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2×2의 행렬 A가 있고 R2의 원소인 벡터 b가 있습니다 이 행렬과 벡터에 관한 모든 흥미로운 사실들을 파헤쳐보도록 하죠 첫 번째로 흥미로운 점은 이것이 지난 번 강의에서 배운 A의 영공간을 시각화하는 데에 도움이 될 것이라는 점입니다 A의 영공간에 대해 말해보자면 A의 영공간이 A의 기약행사다리꼴의 영공간과 같다는 것을 알고 있죠 그러니까 A의 기약행사다리꼴을 구해봅시다 첫 번째 행은 그대로 두어 3, -2가 되겠죠 두 번째 행은 두 번째 행에서 첫 번째 행에 2를 곱한 것을 뺀 것으로 대체해 볼게요, 그러니까 6-6=0 -4-(-4)=0 0, 0이 되겠죠 그리고 첫 번째 행을 3으로 나눈 것으로 첫 번째 행을 대체해볼게요 그러면 1, -2/3이 되고 두 번째 행은 계속 0, 0이겠죠 이것이 A의 기약행사다리꼴입니다 영공간을 구하려고 했죠 그러니까 곱셈이 가능한 모든 벡터를 찾고 싶은 것입니다 x1, x2를 곱하여 R2에서 0, 0이 되는 벡터를 찾아볼게요 두 번째 행은 아무 정보도 주지 않으므로, 0 곱하기 x1 더하기 0 곱하기 x2를 하면 0이 되죠 쓸모있는 정보는 아닙니다 그러니까 만족해야 하는 제약은 첫 번째 행 뿐이죠 1 곱하기 x1, 여기 써볼게요, 더하기 빼기로 쓰도록 하죠, 빼기 2/3 곱하기 x2는 0입니다 이렇게 0과 같겠죠 x1이 2/3 x2와 같다고 쓸 수도 있겠네요 그러니까 A의 영공간을 표현하려면 아니 그 전에 단순화해서 정리하고 x2가 특별한 숫자가 아니라는 것을 보여주기 위해, x2가 t와 같다고 해볼게요 t는 임의의 실수입니다 그러면 x1은 2/3 t 와 같다고 할 수 있겠죠 그렇다면 행렬 A의 영공간은 임의의 실수 t에 벡터를 곱한 모든 x1, x2들의 집합이 될 것입니다 x2는 t 곱하기 1과 같고, x1는 2/3 t와 같을 거에요 2/3, 1 이렇게요 이것이 영공간입니다 벡터 2/3, 1의 모든 배수들이요 이를 좀 더 단순화하기 위해서 t를 3c와 같다고 해봅시다 그러면 어떻게 되죠? 이것이 3c와 같다면 3을 곱하는 것이므로 x1와 x2를 다음과 같이 바꿔쓸 수 있겠네요 또 다른 실수인 스칼라 c에 3 곱하기 2/3를 한 2, 3 곱하기 1의 3을 곱한 것과 같은 것으로요 방금 이렇게 다시 쓴 이유는 영공간을 조금 더 단순한 기저벡터로 표현하기 위함입니다 분수가 포함되지 않은 벡터로요 혹은 영공간이 생성과 같다고 쓸 수도 있습니다 벡터 2, 3의 생성이요 이들은 모두 같은 것을 의미합니다 아무튼 그래서 영공간을 표현했죠 이것을 지난 강의에서 배운 것과 연관시키려 할 때 또 다른 흥미로운 것은 Ax=b에 대한 해를 찾는 것입니다 그러기 위해서 우리는 방금 첨가행렬을 세웠습니다 첨가행렬은 다음과 같죠 3, -2, 6, -4, 이것을 b인 9, 18로 첨가합니다 그리고 왼편을 기약사다리꼴행으로 바꾸면, 첫 번째 행은 그대로 두어 3, -2, 9가 되겠죠 두 번째 행은 두 번째 행에서 첫 번째 행에 2를 곱한 것을 빼어 대체시키면 6-6=0 -4-(-2)=0, 이렇게 0이 되죠 -4+4니까요 18-18도 0이 되겠죠 거의 다 했습니다 이제 첫 번째 행을 첫 번째 행을 