직교보공간

부분공간 V가 있다고 해보죠 V는 Rn의 어떤 부분공간이라고 해봅시다 V의 직교여공간을 정의해볼거에요 써볼게요, V의 직교여공간을 어떤 집합으로 정의합시다 축약된 표기법은 다음과 같이 쓸 수 있습니다 이렇게 V 위에 첨자로 쓸 수 있어요 V perp이라고 발음할 수 있어요 직각이라는 뜻의 'perpendicular'에서 따온 perp 입니다 V perp은 모든 x의 집합입니다 Rn의 원소인 모든 벡터 x의 집합이며 부분공간의 원소인 모든 벡터 V에 대해 x∙V=0의 관계를 갖습니다 그러니까 근본적으로 얘기하면, 어떤 부분공간이 있고 그 안에 많은 벡터가 있습니다 이 부분공간의 모든 원소와 직교하는 벡터들이 원소로 있는 어떤 집합을 구할 때, 그 벡터의 집합은 V의 직교여공간이라고 할 수 있습니다 그리고 이것을 V perp 이라고 부를 수 있는 것이죠 어떠한 공간이나 집합을 정의할 때 우리가 처음하는 것은, 이것이 부분공간인지 확인하는 것입니다 V perp, 혹은 이 V의 직교여공간은 부분공간인가요? 예전의 강의에서 기억할지 모르지만 부분공간을 위한 몇 개의 조건이 있었죠 a와 b가 모두 V prep의 원소라면 a+b가 V prep의 원소인지 확인해야합니다 이것이 첫 번째 조건이었죠 이것이 부분공간이 되려면 덧셈 후에도 닫혀있어야 합니다 다음의 조건은, a가 V perp의 원소라면 a의 스칼라배도 V perp의 원소여야한다는 것입니다 마지막으로는, 0의 벡터를 포함해야합니다 불필요한 조건일지도 모르죠, 왜냐하면 a의 스칼라배가 부분여공간 V의 원소라면 그냥 0으로 곱하면 되니까요 그러므로 0의 벡터가 V의 원소라는 것을 시사하고 있습니다 그렇다면 이것은 무엇을 시사하고 있나요? a와 b가 V perp의 원소라는 사실이요 이것은 부분공간 V의 원소인 V에 대하여 a∙V가 0이라는 것을 시사하고 있습니다 a∙V가 0이라는 것을 시사하고 있습니다 그리고 b 또한 V perp의 원소이고 V와 부분공간의 원소를 내적하면 0이므로 b와 V를 내적하면 역시 0이 됩니다 그렇다면 a+b를 V와 내적하면 어떻게 되죠? 한 번 해봅시다 a+b를 V를 내적하면 어떤 값이 될까요? a∙V+b∙V가 되겠죠 그리고 방금 말했듯이, a와 b가 모두 직교여공간의 원소라는 사실은 이 둘이 모두 0이라는 것을 의미합니다 그러므로 이것은 0+0이므로 0이 될 것입니다 그러므로 a+b는 명백히 부분여공간의 원소입니다 이 조건을 만족한다고 할 수 있겠죠 물음표 대신에 다른 색깔로 쓰겠습니다 부분공간을 위한 첫 번째 조건을 만족합니다 그렇다면 ca는 V perp의 원소일까요? 이렇게 확인해봅시다 ca를 원래의 부분공간의 원소와 내적시킨다는 것은 a와 V의 내적에 c를 곱한 것과 같습니다 이것은 무엇과 같죠? 