역변환 판별하는 방법 추론하기

이 행렬 A를 기약행사다리꼴행렬로 나타내고 싶습니다 여러 번 했던 내용이지요 기본행연산을 여러 차례 진행합니다 하지만 이번 동영상에서는 이러한 기본행연산들이 A의 열벡터들의 선형 변환과 동일하다는 것을 보이고 싶습니다 예시를 통해 보도록 하겠습니다 A를 기약행사다리꼴행렬로 놓기 위해서 먼저 해야 할 일은 이 성분들을 상쇄시키는 것입니다 첫 번째 성분은 그대로 두겠습니다 각 열벡터에 대해 첫 번째 성분은 그대로 두겠습니다 1, -1, 1이 됩니다 동시에 변환행렬을 구성해 보겠습니다 진행하고자 하는 기본행연산이 열벡터의 선형 변환과 동일합니다 어떤 열벡터인 a1, a2와 a3을 사용하는 변형이 될 것입니다 이들 각각을 취하고 어떤 선형 연산을 진행할 것입니다 선형 변환이 될 것입니다 열벡터의 첫 번째 원소를 그대로 유지합니다 그대로 a1이 됩니다 여기 선이 하나 있습니다 a1이 됩니다 기약행사다리꼴행렬 형태로 만들기 위해서는 무엇을 해야 할까요? 이 값을 0으로 만들고자 합니다 그래서 두 번째 행을 두 번째 행과 첫 번째 행의 합으로 나타낼 것입니다 이 값이 0이 되기 때문입니다 이 변형에 대해 써 보겠습니다 두 번째 행을 두 번째 행과 첫 번째 행의 합으로 대체할 것입니다 이쪽에 한번 적어 보겠습니다 -1 더하기 1은 0입니다 2 빼기 1은 1이고 3 더하기 -1은 2입니다 여기서도 0을 얻고 싶습니다 세 번째 행을 세 번째 행에서 첫 번째 행을 빼는 것으로 바꾸겠습니다 세 번째 행을 세 번째 행에서 첫 번째 행을 빼는 것으로 바꾸겠습니다 그래서 1 빼기 1은 0입니다 1 빼기 -1은 2이고 4 빼기 -1은 5입니다 이것이 선형 변환이라는 것을 알 수 있습니다 그리고 선형 변환은 매트릭스 벡터 곱으로 나타낼 수 있습니다 예를 들어 이 변환은 이렇게 나타낼 수 있는데요 변환 행렬을 알아내기 위해 T(x)가 어떤 행렬 S 곱하기 x와 같다고 합시다 이미 행렬 A를 사용했기 때문에 다른 문자를 골랐습니다 어떻게 S를 구할까요? 방금 모든 열벡터 혹은 단위행렬의 표준 기저 벡터에 변환을 가했습니다 한번 해 보겠습니다 단위행렬은, 작게 쓰겠습니다 단위행렬은 이렇게 생겼습니다 1, 0, 0 0, 1, 0, 0, 0, 1 단위행렬은 이렇게 생겼습니다 변환 행렬을 찾기 위해서 이들을 여기의 각 열벡터에 대입합니다 어떤 값이 나오나요? 조금 더 크게 그리겠습니다 이들을 각 열벡터에 대입합니다 첫 번째 행이 항상 동일한 것을 볼 수 있습니다 첫 번째 행이 항상 같습니다 1, 0, 0입니다 이를 각 열벡터에 동시에 대입하는 것인데 각 열벡터를 변환하면 이들의 첫 번째 행이 동일하게 유지됩니다 두 번째 행은 두 번째 행과 첫 번째 행의 합이 됩니다 0 더하기 1은 1이고 1 더하기 0은 1입니다 0 더하기 0은 0이고요 그리고 세 번째 행은 세 번째 행에서 첫 번째 행을 뺀 값이 됩니다 그래서 0에서 1을 빼면 -1입니다 0에서 0을 빼면 0이고 1에서 0을 빼면 1입니다 이 변환을 단위행렬의 열벡터에 대입했을 때 위에서 진행한 것과 동일한 기본행연산을 진행했습니다 단위행렬에 대해 정확하게 같은 기본행연산을 진행했습니다 이 행렬이 변환 