3으로 나눈 것으로 대체해볼게요 이번에는 두 번째 행은 그대로 있어요 첫 번째 행은 1, -2/3 3이 될 거에요 그러니까 이것을 식으로 바꾸어 쓰고 싶으면 행렬 1, -2/3, 0, 0을 해 집합의 벡터인 x1, x2와 곱하여 3, 0의 벡터를 얻는다고 쓸 수 있겠죠 다른 방식으로는, 두 번째 행은 아무런 제한도 제시하지 않으므로 주목하지 않아도 되고요 첫 번째 행은 x1-2/3 x2=3이라는 식을 세울 수 있게 해줍니다 x1=3+2/3 x2 라고 쓸 수도 있죠 아까와 똑같이 풀어봅시다 x2가 t라고 가정한다면 x1은 3+2/3 t와 같겠죠 Ax=b에 대한 해의 집합이 다음의 x1, x2의 집합이라고 할 수도 있을 것입니다 x1는 3 더하기 2/3에 t를 곱한 것이니까 이렇게 써볼게요 더하기 기호를 여기에 쓰구요 x2는 t와 같으니까 1 곱하기 t에 0을 더한 것이라고 표현할게요 이것이 바로 해의 집합이겠죠 어떤 특정 해에 영공간의 스칼라배를 더한 꼴과 같다는 것을 바로 눈치챌 수 있을 겁니다 이것이 해의 집합이에요 저기서 했던 것과 같이 똑같은 대입을 할 수 있습니다 t에 3c을 대입하면 이 전체를 다음과 같이 바꾸어 쓸 수 있습니다 x1, x2는 벡터 공간이 모자라네요 3, 0, 더하기, c 곱하기 화면을 조금 내리겠습니다 c 곱하기 벡터 2, 3 이렇게 쓸 수 있겠군요 3, 0의 벡터에 영공간의 임의의 원소를 더한 것과 같죠? 영공간은 2, 3의 생성, 혹은 영공간의 배수였습니다 이건 c가 임의의 실수일 경우를 다루고 있어요 이것이 해의 집합입니다 이것이 바로 영공간이에요 자, 한 가지 더 흥미롭게 볼 것은 이것이 영공간의 직교여공간이기 때문에 지난 강의에서 다루던 것과 관련이 있으며 A의 행공간이라고 볼 수 있다는 것입니다 A의 행공간은 단순히 A의 전치의 열공간이죠 이것이 행공간입니다 A의 행공간이죠 이건 무엇과 같죠? A의 행벡터의 생성과 같습니다 3, -2, 그리고 6, -4라고 쓸 수 있죠 하지만 이것은 여기 이 벡터에 2를 곱한 것과 같으므로 무시할 수 있어요 하지만 이것은 여기 이 벡터에 2를 곱한 것과 같으므로 무시할 수 있어요 그러니까 단순히 벡터 3, -2의 생성인 것이죠 이것을 모두 그려봅시다 행공간이 있고, 해의 집합과 영공간이 있네요 이것을 그릴 수 있는지 봅시다 우리는 이에 합당한 그래프를 그릴 수 있습니다 여기 세로축이 있죠 가로축도 있습니다 영공간은 어떻게 생겼죠? 2, 3의 배수들이죠 그러므로 이 방향으로 2, 위로 3 올라가게 되면, 표준 위치에서 벡터 2, 3은 이런 모양일 겁니다 그리고 영공간은 이것의 모든 배수들이죠 모든 배수들이요 그러므로 이 벡터의 배수들을 모두 구하면, 이런 직선을 얻을 수 있습니다 여기 이 초록색 직선의 모든 점을 가르키는 많은 벡터들을 얻게 될 것입니다 이것이 바로 A의 영공간입니다 그렇다면 해의 집합은 어떻게 표현할까요? 해의 집합은 벡터 3, 0입니다 3, 0의 벡터이므로 이 방향으로 3 가면 되겠죠 벡터 3, 0에 영공간의 원소들을 더한 것입니다 그러니까 이 중 하나를 골라서, 예를 들면 2, 3을 더했다고 하면 이런 모양일 거에요 하지만 우리는 2, 3의 임의의 배수를 더하고 있죠 그러므로 2, 3의 각기 다른 배수들을 모두 더하면 이 직선을 얻을 수 있습니다 근본적으로 벡터 3, 0에 의해 이동된 것입니다 이것이 바로 해의 집합입니다 Ax=b에 대한 해의 집합이요 해의 집합은 이렇게 그릴 수 있어요 자 그렇다면 행공간은요? 