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Ax = b 의 유일한 행공간의 해

동영상 대본

m×n의 행렬 A가 있다고 해봅시다 여기 행렬 A가 있죠 n개의 열벡터로 쓸 수 있겠네요 a1, a2, ... , an 이렇게요 또 다른 벡터 b도 있다고 해봅시다 b는 A의 열벡터의 원소라고 해볼게요 열벡터는 그냥 행렬 A의 열의 선형결합으로 표현할 수 있는 모든 벡터의 집합이라는 것을 잊지 마세요 이 말은 곧 b를 A의 열의 선형결합으로 표현할 수 있다는 것을 의미합니다 그러므로 상수 인자를 사용하여 x1a1+x2a2+ ... +xnan 이렇게 쓸 수 있습니다 여기서 x1, x2, xn은 모두 임의의 실수입니다 이것을 표현할 수 있는 다른 방법은 a1, a2, ... ,an으로 쓸 수 있는 a를 벡터 x1, x2, ... , xn으로 곱한 것은 b와 같다는 것입니다 이 두 식은 동일합니다 b가 열공간의 원소라는 것을 알죠 이는 b가 A의 열의 선형결합으로 표현될 수 있다는 것과, 이 식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다는 것을 의미합니다 Ax=b의 식이 Rn의 원소인 해 x가 적어도 하나는 존재한다고 할 수 있습니다 x의 항목들은 선형결합 b를 얻기 위해 열벡터에 곱해지는 가중을 의미합니다 방금까지는 모두 복습이죠 이제 Rn을 그려봅시다 이 식의 해는 Rn의 원소가 될 것입니다 이것이 m×n의 행렬이라는 점을 잊지 마세요 n개의 열이 있고, 이것이 Rn의 원소일 때 Rn을 그려봅시다 그러니까 Rn은 아마도 이렇게 생겼을 겁니다, 이를 Rn이라 하죠 Rn에 포함되는 다른 부분공간을 보죠 영공간이 있죠 Rn에 포함될 거에요 영공간은 Ax=0의 식의 모든 해입니다 Rn 안에 포함되겠죠 저 식을 만족하는 모든 x일 것이므로 여기에 그려볼게요 여기에 영공간이 있다고 해볼게요 A의 영공간이요 Rn에 또 뭐가 있죠? A의 영공간의 직교여공간이 있겠죠 그것도 그려봅시다 직교여공간이 있어요, 이것을 다른 색으로 그려보죠 A의 영공간의 직교여공간이 있고, 이는 지난 강의에서 배웠듯이 이렇게도 부를 수 있습니다 이것은 A의 행공간과 같을 것이며 열공간과 같죠 A의 행공간은 A의 전치의 열공간과 같습니다 여기 이제 두 개의 공간이 있죠 이것이 A의 행공간입니다 두 개의 Rn의 부분공간이 있는 것이죠 영공간이 있고, A의 행공간과 같은 영공간의 직교여공간이 있습니다 이제 몇 개의 강의에서 계속 보았었죠 전 전의 강의에서 증명한 걸로 기억하는데 Rn의 임의의 벡터는 영공간의 원소의 합, 벡터 n이라 부르겠습니다, 으로 표현할 수 있습니다 행공간의 임의의 벡터는 벡터 r이라 하죠 Rn의 임의의 벡터는 영공간의 벡터와 행공간의 벡터의 합으로 표현 가능합니다 그러니까 이 식의 유일한 해는 Rn의 원소여야 하므로 영공간의 임의의 원소와 행공간의 임의의 원소로 표현할 수 있어야 할 것입니다 쓰도록 하겠습니다 x가 Ax=b의 해라고 합시다 Rn의 원소이기도 하며, 그렇기 때문에 여기의 벡터 하나와 여기의 벡터의 결합으로 표현할 수 있어요 x가 임의의 벡터 r0와 n0을 더한 것과 같다고 해봅시다, 여기서 r0는 행공간의 원소이며 n0는 행공간의 직교여공간의 원소입니다 직교여공간의 원소입니다 이들은 서로 직교여공간의 관계에 있으며 그러므로 n0는 영공간의 원소가 되죠 좋습니다 자 이제 우리가 궁금한 한 가지는 이 벡터가 명백히도 Ax=b의 해가 아니라는 것입니다 이 벡터는 Ax=0의 식에 대한 해이죠 하지만 우리는 이 행공간의 원소가 Ax=b에 대한 해가 될 수 있을지 궁금합니다 이 부분이 우리가 주목해야할 부분입니다 r0에 대하여 풀어봅시다 r0에 대하여 풀면, n0을 양쪽에서 빼게 되면 r0=x-n0 라는 식을 얻을 수 있죠 양쪽에서 n0을 빼고 항을 맞바꾼 것밖에 하지 않았어요 r0에 대하여 푼 것입니다 자 이제 곱해보면, A 곱하기 r0은 A에 이 전체를 곱한 것과 같아요 색깔을 바꾸어 쓸게요, A(x0-n0)=Ax-An0 이렇게 쓸 수 있겠죠 이것은 뭐랑 같죠? 