3 x 3 행렬식

지난 영상에서는 2x2 행렬의 행렬식에 대한 개념을 정의해보았습니다 여기 B라는 행렬이 있습니다 이 행렬의 성분은 a, b, c, d 입니다 B의 행렬식을 정의해 봅시다 det(B)로 쓸 수도 있고 B의 양 옆에 선을 그을 수도 있습니다 성분 a, b, c, d를 이렇게 선으로 묶어 쓰기도 합니다 성분 a, b, c, d를 이렇게 선으로 묶어 쓰기도 합니다 이 부분에서 혼란을 겪지 않았으면 좋겠습니다 행렬은 괄호로 묶어 나타내고 행렬식은 직선으로 묶어 나타냅니다 행렬식은 직선으로 묶어 나타냅니다 정의에 따라 행렬식은 ad-bc 입니다 지난번 영상에서 이 행렬식을 어떻게 유도하는지 배웠습니다 B의 역행렬은 ad-bc의 역수와 다음 행렬의 곱과 같습니다 이 두 성분은 서로의 위치가 바뀌므로 d와 a 입니다 나머지 두 성분은 부호만 바꾸면 되므로 -c와 -b 입니다 이것이 바로 B의 역행렬입니다 어떤 경우에 역행렬이 정의되나요? ad-bc은 0이 될 수 없다고 정의하였습니다 ad-bc은 0이 될 수 없다고 정의하였습니다 이는 꽤 중요합니다 ad-bc를 행렬식이라고 부릅시다 ad-bc를 행렬식이라고 부릅시다 '행렬 B는 역행렬이 존재한다'의 필요충분조건은 '행렬 B의 행렬식은 0이 아니다'가 됩니다 왜냐하면 만약 행렬식이 0이라면 이 역행렬을 정의할 수 없기 때문입니다 첨가행렬과 같은 것을 만드는 기법에서 이 명제를 얻었습니다 첨가행렬과 같은 것을 만드는 기법에서 이 명제를 얻었습니다 하지만 중요한 것은 2x2 행렬의 행렬식 개념을 정의했다는 점입니다 지금 다룬 것은 2×2 행렬입니다 선형대수학에서 다루기 위해 더 높은 수의 행과 열에 대하여 일반화합시다 자, 차근차근 다음 단계로 넘어가 봅시다 3x3 행렬에서 시작합니다 이 행렬의 행렬식을 정의해 봅시다 3x3 행렬을 그려보겠습니다 행렬 A와 그 성분들을 써볼게요 a₁₁, a₁₂, a₁₃ a₁₁, a₁₂, a₁₃ 같은 방식으로 a₂₁, a₂₂, a₂₃이 됩니다 마찬가지로 a₃₁, a₃₂, a₃₃입니다 마찬가지로 a₃₁, a₃₂, a₃₃입니다 이것이 3x3 행렬입니다 행과 열이 각각 3개씩 있죠 3x3 행렬입니다 이제 행렬 A의 행렬식을 정의해보려 합니다 3x3 행렬인 A의 행렬식을 정의하겠습니다 3x3 행렬인 A의 행렬식을 정의하겠습니다 이 행렬식을 표현하는 과정이 조금 복잡하기는 합니다만 여러분은 결국 해낼 것입니다 다음 여러 영상에서 많은 행렬식을 다룰 것입니다 다음 여러 영상에서 많은 행렬식을 다룰 것입니다 그 또한 간단하게 해낼 수 있을 겁니다 계산만 주의하면 됩니다 행렬식은 a₁₁과 이 성분의 열과 행을 제외한 성분의 행렬식을 곱하면 됩니다 이 성분의 열과 행을 제외한 성분의 행렬식을 곱하면 됩니다 이 성분의 열과 행을 제외한 성분의 행렬식을 곱하면 됩니다 따라서 행렬식 a₂₂, a₂₃, a₃₂, a₃₃을 곱하면 됩니다 따라서 행렬식 a₂₂, a₂₃, a₃₂, a₃₃을 곱하면 됩니다 이렇게 말이죠 첫 번째 성분의 부호는 +입니다 다음 성분에는 -를 붙여줍니다 다음 성분에는 -를 붙여줍니다 바로 a₁₂에 말이죠 즉, -a₁₂와 두 번째 행과 열을 제외한 성분의 행렬식을 곱하면 됩니다 두 번째 행과 열을 제외한 성분의 행렬식을 곱하면 됩니다 따라서 a₂₁, a₂₃, a₃₁, a₃₃의 행렬식을 곱해줍니다 아직 끝나지 않았습니다 다음은 어떻게 될지 생각해 보세요 +a₁₃으로 시작합니다 색을 바꾸겠습니다 +a₁₃과 부분행렬의 행렬식을 곱하면 됩니다 이제부터 어떤 성분에 대한 행과 열을 제외한 성분들의 행렬을 부분행렬이라 칭합시다 이 부분행렬의 행렬식은 다음과 같습니다 a₂₁, a₂₂, a₃₁, a₃₂입니다 이것이 바로 3x3 행렬의 행렬식입니다 3×3 행렬의 행렬식을 취할 때 아직 여러분에게 