행렬이라는 것을 알기 때문에 이 열벡터들과 곱하면 혹은 이 열벡터들과 곱하면 이 열벡터들을 얻게 됩니다 이렇게 생각할 수도 있습니다 여기 이 행렬을 S라고 하겠습니다 변환 행렬입니다 새로운 행렬을 만드는데 각 열이 S 곱하기 이 열벡터 S 곱하기 1, -1, 1 그리고 다음 열은 S 곱하기 다른 색으로 쓰겠습니다 S 곱하기 이 열벡터, -1, 2, 1 세 번째 열은 S 곱하기 세 번째 열벡터 -1, 3, 4 이 변환 S를 각 열벡터와 곱하는 것입니다 이 변환의 행렬 표현입니다 이건 다음과 같이 변환되는데 이 아래쪽에서 써 보겠습니다 이 위에 있는 내용도 보고 싶은데 그냥 화살표를 그리겠습니다 그게 가장 간단할 것 같군요 이 행렬이 여기 이 행렬이 됩니다 다른 방식으로도 쓸 수 있는데 이게 무엇과 동일한가요? 이 값이 무엇과 같은가요? 행렬을 가지고 각 열벡터와 곱하면 각 열벡터를 이 행렬을 이용해서 변환하면 이는 행렬 행렬 곱의 정의입니다 이는 행렬 S와 같습니다 분홍색으로 쓰겠습니다 이 행렬은 행렬 S와 같은데 1, 0, 0, 1, 1, 0, -1, 0, 1 곱하기 행렬 A인데 1, -1, 1, -1, 2, 1, -1, 3, 4 확실히 해 보겠습니다 이는 변환 행렬 S입니다 이는 행렬 A고요 그리고 이 곱을 계산하면 위의 이 값을 얻게 됩니다 그냥 복사해서 붙여 넣겠습니다 편집, 복사, 붙여넣기 여기 이 행렬을 얻게 됩니다 이걸 진행한 이유는 각 기본행연산을 진행하는 것이 단지 곱셈인 것을 상기시키기 위함입니다 여기의 각 열에 대해 선형 변환을 수행하는 것입니다 그리고 이는 여기 이 행렬을 어떤 행렬 S와 곱하는 것과 같습니다 이 경우 S를 알아내는 데에 어려움이 있었습니다 그러나 어떤 기본행연산을 진행하더라도 행렬 곱으로 나타낼 수 있습니다 여기서 흥미로운 아이디어를 얻을 수 있는데요 무언가를 기약행사다리꼴행렬로 나타내면 여기 위쪽에 써 보겠습니다 그 전에 여기서 진행한 내용을 마무리 짓겠습니다 이 행렬을 기약행사다리꼴행렬로 만들겠습니다 이 아래쪽 행렬을 첫 번째 S S1이라고 합시다 이 행렬은 S1과 A의 곱이 되겠네요 그렇게 된다는 것을 이미 보였습니다 이제 다른 변환을 진행하겠습니다 기약행사다리꼴행렬을 만들기 위해 기본행연산들을 진행해 보겠습니다 두 번째 행을 그대로 0, 1, 2로 유지하겠습니다 그리고 첫 번째 행을 첫 번째 행과 두 번째 행의 합으로 바꾸겠습니다 이 값을 0으로 만들고 싶습니다 1 더하기 0은 1입니다 다른 색으로 쓰겠습니다 -1 더하기 1은 0입니다 -1 더하기 2는 1입니다 세 번째 행도 바꾸고 싶은데 세 번째 행에서 두 번째 행의 두 배를 빼겠습니다 0 빼기 2 곱하기 0은 0 2 빼기 2 곱하기 1은 0 5 빼기 2 곱하기 2는 1 5 빼기 4이므로 1입니다 거의 다 되었습니다 여기 이들을 0으로 만들어야 합니다 기약행사다리꼴행렬 형태로 만들 수 있는지 보겠습니다 이건 무엇인가요? 방금 다른 선형 변환을 진행했습니다 한번 적어 보겠습니다 이 변환이 처음 진행한 선형 변환이라면 방금 진행한 것은 두 번째 선형 변환 T2입니다 다르게 표기하겠습니다 어떤 열벡터 x1, x2, x3이 있다고 합시다 방금 무엇을 했나요? 