정의에 따르면 a는 직교여공간의 원소이므로, 이것은 0이 되겠죠 c 곱하기 0이 되는 것이므로 전체가 0이 되겠네요 그러므로 이 또한 V의 직교여공간의 원소입니다 당연히, c와 0을 곱하여 0의 값을 얻을 수 있겠죠 0은 모든 것과 직교한다고 볼 수 있습니다 0의 벡터를 다른 것과 내적하면 0이 되겠죠 그러니까 0의 벡터는 항상 직교여공간의 원소가 될 것입니다, 왜냐하면 이 조건에 항상 부합하기 때문이지요 그러므로 우리는 V의 직교여공간인 V perp가 부분공간임을 압니다 이는 곧 부분공간에 관한 성질들을 모두 적용할 수 있다는 뜻입니다 다음으로 넘어가보면, 지난 강의에서 살짝 언급만했었는데요 어떤 행렬 A가 있다고 가정해봅시다 m×n 행렬이라고 해봅시다 지난 강의에서 A의 행공간은 이렇게 써볼게요 A의 영공간은 A의 행공간의 직교여공간이라고 A의 행공간의 직교여공간이라고 썼습니다 여기 A의 행공간은 A의 전치의 열공간과 같다고 쓸 수 있습니다 그러므로 이렇게 다시 쓸 수 있습니다 A의 영공간은 행공간의 직교여공간과 같다 행공간은 전치행렬의 열공간입니다 아직 증명해보이진 않았지만 여기서 주장하고 싶은 것은 이것이 이것의 직교여공간이라는 것입니다 이는 이것과 같죠, 직교의 기호를 잊지 말고요 이것이 증명하고 싶은 바입니다 적어도 지난 두 강의에서 2×3 행렬로는 이미 확인한 것이죠 하지만 이것이 일반적으로 적용되는지 봅시다 행렬 A를 이렇게 써볼게요 행렬 A를 행벡터로 이루어 쓸 수 있습니다 지금까지 열벡터로 많이 표기해왔는데 표기법을 동일하게 하며 행벡터를 사용하기 위해서 전치를 이용해서 써보도록 할게요 왜냐하면 현실에서는 벡터는 항상 열벡터이고, 행벡터는 그 전치로 표현되기 때문이죠 r1의 전치, r2의 전치, 이런 식으로 쭉 m번째 행까지 써봅니다 rm의 전치겠죠 전치 부분에 헷갈리지 마세요 단지 이들이 행벡터라는 뜻입니다 여기서 전치를 사용하는 이유는 이 행들을 열벡터의 전치로 표현하기 위해서 입니다 이렇게 상상하는 게 도움이 된다면, 이것이 행렬의 첫 번째 행, 이것이 두 번째 행 이런 식으로 상상해보면 좋겠네요 자 그럼 A의 영공간이 무엇이죠? 여기 모든 벡터입니다 이렇게 해보죠 A의 영공간은 0의 벡터와 같은 이 식을 만족하는 모든 x벡터라고 할 수 있어요 이 식은 어떻게 풀 수 있을까요? 이미 여러 번 했습니다 이 행렬와 벡터의 곱은 다음과 같습니다 이렇게 써볼게요, rm의 0의 벡터와 같은 것입니다 m번째 0까지 총 m개의 0이 있겠죠 이 식을 쓰는 다른 방법으로는 예전에도 보았을텐데요, 행렬과 벡터를 곱할 때, 근본적으로 내적하는 것입니다 그러니까 이 항목을 구하려면 이 행과 벡터 x를 내적하면 되겠네요 이것은 행벡터 r1의 전치이죠 이것은 이 행을 나타내는 열벡터의 전치를 나타내는 것입니다 이것과 벡터 x를 내적한 것은 0과 같습니다 자 이제 이것을, 다른 색으로 써볼게요 이것을 벡터 x와 내적하면 0과 같을 것입니다 그러니까 r2의 전치와 x를 내적한 것은 0일 것입니다 그러므로 이 식은 다음과 같이 쓸 수 있어요 r1의 전치와 x의 내적은 0과 같다 r2의 전치와 x의 내적은 0과 같다 같은 방식으로 rm의 전치와 x의 내적은 0과 같다 그리고 정의에 따라, A의 영공간은 다음의 모든 x와 같습니다 이 경우 m×n의 행렬이므로 n의 열이 있겠죠 그러니까 rn의 원소이며 Ax=0을 만족하는 모든 x와 같을 것입니다 혹은, 이렇게도 쓸 수 있습니다 각각의 행을 x와 내적시킬 때 0을 얻는다 아무튼 이렇게 쓸 수 있죠 Ax=0을 만족하는 x의 집합이요 더 쉬운 방법도 있습니다 생각해볼까요 어떤 것이 원소라면 정의에 따라 일단 어떤 벡터 V가 있다고 