행공간은 벡터 3, -2의 모든 배수들입니다 벡터 3, -2는 어떻게 생겼죠? 이 방향으로 3, 아래로 2 가면 이런 모양일 거에요 그려보면 이런 모양일 텐데요 깔끔하게 그려보도록 할게요 이렇게요 사실 다른 색으로 그리겠습니다 다음과 같이 생겼을 거에요 직선으로 그릴 수가 없네요 최악이에요 다시 그려보면 좀 낫네요 자 이것이 행공간이 되겠습니다 3, -2의 벡터이고 이 벡터의 모든 배수들을 원하는 것이죠? 3, -2의 벡터를 -1로 곱한다면 -3, 2가 되고 그것은 이런 모양일 겁니다 -3, 2가 된다고 했죠 이 방향으로 3, 위로 2 가면 이런 식으로 그릴 수 있고 이는 모든 스칼라배를 포함합니다 이것이 열공간이에요 미안합니다, 행공간이에요 행공간이 영공간에 직교한다는 것을 확인하세요 자 이 그래프는 이 행렬 A로 구할 수 있는 모든 것을 나름 괜찮게 시각화하고 있어요 하지만 지난 강의에서 흥미로운 결과를 얻었죠 임의의 b가 있을 때, 새로운 색으로 쓸게요, A의 열공간의 원소인 임의의 b가 있을 때, Ax=b 식의 가장 짧은 길이의 해는 혹은 가장 작은 해는 A의 행공간의 고유한 원소라는 것을 알아냈습니다 이것이 지난 강의에서 얻은 중요한 정보였습니다 이전에는 이것을 시각화하는 것이 조금 어려웠을지 몰라요 하지만 이제 모든 것을 시각화해서 그려놓았으므로, 이 또한 확인해볼 수 있을 것 같아요 여기 파란색 직선이 해의 집합입니다 여기 행의 공간은 해의 집합에 직교하는 이 직선입니다 하지만 보세요, 이 위의 하나의 벡터는 해의 집합에 속하는 어떤 위치를 가르키고 있고, 그것은 행공간에 포함됩니다 여기 이 벡터는, 두꺼운 초록선으로 표시할게요 여기 이 벡터는 벡터 r이라고 부를 수 있겠죠? 행공간의 벡터이기도 하니까요 이것은 행공간을 나타내는 직선의 한 점을 가르킵니다 행공간의 모든 원소들은 이 직선 위의 어떤 점을 가르키죠 하지만 동시에, 해의 집합의 원소인 저 점도 가르킵니다 그리고 보세요, 이것은 해의 집합의 원소인 한 점을 가르키는 행공간의 유일한 벡터입니다 이를 기하학적인 시각에서 바라본다면 다른 해들은 모두 그 직선의 다른 점들을 가르킵니다 그러니까 이것도 해이며 이 벡터도, 이 벡터 또한 해를 나타냅니다 이 해의 집합 직선 위의 점들을 가르키는 모든 벡터들은 해입니다 이 중 가장 짧은 것은 초록색 선이죠 이 초록색 선은 근본적으로 이 직선에 직교합니다, 왜냐하면 행공간의 원소이기 때문이죠 그러니까 행공간과 같은 기울기를 가진다고 볼 수 있습니다 직교하니까, 해의 집합에 이르는 가장 짧은 선이라고 할 수 있겠죠 이 예시에서는, 가장 짧은 벡터 r이 무엇인지 구할 수 있습니다 여기 벡터 3, 0이 있죠> 이 벡터입니다 벡터 3, 0에서 벡터 r을 빼면 이렇게 써볼게요 가장 짧은 특별한 해인 벡터 r은 열공간의 원소일 것입니다 열공간은 3, -2의 생성이죠 그러므로 3, -2의 어떤 스칼라배와 같을 거에요 자, 우리는 벡터 3, 0이 해의 집합의 다른 해를 가르킨다는 것을 알고 있죠 자, 우리는 벡터 3, 0이 해의 집합의 다른 해를 가르킨다는 것을 알고 있죠 이 두 개의 벡터의 차를 구하면 그러니까 벡터 3, 0에서 벡터 r을 빼면 어떻게 되죠? 