이미 Ax=b라고 했으므로 이 부분은 b로 바꿔쓸 수 있겠네요 n0는 영공간의 원소니까 이 식을 만족한다는 뜻이고, 즉 영공간의 임의의 원소와 A를 곱하면 0의 벡터가 된다는 것이죠 그러니까 이 부분은 0의 벡터가 되겠습니다 벡터 b에서 0의 벡터를 빼는 것이므로 벡터 b만 남겠네요 방금 A 곱하기 이 행공간의 원소가 여기 이 원소를 r0라 할게요 A 곱하기 r0가 b라는 것을 알아냈습니다 이것이 해가 되겠죠 r0는 Ax=b에 대한 해입니다 지금까지 한 것은 꽤 흥미로운 결과이죠 열공간의 원소인 임의의 벡터 b가 주어질 때 Ax=b의 해가 되는 행공간의 임의의 원소가 있을 거라는 겁니다 자 다음으로 할 수 있는 질문은 이것이 Ax=b의 해인, 행공간에 존재하는 유일한 원소인가 하는 것입니다 이것을 증명하기 위해서, 일단 또 다른 원소가 있다고 가정해봅시다 r1이 행공간에 속하며 Ax=b의 해인 또 다른 원소라고 해봅시다 행공간은 유효한 부분공간이므로 그 공간 안의 두 벡터의 합이나 차를 구해도 그것은 부분공간에 속할 것입니다 이것은 유효한 부분공간이 되기 위한 조건 중 하나였죠 이렇게 봅시다 그러니까 부분공간에서 두 원소 r1과 r0를 골라서 그 차를 구하면 어찌보면 마이너스 기호를 곱해 더하는 것이기도 하죠, 그 덧셈의 결과도 행공간의 원소여야하므로 이것 역시 행공간의 원소일 것입니다 행공간의 원소가 되겠죠 이것은 행공간이 유효한 부분공간이기 때문이에요 두 개의 원소를 골라 그 차를 구하면 그것 역시 부분공간의 원소가 됩니다 그렇죠? 자 이제 이 친구를 A로 곱하면 어떻게 되는지 살펴봅시다 A 곱하기 r1-r0을 하게 되면 뭐가 나오죠? Ar1-Ar0이 되겠죠 r1은 Ax=b의 해라는 것을 이미 풀었고 r0 역시 Ax=b의 해라는 것을 알았습니다 그러니까 둘 다 A와 곱하면 b가 되겠죠 이것도 b이고 이것도 b이므로 b-b를 하게 되어 0의 벡터를 얻을 것입니다 흥미롭죠 이것이 나타내는 것은 r-r0이 Ax=0에 대한 해라는 것이죠? r1-r0를 x에 대입하여 A와 곱하면 0이 됩니다 r1-r0의 벡터가 영공간의 원소라는 뜻이죠 여기 행공간의 원소인 벡터가 있고 이 사실은 이 둘이 행공간의 원소라는 점과 덧셈과 뺄셈 후에도 행공간이 닫혀있다는 점 그리고 r1-r0의 벡터가 영공간의 원소라는 것에서 알 수 있습니다 이미 우리는 이것을 여러 번 다뤘어요 임의의 벡터가 부분공간 안에 존재하고 부분공간의 직교여공간에도 또한 존재하며 영공간이 행공간의 직교여공간에 포함되면 그곳에 존재할 수 있는 유일한 벡터는 0의 벡터 뿐입니다 부분공간 안에 존재하며, 동시에 직교여공간 안에 존재하는 유일한 벡터이죠 이 둘은 직교여공간의 관계에 있습니다 위에서 그렸죠 r1-r0는 그러므로 0의 벡터와 같아야 합니다 부분공간에 존재하며 직교여공간에도 존재하는 유일한 벡터이니까요 이 말은 곧 r1이 r0과 같다는 것을 의미합니다 그 차를 구하면 0의 벡터를 얻게되죠 몇 가지를 정리해 볼 수 있겠네요 지금까지 뭘 알아냈죠? A의 열공간의 원소인 임의의 원소 b가 있다면, 고유한 원소가 존재한다는 것이죠? 