합시다 A의 영공간의 원소인 V가 있다고 해봅시다 V1이라고 할게요 V1은 A의 영공간의 원소입니다 그 말은 곧 여기 이 식을 만족한다는 뜻입니다 AV=0을 만족한다는 것이죠 이는 곧, 각각의 행을 V와 내적시키면 0이 나온다는 것입니다 V1이 각각의 행과 직교한다고도 할 수 있습니다 혹은 r1의 전치, 이것은 첫 번째 행에만 해당되겠군요 r2의 전치, 이렇게 rm의 전치와 직교한다는 것입니다 정의에 의해서 여기 영공간의 그 어떤 원소와 직교합니다 여기 원소들, 행렬의 행들에 직교한다면 그들의 선형결합과도 직교한다는 뜻이겠죠 이들의 선형결합으로 이루어진 임의의 벡터가 있다고 상상해봅시다 벡터 w가 이들 벡터의 선형결합이라고 해볼게요 행벡터이기 때문에 전치를 사용하여 쓴 것입니다 원래의 열벡터로 쓸 수도 있겠죠 w가 정상적인 열벡터라는 것을 나타내기 위해서요 자 그렇다면 w가 c1 곱하기 r1에 c2 곱하기 r2, cm 곱하기 rm을 더한 것과 같다고 해봅시다 이것이 w라고 해볼게요 그렇다면 영공간의 원소인 V를 w와 내적하면 어떻게 될까요? V를 w와 내적하면 V와 이 항목들 각각을 내적하는 것이 되겠죠 내적은 분배법칙이 성립하니까요 V를 이들과 각각 내적하면 다음과 같을 것입니다 c1, 스칼라를 앞으로 빼서 쓸게요 c1(V∙r1)+c2(V∙r2)+ ... 방금 쓴 것은 V가 아니라 r입니다 c1(V∙r1)+c2(V∙r2)+ ... + c1(V∙r1)+c2(V∙r2)+ ... +cm(V∙rm) 이미 말했듯이, V와 각각의 r을 내적한 것은 0입니다 그러니까 이들은 모두 0이 되겠죠 이 식 전체가 0이 될 거에요 그러니까 행벡터의 선형결합인 임의의 벡터를 영공간의 임의의 원소와 내적하면 0이라는 말입니다 이렇게 써보죠, 이들의 선형결합인 벡터를 뭐라고 하죠? 이들의 생성이라고 하죠 행공간이라고도 합니다 그러니까 w가 행공간의 원소라면 A의 전치의 열공간으로 나타낼 수 있으며 V가 영공간의 원소라는 것도 알 수 있습니다 여기서 증명했듯이 V∙w=0이라는 것을 압니다 그러니까 영공간의 모든 원소는 명백히 행공간의 원소와 직교합니다 이것이 우리가 지금까지 알고 있는 것이죠 A의 영공간의 모든 원소는 A의 행공간의 모든 원소와 직교합니다 아직 반 정도밖에 오지 않았어요 아직 이것이 영공간의 직교여공간과 같다는 것을 알려주지는 못합니다 예를 들면, 영공간의 원소가 아닌 행공간의 직교여공간의 원소가 존재할 수도 있습니다 그렇다면 다른 벡터 u가 있다고 해보죠 u는 행공간의 직교여공간의 원소라고 가정해봅시다 표기가 약간 복잡하네요, r로 쓰는 것이 좋을 것 같습니다 아무튼 확실히 하고 싶은 것은, 행공간은 단순히 전치의 열공간과 같다는 것입니다 u가 직교여공간의 원소라고 해봅시다 증명하고 싶은 것은 u가 영공간에 존재한다는 것입니다 이것을 증명하면 우리는 알 수 있겠죠 지금까지 우리는 영공간의 모든 것이 행공간과 직교한다고 했지만, 이 집합에 의해 표현되는 행공간에 직교하는 모든 것이 영공간에 포함되는지 확인하지 못했습니다 이 두 집합이 서로 같기 위해서는 이 영공간이 이것과 같기 위해서는 이것이 우리가 증명해야하는 부분입니다 이것이 참이라는 것을 안다면 u와 행공간의 원소인 w를 