보여주지 않은 성질이 같다는 것이 밝혀집니다 만약 행렬식이 0이라면 역행렬이 존재하지 않습니다 만약 행렬식이 0이라면 역행렬이 존재하지 않습니다 이렇게 행렬식을 정의할 때 말이죠 판별식이 0이 아니라면 역행렬을 알아낼 수 있습니다 판별식이 0이 아니라면 역행렬을 알아낼 수 있습니다 그래서 이 과정을 유도한 것입니다 아직 역행렬을 알아내는 과정을 알려주지 않았습니다 계산이 매우 복잡하기 때문에 보여주지 않을 것입니다 계산이 매우 복잡하기 때문에 보여주지 않을 것입니다 너무 오래 걸립니다 복잡하고 어처구니없는 실수들이 나올겁니다 하지만 2x2 행렬과 정확히 같은 방식으로 유도됩니다 지금 당장 알고 싶은 것은 그 결과가 실제 행렬에 어떻게 적용되는지입니다 지금은 추상적으로만 보이겠지만 실제 행렬에 적용해보고 나면 그렇게 어려운 것이 아님을 알 수 있을 겁니다 그러니 이 내용은 넘어가도록 하죠 이러한 행렬이 있다고 합시다 행렬식의 정의에 의해 이 행렬을 C라고 하고 행렬 C의 행렬식을 구해 봅시다 첫 번째 성분 1과 부분행렬의 행렬식을 곱합니다 첫번째 성분 1과 부분행렬의 행렬식을 곱합니다 -1, 3, 0, 1 이렇게 말이죠 이 성분의 행과 열을 제거했다는 점을 기억하도록 하세요 이 성분의 행과 열을 제거했다는 점을 기억하도록 하세요 -1, 3, 0, 1이 남았습니다 다음은 두 번째 성분입니다 이 부분에서 혼란스러울 수 있어요 부호를 교대로 사용해야 합니다 +로 시작했다면 그 다음은 -가 되어야겠죠 +로 시작했다면 그 다음은 -가 되어야겠죠 그러므로 -2와 부분행렬의 행렬식을 곱해야 합니다 -2가 위치한 행과 열을 제거하면 2, 3, 4, 1 입니다 화면에서 가리키는 이 행과 열을 지운 겁니다 이 행과 열을 지운 겁니다 그래서 남은 2, 3, 4, 1을 쓴 것이죠 그래서 남은 2, 3, 4, 1을 쓴 것이죠 이제 마지막입니다 + 다음은 -, 그 다음은 +가 되겠죠 그러므로 +4와 부분행렬의 행렬식을 곱하면 됩니다 그러므로 +4와 부분행렬의 행렬식을 곱하면 됩니다 따라서 2, -1, 4, 0이 됩니다 이제 좀 간단해졌네요 계산할만 하네요 해봅시다 1과 어떤 값을 곱해야 될까요? 써보겠습니다 써보겠습니다 -1x1 - 0x3을 계산합니다 2x2 행렬의 행렬식을 구할 때 해봤죠? 2x2 행렬의 행렬식을 구할 때 해봤죠? 이미 한 번 정의했었습니다 마찬가지로 다음은 -2(2x1 - 4x3)이 나옵니다 마지막으로 +4{2x0 - (-1x4)}가 됩니다 +4{2x0 - (-1x4)}가 됩니다 모든 식을 다 썼습니다 이 식은 위의 행렬식에서 나왔고 4는 행렬식 앞의 계수에서 온 것입니다 이것도 마찬가지입니다 각 성분에 해당하는 2x2 부분행렬 행렬식의 값입니다 각 성분에 해당하는 2x2 부분행렬 행렬식의 값입니다 계산해 봅시다 -1x1 - 0x3은 3 × 0 = 0이므로 1 × -1= -1이 됩니다 다음은 어떻게 될까요? 3 × 4 = 12이므로 2 - 12를 해주면 되겠네요 그렇죠? 2×1 - 4×3 = -10이 되겠네요 2×1 - 4×3 = -10이 되겠네요 2×1 - 4×3 = -10이 되겠네요 결국 -10 × -2 = 20이 됩니다 결국 -10 × -2 = 20이 됩니다 마지막입니다 2 × 0 = 0이고 -1 × 4 = 4가 되겠군요 앞에 -가 있으니 4가 됩니다 따라서 0 + 4 = 4가 나오네요 4 × 4 = 16이 되겠죠 이 값들을 다 더해 볼까요? -1 + 20 + 16은 35입니다 됐습니다 지금까지 3x3 행렬의 행렬식을 구해보았습니다 할만하네요 이 값이 행렬 C의 행렬식이 되겠네요 행렬식이 0이 아니라는 것은 행렬 C의 역행렬이 존재한다는 사실을 말해줍니다 다음 영상에서는 nxn 정사각행렬까지 확장해 보겠습니다 다음 영상에서는 nxn 정사각행렬까지 확장해 보겠습니다