그건 방금 증명했습니다 A의 행공간에는 고유한 원소가 존재합니다 써볼게요 다른 색으로 쓰겠습니다 A의 행공간에 존재하는 그 고유한 원소를 r0라고 부를게요 다른 색깔로 써야겠어요 이것이 여러분의 뇌리에 깊게 박히길 바랍니다 우리는 r0이 A의 행공간의 원소이며 Ax=b에 대한 해라는 것을 알죠 복잡하지만 꽤 흥미롭습니다 A의 열공간의 원소인 임의의 b가 주어진다면, A의 행공간에 속하는 고유한 원소가 존재할 것이고, 이는 Ax=b의 해가 될거에요 여기서 더 깊게 파고 들어가보죠 탐구할 게 남아있습니다 여기 위에서 Ax=b에 대한 해는 r0과 n0의 합으로 쓸 수 있다고 했습니다 r0는 행공간의 원소이고 n0는 영공간의 원소라고 했죠 부분공간과 그 직교여공간을 가지기 때문에요 그러니까 Rn의 임의의 원소는 부분공간과 그 부분공간의 직교여공간의 원소의 합으로 쓸 수 있는 것입니다 여기 아래에 다시 써볼게요 Ax=b에서의 해, 즉 어떤 해 x는 r0과 n0의 결합으로 쓸 수 있는 것입니다 아주 좋아요 그러면 여기 양쪽에서 x의 길이를 제곱하면 어떻게 될까요? 써볼게요, 쓰고 나면 또 흥미로운 것이 보일거에요 이 식에서 임의의 해를 제곱하게 되면 x∙x가 될 것이고, 이건 이 부분을 그 자신과 내적한 것 (r0+n0)∙(r0+n0)이 될 겁니다 그러면 이건 뭐랑 같죠? 풀어쓰면, r0∙r0+n0∙r0+n0∙r0+n0∙n0 이렇게 되겠네요 그냥 괄호 안의 것을 각각 곱해 낸 것인데요 내적은 분배법칙이 있기 때문이죠 이 항은 r0의 길이를 제곱한 것과 같습니다 그럼 n0∙r0는요? 이 항은 더 이상 정리할 필요가 없어요 n0는 영공간의 원소입니다 n0는 영공간의 원소입니다 r0는 행공간의 원소이죠 이들 각각이 서로에게 직교여공간의 관계인 부분공간에 속하므로, 이 집합의 원소를 이 집합의 원소와 내적하면 무조건 0이 되죠 그러니까 r0∙n0는 0입니다 이들은 서로에게 직교하므로 이 항도 0이 되고 이 항 또한 0이 되죠 다음 항인 n0∙n0은 벡터 n0의 길이를 제곱한 것입니다 이들은 모두 벡터입니다 그러니까 벡터 x 길이의 제곱은 행공간의 고유한 원소 길이를 제곱한 것과 영공간의 원소 길이를 제곱한 것을 더한 것과 같다고 정리할 수 있겠네요 이것은 제곱이므로 확실히 양수일 것입니다 최소의 경우 0일 텐데요 0보다는 커야 하므로 이 전체가 r0의 제곱보다 크거나 같다고 할 수 있겠네요 다른 방식으로 생각해보면 Ax=b에 대한 임의의 해가 주어질 때 그 해의 길이의 제곱은 r0 길이의 제곱보다 크거나 같을 것이라는 거죠 혹은, 두 길이는 항상 양수일 것이므로 기호를 바꿀 필요 없이 제곱근을 구해보면 Ax=b에 대한 해의 길이는 r0의 길이보다 크거나 같다고 할 수도 있습니다 이렇게 되면 r0이 특별한 해가 되죠 이 강의에서 배운 모든 것을 정리하여 써 봅시다 b가 A의 열공간의 원소라면 A의 행공간의 원소인 고유한 r0이 존재하고, 이 r0은 Ax=b에 대한 해입니다 그냥 해가 아니라 특별한 해가 되죠 r0는 가장 작은 해, 그러니까 그 어떤 해도 r0의 길이보다 작은 길이를 가질 수 없습니다 이렇게 써볼게요 동일한 해가 존재해서 같은 길이를 가질 수는 있을 것입니다 하지만 다른 어떤 해도, 이보다 더 작은 길이를 가질 수는 없습니다 A의 열공간의 원소인 임의의 벡터b가 존재한다면, 가장 작은 해가 행공간의 고유한 원소로 존재한다고 쓸 수 있겠습니다 Ax=b의 식을 만족하는 가장 작은 해가 되겠죠 다음 강의에서는 이 개념을 시각화해서 살펴보겠습니다