내적하면 0임을 알 수 있습니다 여기 아래의 식이 0이라는 것이요 이것이 무엇을 의미한다구요? u 또한 직교한다는 뜻입니다 그러니까 u와 r, j, 임의의 행벡터, 그 어떤 것을 내적하더라도 0이 된다는 것을 의미합니다 여기서 j는 1부터 m까지의 숫자를 의미하죠 어떻게 아냐구요? u가 행공간의 직교여공간의 원소라고 할 때, u는 행공간의 임의의 원소와 직교합니다 그러니까 특별히 행공간의 기저벡터 이들이 모두 기저벡터인지는 알 수 없지만 이들은 명백히 행공간의 모든 원소들이죠 몇몇은 실제로 행공간의 기저일 것입니다 이는 곧 u와 이들 중 하나를 내적하면 0이 된다는 것이죠 u와 이들 중 하나를 내적하면 0이라는 것은 u와 r1의 내적은 0, u와 r2의 내적도 0, 이어서 u와 rm의 내적도 0이라는 것입니다 이것이 모두 사실이라면 A 곱하기 벡터 u는 0입니다 그게 이것이 의미하는 바겠죠? u를 넣어 내적 값을 확인해보면 이 식을 만족할 것입니다 u가 영공간의 원소라는 것이 시사되는 것이죠 그래서 방금 영공간의 모든 원소가 분명하게 직교여공간의 원소라는 것을 증명해보였습니다 직교여공간의 모든 원소가 영공간의 원소라는 사실도요 사실은 제가 약간의 실수를 한 것 같네요 여기 내적에서 전치를 사용할 필요는 없었겠네요, 왜냐하면 열벡터의 내적으로 나타내고 있으니까요 이것은 열벡터의 전치가 될 것입니다 그러니까 전치를 하지말고 그냥 내적만 하면 되겠습니다 약간의 실수에요 가장 핵심이 되는 부분을 다루다가 살짝 비켜갔네요 아무튼 방금 영공간의 임의의 원소가 직교여공간의 원소라는 것을 증명했습니다 방금 전 한 것은 이 첫 번째 문장이 곧 영공간의 임의의 원소가, 그러니까 영공간이 행공간의 직교여공간의 부분집합이라는 것을 뜻합니다 이것이 행공간이고 그러므로 이것이 행공간의 직교여공간이 되겠죠 여기서 방금 행공간의 직교여공간의 원소는 영공간의 원소라는 것 또한 증명했습니다 이 둘이 서로의 부분집합이라면 이 둘은 같을 수 밖에 없겠죠 그러니까 A의 영공간은 A의 행공간의 직교여공간, 혹은 A의 전치의 열공간과 같다는 것을 알 수 있습니다 영공간을 행공간과 관련지어 얘기해보았는데요 간단히 대입해서 다시 나타내볼게요 A가 B의 전치와 같다고 해볼게요 그렇죠 어느 쪽으로든 전치를 구하면 같겠죠 이 대입을 이용한다면 어떻게 다시 쓸 수 있을까요? B의 전치의 영공간은 B의 전치의 열공간과 같다고 할 수 있겠죠? A의 전치는 B의 전치를 전치한 것입니다 괄호를 제대로 잘 써볼게요 그리고 이 부분이 직교여공간이겠죠 그럼 이 식은 어떻게 되죠? 전치의 전치는 단순히 B가 되겠죠 그러니까 B의 전치의 영공간이 B의 직교여공간의 열공간과 같다는 것입니다 이렇게, B와 A는 단순히 임의의 행렬입니다 이는 영공간이, 가끔은 문장으로 풀어 쓰는 게 좋을 수 있어요 행공간의 직교여공간과 같다는 것을 행공간의 직교여공간과 같다는 것을 증명했습니다 그리고 이것은 다음을 의미하죠 좌영공간, 즉 전치의 영공간이 좌영공간, 즉 전치의 영공간이 그냥 축약해서 쓸게요, 열공간의 직교여공간과 같다는 것을 말입니다 꽤 유용한 핵심 두 가지이죠? 예전의 강의에서 특정 예시로는 확인했지만 이제 모든 행렬에 대해 참이라는 사실을 알겠죠?