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dim(v) + dim(v의 직교보공간) = n

동영상 대본

여기 Rn의 부분공간 V가 있습니다. V는 Rn의 부분공간입니다. 그리고 기저라고 불리는 집합에 대해 이야기 해봅시다. 좀더 잘 써보죠. v1, v2부터 vk까지 써줍니다. 이것은 V의 기저와 동일합니다. 기저는 V와 span V의 벡터중 선형적으로 독립적인 것입니다. Rn에서 최소의 집합은 span V입니다. V의 차원은 부분 공간속의 기저가 가지고 있는 벡터의 수 입니다. 그리고 1, 2 k까지 벡터를 셀 수 있습니다. 그래서 기저는 k와 같습니다. 이제 생각해 봅시다. V의 수직한 구성요소의 차원은 무엇이 되어야 하는지 구하기 위해서 행렬을 만듭시다. 열 벡터들이 기저벡터인 행렬을 만듭시다. 행렬 A를 만들고 이렇게 생겼습니다. 첫번째 열은 v1 첫번째 기저 벡터입니다. v2는 두번째이고, vk까지 하면 됩니다. 차원을 기억하세요. 우리는 k개의 벡터가 있고, k개의 열이 있습니다. 그리고 얼마나 많은 행을 가질까요? Rn에 포함되므로 n개의 공간을 가집니다. 따라서 n개의 행과, k개의 열을 가집니다. nXk 행렬입니다. 부분공간 V에 대해서 다른 표현방법이 무엇일까요? V의 기저들은 아니면 V는 기저들에 의해 생성되었습니다. 여기의 행들에 있는 것들입니다. 생성에 대해서 말할때 여기에 써보죠. V는 이것들의 생성과 같습니다. v1, v2... vk까지 그리고 이것은 A의 열 공간입니다. 맞죠? A의 열 공간과 같습니다. 좀 전에 말한것처럼 V의 직교 여공간의 관계를 살펴볼겁니다. 직교 여공간이 뭘까요? A의 열 공간에서 A의 열 공간에서 직교 여공간은 두개 아니면 세개의 강의 전에서 보여 준것처럼 A의 열 공간에서의 직교 여공간은 A의 전치행렬의 핵이라고 볼 수 있습니다. 다른 방법으로는 이렇게 부릅니다. 남은 A의 핵 이것은 A의 열 공간의 수직한 성분과 동일합니다. 이것은 또한 같습니다. 여기있는 이것은 V같은 것이므로 그것의 수직성분은 V의 수직성분과 같다는 것을 알 수 있습니다. 만약 직교 여공간의 차원을 알고 싶다면 V의 수직성분의 차원을 알아내고 싶다면 여핵을 찾아야 함니다. 또는 A의 전치행렬의 핵 이렇게 써 줍니다. 가끔씩 혀가 꼬이죠. V의 수직성분의 차원은 A의 전치행렬의 차원과 같습니다. 이것을 생각하는 방법은 죄송합니다. A의 전치행렬의 차원이 아닙니다. A의 전치행렬의 핵의 차원입니다. 잘 기억한다면 말을 아끼겠습니다. 이것은 nullity입니다. A의 전치행렬의 nullity입니다. 핵의 차원이 nullity입니다. 열 공간의 차원은 rank 입니다. 이제 해봅시다. A의 전치행렬을 가지고, A의 전치행렬을 생각해 보세요. 그릴수도 있습니다. nXk행렬에서 이렇게 보일겁니다. 이 열들은 행으로 돌아갈 것 입니다. 이것은 v1 전치, v2 전치 이렇게 vk까지 전치벡터가 됩니다. 이제 행 벡터가 되었습니다. 그래서 한가지 알 수 있는것이 있습니다. 어떤 행렬에서든 성립하는 rank와 nullity의 한가지 관계를 알 수 있습니다. 열의 수와 같다는 것을 압니다. A의 전치행렬의 rank 더하기 A의 전치행렬의 nullity 는 A전치행렬의 열이 됩니다. 