방금 진행한 변형은 무엇인가요? 방금 만든 새로운 벡터는 맨 위의 행을 맨 위의 행과 두 번째 행의 합으로 두었습니다 따라서 x1 + x2입니다 두 번째 행은 그대로 두었고요 세 번째 행을 세 번째 행에서 두 번째 행의 두 배를 뺀 값으로 바꿨습니다 방금 진행한 선형 변환입니다 그리고 이 선형 변환을 다음과 같이 나타낼 수 있는데 T2가 어떤 벡터 x에 적용된 것을 어떤 변환 벡터 S2와 벡터 x의 곱으로 나타낼 수 있습니다 변환 행렬을 각 열에 적용했기 때문에 이 행렬과 변환행렬을 곱하는 것과 같습니다 여기 이 행렬이 무엇인지는 아직 잘 모르겠지만 이 행렬은 이것과 같아집니다 S2와 이것을 곱한 값이 나옵니다 여기 이건 무엇인가요? 이는 S1과 A의 곱과 같습니다 그래서 S2 곱하기 S1 곱하기 A가 됩니다 값을 바로 구할 수도 있는데 S2와 S1을 곱해서 말입니다 어떤 다른 행렬이 나올 것입니다 그리고 A를 곱하면 저기서 여기까지 바로 도달하게 됩니다 좋습니다 아직 이 행렬을 기약행사다리꼴 형태로 만들지 않았습니다 한번 만들어보죠 아래쪽에 공간이 없으니 위쪽에 쓰겠습니다 위쪽으로 가 봅시다 세 번째 행은 그대로 0, 0, 1로 두려 합니다 두 번째 행을 두 번째 행에서 세 번째 행의 두 배를 뺀 값으로 바꾸겠습니다 그래서 0이 되고, 1 빼기 2 곱하기 0 2 빼기 2 곱하기 1이 됩니다 0이 되겠네요 첫 번째 행을 첫 번째 행에서 세 번째 행을 뺀 값으로 바꾸겠습니다 그래서 1 빼기 0은 1이고 0 빼기 0은 0 1 빼기 1은 0입니다 이 변환이 무엇인지 써 보겠습니다 T3이라고 합시다 보라색으로 적겠습니다 T3은 어떤 벡터 x의 변환입니다 어떤 벡터 x1, x2, x3입니다 방금 어떤 변환을 진행했나요? 첫 번째 행을 첫 번째 행에서 세 번째 행을 뺀 값, x1 - x3으로 두었습니다 두 번째 행은 두 번째 행에서 세 번째 행의 두 배만큼 뺀 값으로 바꾸었고요 그래서 x2 - 2x3입니다 세 번째 행은 그대로 두었습니다 그래서 이는 다음과 같이 나타낼 수도 있는데 T3(x)는 다른 변환 행렬인 S3과 x의 곱으로 나타낼 수 있습니다 그래서 이 변환을 각 열에 곱하는 것은 이 행렬과 아직 값을 모르는 이 변환 행렬의 곱과 같습니다 적어 보겠습니다 이 행렬은 S3과 이 행렬 S2S1A의 곱과 같습니다 여기는 무엇이 있나요? 단위행렬을 얻었습니다 기약행사다리꼴행렬 형태로 만들었고 단위행렬을 얻었습니다 저번 동영상에서 무언가의 기약행사다리꼴행렬 형태가 단위행렬이라고 하면 가역변환, 혹은 가역행렬이 된다는 것을 배웠습니다 이 행렬이 어떤 변환에 대한 변환이 될 수 있기 때문입니다 이 행렬을 T라고 합시다 이미 T를 사용했나요? 이를 T。에 어떤 벡터 x를 대입한 것이라고 하고 Ax와 같다고 합시다 이 변환은 가역적입니다 이를 기약행사다리꼴행렬 형태로 만듭니다 변환 행렬을 기약행사다리꼴행렬 형태로 만듭니다 그리고 단위행렬을 얻었습니다 이 변환이 가역적이라는 것을 보입니다 더 흥미로운 일도 일어났는데요 기본행연산을 수행하여 여기까지 도달하였습니다 그리고 이러한 기본행연산들은 기본행연산들을 나타내는 일련의 변환 행렬들과 최초의 변환 행렬을 곱함으로써 여기 이 행렬들을 곱하는 것과 동등합니다 그리고 이들을 모두 곱하면 단위행렬을 얻게 됩니다 저번 동영상에서 역행렬이 만약 이 행렬이 T。