입니다 이제 이 성분을 알아봅시다 이제 이 성분을 알아봅시다 이 성분의 i = 2 j = 3 이 성분의 i = 2 j = 3 2행 3열에 있어요 2 + 3 = 5 -1^(5) = -1 음의 부호를 가집니다 이렇게도 부호를 알 수 있어요 하지만 체스판이 생각하기 쉬워요 하지만 체스판이 생각하기 쉬워요 이제 체스판을 떠올리며 네 번째 행을 따라 구해봅시다 네 번째 행을 따라 구해봅시다 2부터 시작합시다 음의 부호네요 왜냐면 + - + - 니까요 -2 × 부분행렬의 행렬식 -2 × 부분행렬의 행렬식 이 행과 이 열을 지우면 부분행렬은 이렇게 됩니다 2 3 4 0 2 0 1 2 3 다음은 양의 부호에요 더하기 3 곱하기 이 행과 이 열을 지우면 1 1 0 1 1 0 1 1 0 3 2 2 3 2 2 4 0 3 4 0 3 다음은 - 0 × 부분행렬 + 0 등등 이렇게 이어지지만 이 뒤는 무시해도 돼요 0은 뭘 곱해도 0이니까요 행렬식 계산을 간단하게 줄였네요 이 식을 계산해서 똑같은 값이 나오는지 봅시다 이 식을 계산해서 똑같은 값이 나오는지 봅시다 그래야 이 방법이 만족하는 걸 알 테니까요 이 부분행렬의 행렬식은 뭘까요? 똑같은 방법을 사용하면 돼요 간단해 보이는 행이나 열을 선택해요 간단해 보이는 행이나 열을 선택해요 두 번재 열을 선택합시다 간단해 보이는군요 -2 앞에 붙은 -2에요 곱하기 부분행렬의 행렬식 이 부분의 행렬식의 부호는 + - + + - + 따라서 -0 × 이 행과 이 열을 지우면 -0 × 8 = 0이고 2 × 2가 있는 행과 열을 지우면 [2 4, 1 3] [2 4, 1 3] 다음은 -0 곱하기 인데요 뭔지 몰라도 돼요 0을 곱하면 0이니까요 그러면 이렇게 간단해지는군요 그러면 이렇게 간단해지는군요 그리고 +3 × 부분행렬인데 첫 번째 행은 건너뛰어요 0이 없네요 이 세 번째 행에서 시작해 봅시다 좀 다양하게 계산해 보게요 다른 열도 딱히 없네요 0이 한 개 밖에 없어요 위에서부터 + - + + - + 그럼 +0 × [3 4, 2 0] 이건 무시하고요 -2 × 행렬식이니까 이 행과 이 열을 지우고 조심해야겠네요 1 앞에 -는 무시하세요 실수하지 않게 고쳐야겠어요 이건 +1이에요 여기 그린 -는 계수의 부호가 바뀐다는 걸 보여주려고 그런 거에요 다시 3 곱하기 이 3은 위의 3이고요 이 부분행렬의 행렬식을 구해봐요 0 곱하기 이 행렬은 무시하고요 0 곱하기 이 행렬은 무시하고요 -2 × 부분행렬 이거에요 [1 1, 4 0] 더하기 3 × 부분행렬 [ 1 3, 1 2] [ 1 3, 1 2] 다 됐고요 간단히 해봅시다 2 × 3 = 6 - 1 × 4 그럼 6 - 4가 돼요 2에요 이 앞의 항은 2 × 2 = 4이고 4 × (-2)를 계산하면 -8입니다 4 × (-2)를 계산하면 -8입니다 이제 오른쪽 항은 1 × 0 = 0 -1 × 4 = -4 곱하기 -2 이 항은 8이에요 1 × 2 = 2 -1 × 3 = -3 따라서 -1이고 2 - 3이니까 -1 × 3 = -3 -1 × 3 = -3 8 - 3 = -5 8 - 3 = -5 3 × -5에요 3 × -5에요 3 × -5는 -15이죠 여기서 사소한 실수를 했네요 8 - 3 = 5에요 그냥 5에요 쉬운 건데 이런 계산을 길게 하면 이렇게 돼요 3 × 5 = 15죠 3 × 5 = 15죠 두 항을 서로 합치면 15 - 8 = 7 운이 참 좋게도 거의 실수를 할 뻔했지만 답을 구했어요 그렇지만 지난 수업보다 훨씬 간단했어요 0이 많은 행을 골라서 계산했기 때문에 계산이 간단해졌어요 그래서 항이 4개가 아니라 2개만 생겼죠 그래서 항이 4개가 아니라 2개만 생겼죠 행렬이 아무리 커도 0이 많은 줄을 골라서 똑같이 하세요 다만 행렬식을 구할 땐 체스판 규칙을 떠올리세요 다만 행렬식을 구할 땐 체스판 규칙을 떠올리세요