우리는 n개의 열을 가지고, 각각 n개의 공간들을 가졌죠. 따라서 이 값은 n과 같습니다. 조금 전에 봤습니다. 조금 기억해 보면 A의 전치행렬을 열 벡터의 묶음으로 쓴다면 왜냐하면 이것이 왜 성립하는지 상기시키기 위해서 다른 벡터 B를 잡아서 여기에 벡터 B를 잡고, 열 벡터의 묶음을 가집니다. b1, b2...bn까지 그리고 기약 행 사다리꼴안에 넣어 줍니다. 여기에 피벗 열들과, 논 피벗 열들을 가지게 됩니다. 이것이 피벗 열 입니다. 알고 있드시, 0들의 묶음에서 1을 가집니다. 이것이 그들중 하나입니다. 그리고, 다른 1을 가집니다. 밖에있는, 그리고, 1 아래에 0이 있을겁니다. 그리고 나머지는 모두 논 피벗 열입니다. 저번 강의에서 보여주었듯이 열 공간의 기저는 가지고 있는 피벗열의 수와 같습니다. 그래서 이것들은 피벗 열입니다. 해당하는 열 벡터는 열 공간의 기저들을 형성합니다. 저번 강의에서 보여 주었습니다. 열 공간의 차원을 알고 싶다면 이것들을 세야 합니다. 이것들을 셉시다. 이것은 같게됩니다. B의 경우에서 B의 rank들은 피벗열들과 같게 됩니다. nullitiy는 핵의 차원입니다. 우리는 행렬의 핵을 찾으면서 2개의 문제를 해결했습니다. 그리고 항상 차원은 확실합니다. 이 증명을 보여준적이 있죠. 이것은 자유열 또는 논 피벗 열들의 수와 관계되었습니다. 그래서 피벗 열이 없다면 만약 모든 열이 피벗 열이라면 어떤 열도 자유변수를 가지지 않고, 자유 변수와 관련되지 않습니다. 그리고, 빈공간은 무시할수 있게됩니다. 그것은 핵을 가집니다. 그러나 자유변수가 많을수록 핵의 차원이 증가하게 됩니다. 그래서 자유열은 핵에 해당합니다. 그리고, 그들은 핵에서의 기저를 형성합니다. 이로 인해서 핵의 기저와 열공간의 기저를 더하면 전체 열의 수와 같아집니다. 전에 해본것입니다만 복습하는건 좋은거죠. 어디서 얻어지는지 그러나 이것은 한부분에 불과합니다. 분리된 벡터 B로 했죠. 이것이 여기서 도출되었다는 것을 상기시키기 위해서 저번강의에서 A의 전치행렬의 rank는 A의 rank와 같음에 대해 배웠습니다. 여기의 이 부분은 A의 rank의 것과 같습니다. 저번 강의에서 배웠죠. 행렬을 전치시키면, 계수들을 바꾸지는 않습니다. 열 공간의 차원을 바꾸지도 않습니다. 그래서 이 상태를 다시 쓸 수 있습니다. A의 rank 더하기 A의 전치행렬의 nullity는 n A의 rank는 A의 열 공간의 차원과 같습니다. 그리고, A의 전치행렬의 nullity는 A의 전치행렬의 핵의 차원과 같습니다. nullity의 정의에 따라서 저것들은 n과 같습니다 그래서 차원이 무엇이죠? A의 열 공간이 무엇이죠? A의 열 공간은 여기있는 벡터들로 즉 V의 기저들로 생성되었습니다. 이것은 V의 차원과 같습니다. A의 열 공간은 같습니다. 이 강의를 시작한 부분공간 V 의 차원과 그러면 A의 전치행렬의 핵은 무엇일까요? 그것은 전에 보았습니다. 그것은 V의 수직성분입니다. 그래서 이것을 V의 직교여공간라고 쓸 수 있습니다. 그리고 둘의 합은 n 입니다. 그리고 그것이 원했던 결과입니다. V가 Rn의 부분공간이면 저 n은 저 n 과 같은거죠 V의 차원 더하기 V의 수직성분은 n과 같습니다.