이라면 T。의 역행렬을 어떻게 나타낼 수 있나 하면 이 또한 선형 변환입니다 어떤 역행렬 A-1과 x의 곱으로 나타낼 수 있다고 하였습니다 그리고 역변환 행렬과 변환 행렬의 곱은 단위행렬과 같습니다 저번 시간에 이를 다루었습니다 이를 증명했었지요 여기 아주 흥미로운 무언가가 있습니다 일련의 행렬 곱과 이 행렬을 곱하면 단위행렬이 나오게 됩니다 그래서 이 앞쪽 부분, 이 일련의 행렬 곱이 역행렬과, 내지는 역변환의 행렬과 같아야 합니다 만약 원한다면 실제로 계산할 수도 있습니다 실제로 했던 것처럼 S1이 무엇인지 구할 수 있습니다 여기서 했었지요 비슷한 방식으로 S2와 S3을 구하고 이들을 모두 곱할 수 있습니다 실제로 A의 역행렬을 구한 것입니다 무언가 더 흥미로운 것을 진행할 수도 있습니다 동일한 행렬 곱을 단위행렬에 대입해서 말입니다 여기 진행한 내용에서 첫 기본행연산을 진행했을 때 여기 행렬 A가 있습니다 오른쪽에는 단위행렬이 있다고 해 봅시다 I라고 하겠습니다 첫 번째로 진행한 선형 변환은 여기서 다루었지요 S1을 A와 곱하는 것과 같습니다 이게 처음 진행한 기본행연산이었습니다 여기 이것입니다 이제 동일한 기본행연산을 단위행렬에 대해 진행하면 무엇을 얻게 되나요? 행렬 S1을 얻게 됩니다 S1과 단위행렬의 곱은 S1입니다 무언가의 열들과 항등원 표준 기저 열들을 곱하면 그 자신이 나옵니다 S1만 남게 됩니다 이건 S1과 I의 곱이고 S1입니다 좋습니다 이제 다음 기본행연산을 수행하고 S2S1A를 얻게 됩니다 여기서 동일한 기본행연산을 수행하면 어떻게 될까요? S2S1I가 됩니다 마지막 기본행연산을 행렬 곱 S3으로 나타낼 수 있습니다 변환 행렬 S3과 곱하는 것입니다 그러면 S3S2S1A가 됩니다 여기서 동일한 기본행연산을 진행하면 S3S2S1I가 됩니다 이걸 진행하면 이 기본행연산들을 진행하면 단위행렬이 나옵니다 이쪽에서는 뭐가 나오게 되나요? A로부터 단위행렬을 얻기 위해 진행한 것과 동일한 기본행연산을 단위행렬에 대해 진행하면 무엇을 얻게 되나요? 여기 이 값을 얻게 됩니다 무언가를 단위행렬과 곱하면 동일한 무언가를 얻게 됩니다 그래서 이건 무엇인가요? 이는 A의 역함수입니다 그래서 변환 행렬의 역함수를 구할 수 있는 일반적인 방법을 얻게 되었습니다 어떤 변환행렬 A가 있다고 해 봅시다 붙임행렬을 만드는데 옆에 단위행렬을 둡시다 그리고 기본행연산을 여러 차례 진행합니다 이들을 행렬 곱으로 나타낼 수 있습니다 그런데 이들 모두에 대해 기본행연산을 진행해야 합니다 A에 대해 진행하는 것과 동일한 기본행연산을 단위행렬에 대해 진행해야 합니다 A 자리에 단위행렬을 얻게 될 때 A의 기약행사다리꼴행렬을 얻게 됩니다 A가 단위행렬이 되면 단위행렬에도 동일한 기본행연산이 가해지며 A의 역함수로 변환됩니다 실제로 역함수를 구할 때 유용합니다 지금까지 이러한 것들이 왜 성립하는지 이론적으로 살펴보았습니다 다음 동영상에서는 실제로 이를 구해보겠습니다 어쩌면 이번 동영상을 시작할 때 사용했던 예시에 대해 구해볼 수도 있겠네요