이 벡터가 나오겠죠 다른 색깔로 할게요 이 분홍색 벡터가 나올 거에요 이 분홍색 벡터는 표준 위치에 없지만 영공간의 원소가 될 것입니다 영공간의 원소가 될 거에요 그러니까 벡터 3, 0에서 r을 빼면 c에 3, -2를 곱한 것을 빼는 것과 같겠죠? 그 결과로 이 분홍색 벡터가 나올 것입니다 내적을 하게 된다면, 그러니까 이 벡터는 이 분홍색 벡터는 영공간에 속하게 되는 것이죠 위치를 옮길 수 있습니다 지금은 표준 위치에 없지만요 영공간을 나타내는 직선의 한 곳을 가르킵니다 그러니까 영공간에 속하죠 행공간의 임의의 원소와 내적하게 되면 0이 될거에요 행공간은 영공간의 직교여공간이니까요 행공간은 영공간의 직교여공간이니까요 그러니까 행공간의 임의의 원소와 내적해봅시다 행공간의 기저벡터로 한 번 해보죠 행공간의 원소이니까요 3, -2와 내적하게 되면 3, -2와 내적하게 되면 0이 됩니다 c를 구할 수 있는지 살펴봅시다 그러니까, 이걸 할 수 있는지 살펴볼게요 이 안쪽 부분을 구하게 되는 것이죠 이 분홍색 벡터는 3-3c가 되겠죠? 이 분홍색 벡터는 3-3c가 되겠죠? 그 다음으로는 0-(-2c)이므로 2c가 되겠네요 그러니까 이 부분은 이렇게 단순화됩니다 단순히 스칼라곱을 하고 뺄셈을 한 것이죠 그리고 행공간의 기저벡터인 3, -2와 내적하게 되면 0과 같아야 합니다 이걸 풀면 어떻게 되죠? 3×3=9, 9에서 (-3c)×(-2)인 6c를 더하게 되면 이렇게 하도록 하죠 이게 아마 가장 쉬운 방법일 거에요 미안합니다 제가 잘못하고 있었네요 이것이 첫 번째 항목이니까 3-3c를 3과 곱하게 되겠죠? 첫 번째 성분과 첫 번째 성분을 곱하는 거니까요 여기에 2c에 -2를 곱한 것을 더하면 0이 될 거에요 아까 내적을 잘못된 방법을 하고 있었어요 두 개의 항으로 나뉘어서 잠깐 헷갈린 듯 합니다 아무튼 첫 번째 항과 첫 번째 항을 곱하고 두 번째 항과 두 번째 항을 곱한 것을 더합니다 이것이 바로 내적이죠 행렬이 아닙니다 이것은 단지 각각 첫 번째와 두 번째 항이죠 이걸 풀면 어떻게 되죠? 3곱하기 3은 9니까 9-9c-4c=0이 되겠네요 9-13c=0과 같죠 9=13c 이니까 c는 9/13과 같겠군요 이렇게 특별한 벡터 r을 구해봤어요 3, 0의 벡터와 벡터 r의 차이를 구하면 어떤 벡터를 얻게 되고, 이는 영공간에 속한다고 했습니다 그리고 이것과 행공간의 임의의 원소의 내적을 구하면 0입니다 내적은 이 성분과 이 성분을 곱하고 이 성분과 이 성분을 곱하여 더한 것이죠 그러므로 c는 9/13임을 구할 수 있어요 Ax=0을 만족하는 가장 짧은 특별한 벡터 r은 9/13에 기저벡터인 3, -2를 곱한 것이므로 이것을 다르게 써보면 27/13이 되겠죠? 다음 항목은 -2 곱하기 9/13이니까 -18/13일 것입니다 이것이 바로 이 식을 만족하는 행공간에 속하는 가장 짧은 벡터가 되겠네요 더 잘 써볼게요 이것은 행공간의 고유한 원소이며 Ax=b를 만족하는 가장 짧은 해입니다 그러니까 이것은 지난 강의에서 다루었던 개념의 예시입니다 이것을 시각적으로 확인했기를 바랍니다